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8. 如图,在边长为 $2\sqrt{3}$ 的等边 $△ ABC$ 中,动点 $D,E$ 分别在 $BC,AC$ 边上,且保持 $AE=CD$,连接$BE,AD$,相交于点 $P$,则 $CP$ 长的最小值为
$2$
.答案
8.$2$
解析
【分析】
我们的解题思路分三步推进：第一步，结合等边三角形性质和AE=CD的条件，证明△ABE和△CAD全等，推导得到∠APB为固定值120°；第二步，根据“定弦对定角”的隐圆结论，确定动点P的运动轨迹是以AB为弦的一段圆弧；第三步，利用圆外一点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”，计算得到CP的最小值。整个过程的核心是从动态条件里找到不变的定角，识别出隐圆模型，避开直接设变量的复杂计算。
【解析】
1. 证明三角形全等
已知△ABC是边长为$2\sqrt{3}$的等边三角形，因此$AB=AC$，$∠ BAE=∠ ACD=60°$。
在$△ ABE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}AE=CD \\∠ BAE=∠ ACD \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CAD \ (\mathrm{SAS})$
2. 推导定角
由全等可得$∠ ABE=∠ CAD$，因此：
$∠ BPD = ∠ ABE + ∠ BAP = ∠ CAD + ∠ BAP = ∠ BAC = 60°$
进而$∠ APB = 180° - ∠ BPD = 120°$，即点P运动时，$∠ APB$恒为定值$120°$。
3. 确定隐圆轨迹
根据定弦定角原理，定长弦AB对应的圆周角恒为$120°$，因此点P的轨迹是以AB为弦的一段圆弧。设该圆弧的圆心为O，半径为R：
由弦长公式，$AB^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos120°$，代入$AB=2\sqrt{3}$：
$(2\sqrt{3})^2 = 3R^2 \implies 12=3R^2 \implies R=2$
由于等边△ABC的高为$\frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{3}=3$，圆心O在AB的垂直平分线上，且与点C分别位于AB两侧，O到AB的距离为$R\cos60°=1$，因此点C到圆心O的距离为$3+1=4$。
4. 计算CP最小值
根据圆外一点到圆上点的最短距离性质，CP的最小值为$OC - R = 4 - 2 = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
全等三角形SAS判定，定弦定角隐圆，点到圆的最值
【点评】
本题是典型的隐圆模型几何最值题，核心难点是从动态的点的运动中挖掘出不变的定角，从而识别出动点P的圆弧轨迹，避免了复杂的坐标运算。学生容易卡在无法推导∠APB为定值这一步，后续结合圆的性质求最值的思路是这类题型的通用解法。
【难度系数】
0.3
我们的解题思路分三步推进：第一步，结合等边三角形性质和AE=CD的条件，证明△ABE和△CAD全等，推导得到∠APB为固定值120°；第二步，根据“定弦对定角”的隐圆结论，确定动点P的运动轨迹是以AB为弦的一段圆弧；第三步，利用圆外一点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”，计算得到CP的最小值。整个过程的核心是从动态条件里找到不变的定角，识别出隐圆模型，避开直接设变量的复杂计算。
【解析】
1. 证明三角形全等
已知△ABC是边长为$2\sqrt{3}$的等边三角形，因此$AB=AC$，$∠ BAE=∠ ACD=60°$。
在$△ ABE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}AE=CD \\∠ BAE=∠ ACD \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CAD \ (\mathrm{SAS})$
2. 推导定角
由全等可得$∠ ABE=∠ CAD$，因此：
$∠ BPD = ∠ ABE + ∠ BAP = ∠ CAD + ∠ BAP = ∠ BAC = 60°$
