10. (2025·徐州期末) 如图, 在长方形 $ABCD$ 中, $AB=4,AD=5,E$ 为 $BC$ 上的点. 将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 折叠, 使点 $B$ 落在长方形内的点 $F$ 处. 连接 $DF$, 已知 $DF=3$.
(1)求证:$△ ADF$ 为直角三角形;
(2)求线段 $BE$ 的长.

10.(1)$\because$ 将$△ ABE$ 沿 $AE$ 折叠,使点 $B$ 落在长方形内的点 $F$ 处,$AB=4$,$\therefore AB=AF=4$.
在$△ ADF$ 中,$AD=5$,$DF=3$,且 $3^2+4^2=5^2$,
$\therefore FD^2+AF^2=AD^2$,$\therefore △ ADF$ 是直角三角形.
(2)由(1)知$∠ AFD=90°$,
设 $BE=x$,则 $EF=x$.
根据折叠可知$∠ AFE=∠ B=90°$,
又$∠ AFD=90°$,$\therefore ∠ DFE=180°$,
$\therefore D,F,E$ 三点在同一条直线上,$\therefore DE=3+x$,
$CE=5-x$,$DC=AB=4$,
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,根据勾股定理,得 $DE^2=DC^2+EC^2$,
$\therefore (3+x)^2=4^2+(5-x)^2$,解得 $x=2$,
$\therefore BE$ 的长为 2.

11. 类比思想 中考新考法 规律探究 （2024·宿迁宿城区期中）寻求某些勾股数的规律.
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后,就得到了一组新的勾股数.例如:$3^{2}+4^{2}=5^{2}$,若把它扩大2倍、3倍,就分别得到$6^{2}+8^{2}=10^{2}$和$9^{2}+12^{2}=15^{2}$,$···$,若把它扩大11倍,就得到,若把它扩大$n$倍($n$为正整数),就得到;
(2)对于任意一个大于1的奇数,存在下列勾股数:
若勾股数为3,4,5,因为$3^{2}=5^{2}-4^{2}$,则有$3^{2}=4+5$;
若勾股数为5,12,13,则有$5^{2}=12+13$.
①若勾股数为7,24,25,则有;
②若勾股数为17,$a$,$b$($a＜b$),根据以上的规律,求$a$,$b$的值.
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精题详解

11.(1)$33^2+44^2=55^2$ $(3n)^2+(4n)^2=(5n)^2$
[解析]$\because 3,4,5$ 分别扩大 11 倍得到 33,44,55,
$\therefore 33^2+44^2=55^2$.
又 3,4,5 分别扩大 $n$ 倍得到 $3n,4n,5n$,
$\therefore (3n)^2+(4n)^2=(5n)^2$.
(2)①$7^2=25+24$
②$3^2=5^2-4^2,3^2=4+5$,
$5^2=13^2-12^2,5^2=12+13$,
$7^2=25^2-24^2,7^2=49=24+25$,
$\dots$,
以此类推,$(2n+1)^2=m+m+1$,$(2n+1)^2=(m+1)^2-m^2$($m,n$ 都为正整数),
$\therefore 17^2=a+b,b=a+1$,$\therefore 17^2=289=2a+1$,
$\therefore a=144$,$\therefore b=a+1=145$.

12. (2023·济宁中考)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E 均在小正方形方格的顶点上,线段 AB,CD交于点 F,若$∠ CFB=α$,则$∠ ABE$等于().


A.$180°-α$
B.$180°-2α$
C.$90°+α$
D.$90°+2α$

12.C
[解析]如图,过点 $B$ 作 $BG// CD$,连接 $EG$.
$\because BG// CD,\therefore ∠ ABG=∠ CFB=α$.
$\because BG^2=1^2+4^2=17,BE^2=1^2+4^2=17,EG^2=3^2+5^2=34,\therefore BG^2+BE^2=EG^2,\therefore △ BEG$ 是直角三角形,
$\therefore ∠ GBE=90°,\therefore ∠ ABE=∠ GBE+∠ ABG=90°+α$.
故选 C.