1. (2025·宿迁宿城区期中)如图，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为$S_1$，$S_2$，若斜边$AB$的长为10，则$S_1+S_2$的值为().


A.8
B.32
C.64
D.100

∵以$\mathrm{Rt}△ ABC$的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为$S_1$，$S_2$，
$\therefore S_1=BC^2,S_2=AC^2,BC^2+AC^2=AB^2$，
$\therefore S_1+S_2$的值为$AB^2=100$. 故选 D.

2. (2025·苏州期末)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$. 若$BC=9$，$AC=12$，则$AB=$.

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠C=90°,BC=9,AC=12$，
由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$.

3. (2025·盐城东台期中)如图,正方形网格的每个小方格边长均为$1,△ ABC$的顶点在格点上.
(1)直接写出$AB^{2}=$,$BC^{2}=$,$AC^{2}=$;
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.

精题详解

(1)20 5 25
(2)$△ABC$是直角三角形.理由如下：
$\because AB^2+BC^2=20+5=25=AC^2$，
$\therefore △ABC$是直角三角形.

4. (2025·扬州江都区期中) 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$E$在$AC$上，$CE=5$，$BC=13$，$BE=12$。
(1) 判断$△ ABE$的形状，并说明理由；
(2) 求线段$AB$的长。

(1)$△ABE$是直角三角形,理由如下：
在$△BCE$中,$BE^2+EC^2=12^2+5^2=13^2=BC^2$，
$\therefore △BCE$是以$BC$为斜边的直角三角形，
$\therefore ∠BEC=90°,∴∠AEB=90°$，
$\therefore △ABE$是直角三角形.
(2)设$AB=x$,则$AE=x-5$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中,由勾股定理,得$x^2=12^2+(x-5)^2$，
解得$x=16.9$.

5. (2024·苏州昆山期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $E$ 为 $AB$ 边上的一点, 连接 $CE$ 并延长, 过点 $A$ 作 $AD ⊥$ $CE$, 垂足为 $D$, 若 $AD=7, AB=20, BC=15$, $DC=24$.
(1) 试说明 $∠ B$ 为直角;
(2) 记 $△ ADE$ 的面积为 $S_1, △ BCE$ 的面积为 $S_2$, 则 $S_2 - S_1$ 的值为.

(1)$\because AD⊥CE,∴∠D=90°$.
$\because AD=7,DC=24,∴AC^2=AD^2+DC^2=625$.
又$AB=20,BC=15,20^2+15^2=625$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，
$\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠B$为直角.
(2)66 解析$\because S_1+S_{△ACE}=S_{△ACD},S_2+S_{△ACE}=S_{△ABC}$，
$\therefore S_1=S_{△ACD}-S_{△ACE},S_2=S_{△ABC}-S_{△ACE}$，
$\therefore S_2 - S_1=(S_{△ABC} - S_{△ACE})-(S_{△ACD} - S_{△ACE})=S_{△ABC} - S_{△ACD}$.
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2} BC · AB =\frac{1}{2} × 15 × 20 = 150,S_{△ACD}=\frac{1}{2} AD · CD =\frac{1}{2} ×7×24=84$，
$\therefore S_2 - S_1=150-84=66$.