进而$∠ APB = 180° - ∠ BPD = 120°$，即点P运动时，$∠ APB$恒为定值$120°$。
3. 确定隐圆轨迹
根据定弦定角原理，定长弦AB对应的圆周角恒为$120°$，因此点P的轨迹是以AB为弦的一段圆弧。设该圆弧的圆心为O，半径为R：
由弦长公式，$AB^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos120°$，代入$AB=2\sqrt{3}$：
$(2\sqrt{3})^2 = 3R^2 \implies 12=3R^2 \implies R=2$
由于等边△ABC的高为$\frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{3}=3$，圆心O在AB的垂直平分线上，且与点C分别位于AB两侧，O到AB的距离为$R\cos60°=1$，因此点C到圆心O的距离为$3+1=4$。
4. 计算CP最小值
根据圆外一点到圆上点的最短距离性质，CP的最小值为$OC - R = 4 - 2 = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
全等三角形SAS判定，定弦定角隐圆，点到圆的最值
【点评】
本题是典型的隐圆模型几何最值题，核心难点是从动态的点的运动中挖掘出不变的定角，从而识别出动点P的圆弧轨迹，避免了复杂的坐标运算。学生容易卡在无法推导∠APB为定值这一步，后续结合圆的性质求最值的思路是这类题型的通用解法。
【难度系数】
0.3
9. 如图,$\odot O$的直径$AB=8$,$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点,$P$为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,连接$AP$,$CP$,过点$C$作$CD⊥ CP$交$AP$于点$D$,连接$BD$,则$BD$长的最小值是
$4\sqrt{5}-4$
.答案
9.$4\sqrt{5}-4$
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 先结合已知条件：AB是直径，C为弧AB中点，首先得到△ACB是等腰直角三角形，算出AC的长度，同时利用同弧所对圆周角相等，得到∠APC=45°。
2. 由CD⊥CP，结合∠APC=45°，可推出△CDP是等腰直角三角形，进而得到∠ADC恒为135°。
3. 发现定长线段AC对应的动点D的张角始终为135°，符合定弦定角的轨迹模型，确定D点的运动轨迹是一段圆弧。
4. 根据点到圆上点的最短距离性质：定点到圆的距离减去半径即为该点到圆上点的最小值，代入数值计算即可得到BD的最小值。
【解析】
1. 连接AC、OC：
已知AB是⊙O的直径，AB=8，因此OA=OB=OC=4，且直径所对圆周角∠ACB=90°。
因为C是弧AB的中点，所以AC=BC，△ACB为等腰直角三角形，可得AC=√(4²+4²)=4√2，∠ABC=∠BAC=45°。
2. 推导固定角度：
∠APC和∠ABC都是弧AC对应的圆周角，因此∠APC=∠ABC=45°。
又因为CD⊥CP，即∠DCP=90°，所以△DCP是等腰直角三角形，∠CDP=45°，因此∠ADC=180°-45°=135°。
3. 确定D点轨迹：
定弦AC=4√2，动点D满足∠ADC=135°，构造D的轨迹圆：该轨迹圆中AC对应的圆心角为90°，轨迹圆半径r=4，设A(-4,0)、C(0,4)，可得轨迹圆圆心M的坐标为(-4,4)。
4. 计算BD最小值：
已知B点坐标为(4,0)，计算圆心M到点B的距离：
BM=√[(4+4)²+(0-4)²]=√(64+16)=4√5
根据点到圆的最短距离性质，BD的最小值=BM - r = 4√5 - 4。
【答案】$4\sqrt{5}-4$
【知识点】圆周角定理，定弦定角轨迹，点圆最值
【点评】本题是圆的经典动点最值题型，核心难点是通过角度推导识别出动点D的定角特征，跳出直接求P点轨迹的思维误区，利用定弦定角确定D的轨迹圆，再用点圆距离公式求解，对学生的轨迹转化能力有一定要求。
【难度系数】0.3
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 先结合已知条件：AB是直径，C为弧AB中点，首先得到△ACB是等腰直角三角形，算出AC的长度，同时利用同弧所对圆周角相等，得到∠APC=45°。
