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6. (广东深圳中学自主招生) 一个三角形三边长分别为$5k,12k,13k$，面积$S ≤ 900$，满足情况的正整数$k$有
5
个.答案
5 解析由题意,得$(5k)^2+(12k)^2=(13k)^2$，
$\therefore$三角形为直角三角形,且两直角边分别是$5k,12k$，
$\therefore S=\frac{1}{2} ×5k ×12k=30k^2$.
$\because S≤900,∴30k^2≤900,∴k^2≤30$.
又$k$为正整数,$∴k=1,2,3,4,5$，
$\therefore$满足情况的正整数$k$有5个.
$\therefore$三角形为直角三角形,且两直角边分别是$5k,12k$，
$\therefore S=\frac{1}{2} ×5k ×12k=30k^2$.
$\because S≤900,∴30k^2≤900,∴k^2≤30$.
又$k$为正整数,$∴k=1,2,3,4,5$，
$\therefore$满足情况的正整数$k$有5个.
7. 中考新考法 课题实践活动 数学老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
由表可知,当$n=2$时,$a=3$,$b=4$,$c=5$;当$n=3$时,$a=8$,$b=6$,$c=10$;$···$.
(1)当$n=6$时,$a=$
(2)请你分别观察$a$,$b$,$c$与$n(n＞1)$之间的关系,并分别用含有$n$的代数式表示$a$,$b$,$c$:
$a=$
(3)猜想以$a$,$b$,$c$为边的三角形是否为直角三角形,并说明理由.
由表可知,当$n=2$时,$a=3$,$b=4$,$c=5$;当$n=3$时,$a=8$,$b=6$,$c=10$;$···$.
(1)当$n=6$时,$a=$
35
,$b=$12
,$c=$37
.(2)请你分别观察$a$,$b$,$c$与$n(n＞1)$之间的关系,并分别用含有$n$的代数式表示$a$,$b$,$c$:
$a=$
$n^2-1$
,$b=$$2n$
,$c=$$n^2+1$
.(3)猜想以$a$,$b$,$c$为边的三角形是否为直角三角形,并说明理由.
答案
(1)35 12 37 解析$\because$当$n=2$时,$a=2^2-1,b=2×2,c=2^2+1$;
当$n=3$时,$a=3^2-1,b=2×3,c=3^2+1$;
当$n=4$时,$a=4^2-1,b=2×4,c=4^2+1$;
当$n=5$时,$a=5^2-1,b=2×5,c=5^2+1$,
$\therefore$当$n=6$时,$a=6^2-1=35,b=2×6=12,c=6^2+1=37$.
(2)$n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.理由如下：
$\because a^2+b^2=(n^2-1)^2+4n^2=n^4+2n^2+1$，
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1,∴a^2+b^2=c^2$，
$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
当$n=3$时,$a=3^2-1,b=2×3,c=3^2+1$;
当$n=4$时,$a=4^2-1,b=2×4,c=4^2+1$;
当$n=5$时,$a=5^2-1,b=2×5,c=5^2+1$,
$\therefore$当$n=6$时,$a=6^2-1=35,b=2×6=12,c=6^2+1=37$.
(2)$n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.理由如下：
$\because a^2+b^2=(n^2-1)^2+4n^2=n^4+2n^2+1$，
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1,∴a^2+b^2=c^2$，
$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
8. 一题多问 传统文化 罗士琳法则 （2024·无锡江阴期中）
如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫作勾股数组.我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式 400 多个. 他提出: 当 $m,n$ 为正整数,且 $m＞n$ 时,$m^2-n^2,2mn,m^2+n^2$ 为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式.
(1)除勾股数 3,4,5 外,请再写出两组勾股数组
(2)若令 $x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$,请你证明 $x,y,z$ 为一组勾股数.
如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫作勾股数组.我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式 400 多个. 他提出: 当 $m,n$ 为正整数,且 $m＞n$ 时,$m^2-n^2,2mn,m^2+n^2$ 为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式.
(1)除勾股数 3,4,5 外,请再写出两组勾股数组
6,8,10
，5,12,13
；(2)若令 $x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$,请你证明 $x,y,z$ 为一组勾股数.
答案
(1)6,8,10 5,12,13(答案不唯一)
(2)$\because x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$，
$\therefore x^2=(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2,y^2=4m^2n^2,z^2=(m^2+n^2)^2=m^4+n^4+2m^2n^2$，
$\therefore x^2+y^2=(m^4+n^4-2m^2n^2)+4m^2n^2=m^4+n^4+2m^2n^2=z^2,∴x,y,z$是一组勾股数.
(2)$\because x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$，
$\therefore x^2=(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2,y^2=4m^2n^2,z^2=(m^2+n^2)^2=m^4+n^4+2m^2n^2$，
$\therefore x^2+y^2=(m^4+n^4-2m^2n^2)+4m^2n^2=m^4+n^4+2m^2n^2=z^2,∴x,y,z$是一组勾股数.
9. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,其中$∠ DAB = 90°$,求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
证明:连接$DB$,过点$D$作边$BC$上的高$DF$,则$DF = EC = b - a$.
$\because S_{\mathrm{四边形}ADCB}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}b^{2}+\dfrac{1}{2}ab$,
又$S_{\mathrm{四边形}ADCB}=S_{△ ADB}+S_{△ DCB}=\dfrac{1}{2}c^{2}+\dfrac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \dfrac{1}{2}b^{2}+\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}c^{2}+\dfrac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
请参照上述证法,利用图(2)完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中$∠ DAB = 90°$.求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
证明:连接$DB$,过点$D$作边$BC$上的高$DF$,则$DF = EC = b - a$.
$\because S_{\mathrm{四边形}ADCB}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}b^{2}+\dfrac{1}{2}ab$,
又$S_{\mathrm{四边形}ADCB}=S_{△ ADB}+S_{△ DCB}=\dfrac{1}{2}c^{2}+\dfrac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \dfrac{1}{2}b^{2}+\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}c^{2}+\dfrac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
请参照上述证法,利用图(2)完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中$∠ DAB = 90°$.求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
答案
如图,连接$BD$,过点$B$作边$DE$上的高$BF$,则$BF=b-a$.
$\because S_{\mathrm{五边形}ACBED}=S_{△ ACB} + S_{△ ABE} + S_{△ ADE}=\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$,
$S_{\mathrm{五边形}ACBED}=S_{△ ACB} + S_{△ ABD} + S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b-a)$,
$\therefore \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b-a),∴a^2 + b^2 = c^2$.