2. 由CD⊥CP，结合∠APC=45°，可推出△CDP是等腰直角三角形，进而得到∠ADC恒为135°。
3. 发现定长线段AC对应的动点D的张角始终为135°，符合定弦定角的轨迹模型，确定D点的运动轨迹是一段圆弧。
4. 根据点到圆上点的最短距离性质：定点到圆的距离减去半径即为该点到圆上点的最小值，代入数值计算即可得到BD的最小值。
【解析】
1. 连接AC、OC：
已知AB是⊙O的直径，AB=8，因此OA=OB=OC=4，且直径所对圆周角∠ACB=90°。
因为C是弧AB的中点，所以AC=BC，△ACB为等腰直角三角形，可得AC=√(4²+4²)=4√2，∠ABC=∠BAC=45°。
2. 推导固定角度：
∠APC和∠ABC都是弧AC对应的圆周角，因此∠APC=∠ABC=45°。
又因为CD⊥CP，即∠DCP=90°，所以△DCP是等腰直角三角形，∠CDP=45°，因此∠ADC=180°-45°=135°。
3. 确定D点轨迹：
定弦AC=4√2，动点D满足∠ADC=135°，构造D的轨迹圆：该轨迹圆中AC对应的圆心角为90°，轨迹圆半径r=4，设A(-4,0)、C(0,4)，可得轨迹圆圆心M的坐标为(-4,4)。
4. 计算BD最小值：
已知B点坐标为(4,0)，计算圆心M到点B的距离：
BM=√[(4+4)²+(0-4)²]=√(64+16)=4√5
根据点到圆的最短距离性质，BD的最小值=BM - r = 4√5 - 4。
【答案】$4\sqrt{5}-4$
【知识点】圆周角定理，定弦定角轨迹，点圆最值
【点评】本题是圆的经典动点最值题型，核心难点是通过角度推导识别出动点D的定角特征，跳出直接求P点轨迹的思维误区，利用定弦定角确定D的轨迹圆，再用点圆距离公式求解，对学生的轨迹转化能力有一定要求。
【难度系数】0.3
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,$AB=6$,$AC=4$,$M$是$AB$边上一动点,连接$CM$,以$AM$为直径的$\odot O$交$CM$于点$N$,则线段$BN$长的最小值为
$2\sqrt{13}-2$
.答案
10.$2\sqrt{13}-2$
解析
【分析】
这道题的核心是先确定动点N的运动轨迹：首先已知AM是圆O的直径，根据直径对应的圆周角是直角，连接AN就能得到∠ANM=90°，也就是AN垂直于CM，进一步可得∠ANC恒为90°，由此可判断点N始终在以AC为直径的定圆上。接下来求BN的最小值，就转化为定点B到这个定圆上的点的最短距离问题，根据几何性质，定点到圆上点的最短距离等于定点到圆心的距离减去圆的半径，我们只需要先算出点B到AC中点（也就是定圆圆心）的距离，再减去定圆的半径就能得到结果。
【解析】
1. 作辅助线：连接AN，取AC的中点P，连接BP。
因为AM是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠ANM=90°，即AN⊥CM，因此∠ANC=90°。
由此可知点N的运动轨迹是以AC为直径的定圆，圆心为AC中点P，该圆的半径$r=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$。
2. 计算BP的长度：
已知∠BAC=120°，AB=6，$AP=\frac{AC}{2}=2$，在△ABP中由余弦定理：
$$BP^2 = AB^2 + AP^2 - 2· AB· AP· \cos∠ BAC$ 代入$\cos120°=-\frac{1}{2}$计算： $$BP^2=6^2+2^2-2×6×2×(-\frac{1}{2})=36+4+12=52$
因此$BP=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
3. 根据点与圆的位置性质，点B到圆P上点的最短距离为$BP - r$，因此BN的最小值为$2\sqrt{13}-2$。
【答案】
$2\sqrt{13}-2$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，点到圆最短距离，余弦定理
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，难点在于通过定直角的特征识别出动点N的轨迹是定圆，将动态线段最值问题转化为熟悉的点圆距离最值问题，对学生的轨迹识别能力有一定要求，是圆相关最值的常考题型。
【难度系数】
0.3
这道题的核心是先确定动点N的运动轨迹：首先已知AM是圆O的直径，根据直径对应的圆周角是直角，连接AN就能得到∠ANM=90°，也就是AN垂直于CM，进一步可得∠ANC恒为90°，由此可判断点N始终在以AC为直径的定圆上。接下来求BN的最小值，就转化为定点B到这个定圆上的点的最短距离问题，根据几何性质，定点到圆上点的最短距离等于定点到圆心的距离减去圆的半径，我们只需要先算出点B到AC中点（也就是定圆圆心）的距离，再减去定圆的半径就能得到结果。
【解析】
1. 作辅助线：连接AN，取AC的中点P，连接BP。
因为AM是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠ANM=90°，即AN⊥CM，因此∠ANC=90°。
由此可知点N的运动轨迹是以AC为直径的定圆，圆心为AC中点P，该圆的半径$r=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$。
2. 计算BP的长度：
已知∠BAC=120°，AB=6，$AP=\frac{AC}{2}=2$，在△ABP中由余弦定理：
$$BP^2 = AB^2 + AP^2 - 2· AB· AP· \cos∠ BAC$ 代入$\cos120°=-\frac{1}{2}$计算： $$BP^2=6^2+2^2-2×6×2×(-\frac{1}{2})=36+4+12=52$
因此$BP=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
3. 根据点与圆的位置性质，点B到圆P上点的最短距离为$BP - r$，因此BN的最小值为$2\sqrt{13}-2$。
【答案】
$2\sqrt{13}-2$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，点到圆最短距离，余弦定理
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，难点在于通过定直角的特征识别出动点N的轨迹是定圆，将动态线段最值问题转化为熟悉的点圆距离最值问题，对学生的轨迹识别能力有一定要求，是圆相关最值的常考题型。
【难度系数】
0.3
11. 如图,在$△ ABC$中,$AC=3$,$BC=4\sqrt{3}$,$∠ ACB=60^{ \circ }$,过点$A$作$BC$的平行线$l$,$P$为直线$l$上一动点,$\odot O$为$△ APC$的外接圆,直线$BP$交$\odot O$于点$E$,则$AE$长的最小值为
$1$
.答案
11.$1$
解析
【分析】
我们可以按如下思路推导：
1. 首先利用平行线的性质，得到∠PAC=∠ACB=60°，再结合同弧所对圆周角相等的性质，推出∠CEP=60°，进而得到∠BEC恒为120°，由此确定动点E的轨迹是：以定线段BC为弦、所含圆周角为120°的一段圆弧，也就是常说的隐圆。
2. 构造该隐圆，先根据弦长BC和对应的圆周角算出隐圆的半径，再结合已知的边长和角度关系，计算点A到隐圆圆心的距离。
3. 最后利用点到圆上点的最短距离性质：点到圆的最小距离等于点到圆心的距离减去半径，即可求出AE的最小值。
【解析】
1. 连接CE：
因为AP//BC，所以∠PAC=∠ACB=60°；
在⊙O中，∠CEP和∠CAP是同弧CP所对的圆周角，因此∠CEP=∠CAP=60°，可得∠BEC=180°-∠CEP=120°。
说明点E对定线段BC的张角始终为120°，因此E的运动轨迹是一段以BC为弦、圆周角为120°的圆弧，设该圆弧对应的圆心为M，半径为R。
2. 计算隐圆半径：
在圆M中，弦BC=4√3，它对应的圆心角∠BMC=120°，由弦长公式：
$$BC=2R·\sin\frac{∠ BMC}{2}$ 代入数值：$4\sqrt{3}=2R·\sin60°$，即$4\sqrt{3}=R·\sqrt{3}$，解得$R=4$，即$MB=MC=4$。3. 计算A到圆心M的距离： 在△MBC中，MB=MC=4，∠BMC=120°，可得底角∠MCB=30°； 已知∠ACB=60°，因此∠ACM=∠ACB+∠MCB=90°，△ACM为直角三角形； 由AC=3，MC=4，根据勾股定理得： $$AM=\sqrt{AC^2+MC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
4. 求AE最小值：
根据点圆最值性质，点A到圆M上点的最小距离为$AM-R$，代入得AE最小值为$5-4=1$。
【答案】
1
【知识点】
圆周角性质，隐圆轨迹，点圆最值
【点评】
本题是经典的隐圆几何最值题型，核心难点是通过定角定弦的特征识别出动点E的圆弧轨迹，将动态线段最值问题转化为常规的点到圆的最短距离问题，对学生的轨迹转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.3
我们可以按如下思路推导：
1. 首先利用平行线的性质，得到∠PAC=∠ACB=60°，再结合同弧所对圆周角相等的性质，推出∠CEP=60°，进而得到∠BEC恒为120°，由此确定动点E的轨迹是：以定线段BC为弦、所含圆周角为120°的一段圆弧，也就是常说的隐圆。
2. 构造该隐圆，先根据弦长BC和对应的圆周角算出隐圆的半径，再结合已知的边长和角度关系，计算点A到隐圆圆心的距离。
3. 最后利用点到圆上点的最短距离性质：点到圆的最小距离等于点到圆心的距离减去半径，即可求出AE的最小值。
【解析】
1. 连接CE：
因为AP//BC，所以∠PAC=∠ACB=60°；
在⊙O中，∠CEP和∠CAP是同弧CP所对的圆周角，因此∠CEP=∠CAP=60°，可得∠BEC=180°-∠CEP=120°。
说明点E对定线段BC的张角始终为120°，因此E的运动轨迹是一段以BC为弦、圆周角为120°的圆弧，设该圆弧对应的圆心为M，半径为R。
2. 计算隐圆半径：
在圆M中，弦BC=4√3，它对应的圆心角∠BMC=120°，由弦长公式：
$$BC=2R·\sin\frac{∠ BMC}{2}$ 代入数值：$4\sqrt{3}=2R·\sin60°$，即$4\sqrt{3}=R·\sqrt{3}$，解得$R=4$，即$MB=MC=4$。3. 计算A到圆心M的距离： 在△MBC中，MB=MC=4，∠BMC=120°，可得底角∠MCB=30°； 已知∠ACB=60°，因此∠ACM=∠ACB+∠MCB=90°，△ACM为直角三角形； 由AC=3，MC=4，根据勾股定理得： $$AM=\sqrt{AC^2+MC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
4. 求AE最小值：
根据点圆最值性质，点A到圆M上点的最小距离为$AM-R$，代入得AE最小值为$5-4=1$。
【答案】
1
【知识点】
圆周角性质，隐圆轨迹，点圆最值
【点评】
本题是经典的隐圆几何最值题型，核心难点是通过定角定弦的特征识别出动点E的圆弧轨迹，将动态线段最值问题转化为常规的点到圆的最短距离问题，对学生的轨迹转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.3
[基础图形一]
[基本结论]定边对直角 $⇒$ 点 $C$ 在 $\odot O$ 上运动
[基础图形二]
[基本结论]①弦 $AB$ 的长为定值$⇒ ∠ C$ 为定值
②$∠ C$ 为定值$⇒$ 弦 $AB$ 的长为定值
[基础图形三]
[已知条件]$AD,∠ BAC$ 为定值
[基本结论]$AD$ 过圆心时，$BC$ 的长最小
[基本结论]定边对直角 $⇒$ 点 $C$ 在 $\odot O$ 上运动
[基础图形二]
[基本结论]①弦 $AB$ 的长为定值$⇒ ∠ C$ 为定值
②$∠ C$ 为定值$⇒$ 弦 $AB$ 的长为定值
[基础图形三]
[已知条件]$AD,∠ BAC$ 为定值
[基本结论]$AD$ 过圆心时，$BC$ 的长最小
答案
解：
1. 证明定边对直角，点C在$\odot O$上运动：
∵ $∠ ACB=90°$，O是AB的中点，
由直角三角形斜边中线性质得 $OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$，
即点C到定点O的距离恒等于定长$\frac{1}{2}AB$，
∴ 点C在以AB为直径的$\odot O$上运动。
2. 证明基础图形二的两个结论：
① ∵ AB是$\odot O$的定长弦，
∴ AB对应的圆心角$∠ AOB$为定值，
由圆周角定理得 $∠ C = \frac{1}{2}∠ AOB$，
∴ $∠ C$为定值。
② ∵ $∠ C$为$\odot O$上的定圆周角，
由圆周角定理得 $∠ AOB = 2∠ C$，即$∠ C$对应的圆心角为定值，
同圆中相等的圆心角所对的弦长度相等，
∴ $∠ C$对应的弦AB的长为定值。
3. 证明AD过圆心时，BC的长最小：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，过点O作$OE⊥ BC$于E，
由垂径定理得 $BC = 2BE$，
由圆周角定理得 $∠ BOE = ∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，∴ $∠ BOE$为定值。
在$Rt△ BOE$中，$BE = OB· \sin∠ BOE$，
因此 $BC = 2OB· \sin∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，$\sin∠ BAC$为定值，要使BC最小，需$\odot O$的半径OB最小。
∵ $AD⊥ BC$，AD为定长，由垂线段性质得 $AO + OE \ge AD$，
当AD经过圆心O时，O落在AD上，等号成立，此时半径OB=AO取得最小值，
因此BC的长取得最小值，即AD过圆心时，BC的长最小。
1. 证明定边对直角，点C在$\odot O$上运动：
∵ $∠ ACB=90°$，O是AB的中点，
由直角三角形斜边中线性质得 $OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$，
即点C到定点O的距离恒等于定长$\frac{1}{2}AB$，
∴ 点C在以AB为直径的$\odot O$上运动。
2. 证明基础图形二的两个结论：
① ∵ AB是$\odot O$的定长弦，
∴ AB对应的圆心角$∠ AOB$为定值，
由圆周角定理得 $∠ C = \frac{1}{2}∠ AOB$，
∴ $∠ C$为定值。
② ∵ $∠ C$为$\odot O$上的定圆周角，
由圆周角定理得 $∠ AOB = 2∠ C$，即$∠ C$对应的圆心角为定值，
同圆中相等的圆心角所对的弦长度相等，
∴ $∠ C$对应的弦AB的长为定值。
3. 证明AD过圆心时，BC的长最小：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，过点O作$OE⊥ BC$于E，
由垂径定理得 $BC = 2BE$，
由圆周角定理得 $∠ BOE = ∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，∴ $∠ BOE$为定值。
在$Rt△ BOE$中，$BE = OB· \sin∠ BOE$，
因此 $BC = 2OB· \sin∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，$\sin∠ BAC$为定值，要使BC最小，需$\odot O$的半径OB最小。
∵ $AD⊥ BC$，AD为定长，由垂线段性质得 $AO + OE \ge AD$，
当AD经过圆心O时，O落在AD上，等号成立，此时半径OB=AO取得最小值，
因此BC的长取得最小值，即AD过圆心时，BC的长最小。
解析
【分析】
这道题是推导隐圆相关的三个核心基础几何结论，解题思路可以分三步逐个突破：
1. 证明定边对直角的点在圆上：回忆圆的定义——平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，结合直角三角形斜边中线的性质，证明动点C到AB中点的距离恒等于AB的一半（定长），即可得到点C的轨迹是圆。
2. 证明定弦定角的互逆结论：依托圆周角定理，同圆中弦长由对应的圆心角唯一确定，圆周角的大小是对应圆心角的一半，因此弦长为定值时对应的圆心角为定值，圆周角自然为定值；反过来圆周角为定值时，对应的圆心角也为定值，对应的弦长自然为定值。
3. 证明AD过圆心时BC最小：先用垂径定理把BC的长度转化为和△ABC外接圆半径相关的表达式，结合已知∠BAC是定值，可推出BC的长度仅由外接圆的半径决定，要让BC最小就需要外接圆半径最小；再结合AD是定长的条件，利用垂线段的性质，即可推出当AD经过圆心时，外接圆半径取得最小值，对应BC长度最小。
【解析】
我们分三部分依次完成三个结论的证明：
1. 定边对直角，点C在⊙O上运动的证明：
已知∠ACB=90°，取AB的中点O，由直角三角形斜边中线的性质可得：
$OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$，
即动点C到定点O的距离恒等于定长$\frac{1}{2}AB$，符合圆的定义，因此点C在以AB为直径的⊙O上运动。
2. 基础图形二两个结论的证明：
① 弦AB为定值⇒∠C为定值：
在△ABC的外接圆⊙O中，定长弦AB对应的圆心角∠AOB是固定值，根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，即$∠C = \frac{1}{2}∠AOB$，因此∠C为定值。
② ∠C为定值⇒弦AB为定值：
在△ABC的外接圆⊙O中，已知圆周角∠C为定值，由圆周角定理可得对应圆心角$∠AOB=2∠C$，即∠AOB也为定值，同圆中相等的圆心角所对的弦长度相等，因此∠C对应的弦AB的长为定值。
3. AD过圆心时BC的长最小的证明：
设△ABC的外接圆为⊙O，过点O作OE⊥BC于E，由垂径定理得$BC = 2BE$；
由圆周角定理可得$∠BOE = ∠BAC$，已知∠BAC为定值，因此∠BOE也为定值；
在Rt△BOE中，$BE = OB·\sin∠BOE$，代入BC的表达式可得：
$BC = 2OB·\sin∠BAC$，
由于∠BAC为定值，$\sin∠BAC$是定值，因此要让BC最小，只需要让⊙O的半径OB最小即可；
已知AD为定长，根据垂线段性质可得$AO + OE \ge AD$，当且仅当AD经过圆心O时，点O落在AD上，等号成立，此时半径OB=AO取得最小值，对应BC的长取得最小值，即AD过圆心时，BC的长最小。
【答案】
1. 证明定边对直角，点C在$\odot O$上运动：
∵ $∠ ACB=90°$，O是AB的中点，
由直角三角形斜边中线性质得 $OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$，
即点C到定点O的距离恒等于定长$\frac{1}{2}AB$，
∴ 点C在以AB为直径的$\odot O$上运动。
2. 证明基础图形二的两个结论：
①
∵ AB是$\odot O$的定长弦，
∴ AB对应的圆心角$∠ AOB$为定值，
由圆周角定理得 $∠ C = \frac{1}{2}∠ AOB$，
∴ $∠ C$为定值。
②
∵ $∠ C$为$\odot O$上的定圆周角，
由圆周角定理得 $∠ AOB = 2∠ C$，即$∠ C$对应的圆心角为定值，
同圆中相等的圆心角所对的弦长度相等，
∴ $∠ C$对应的弦AB的长为定值。
3. 证明AD过圆心时，BC的长最小：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，过点O作$OE⊥ BC$于E，
由垂径定理得 $BC = 2BE$，
由圆周角定理得 $∠ BOE = ∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，
∴ $∠ BOE$为定值。
在$Rt△ BOE$中，$BE = OB· \sin∠ BOE$，
因此 $BC = 2OB· \sin∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，$\sin∠ BAC$为定值，要使BC最小，需$\odot O$的半径OB最小。
∵ $AD⊥ BC$，AD为定长，由垂线段性质得 $AO + OE \ge AD$，
当AD经过圆心O时，O落在AD上，等号成立，此时半径OB=AO取得最小值，
因此BC的长取得最小值，即AD过圆心时，BC的长最小。
【知识点】
圆的定义、圆周角定理、垂径定理
【点评】
这三个结论是初中几何隐圆模型的核心基础，是后续解决动点轨迹、线段最值类几何问题的重要工具，理解推导逻辑后可以快速识别定边对直角、定弦定角等常见隐圆场景，大幅简化复杂几何题的分析过程，不要仅死记结论，要掌握推导的转化思路。
【难度系数】
0.5
这道题是推导隐圆相关的三个核心基础几何结论，解题思路可以分三步逐个突破：
1. 证明定边对直角的点在圆上：回忆圆的定义——平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，结合直角三角形斜边中线的性质，证明动点C到AB中点的距离恒等于AB的一半（定长），即可得到点C的轨迹是圆。
2. 证明定弦定角的互逆结论：依托圆周角定理，同圆中弦长由对应的圆心角唯一确定，圆周角的大小是对应圆心角的一半，因此弦长为定值时对应的圆心角为定值，圆周角自然为定值；反过来圆周角为定值时，对应的圆心角也为定值，对应的弦长自然为定值。
3. 证明AD过圆心时BC最小：先用垂径定理把BC的长度转化为和△ABC外接圆半径相关的表达式，结合已知∠BAC是定值，可推出BC的长度仅由外接圆的半径决定，要让BC最小就需要外接圆半径最小；再结合AD是定长的条件，利用垂线段的性质，即可推出当AD经过圆心时，外接圆半径取得最小值，对应BC长度最小。
【解析】
我们分三部分依次完成三个结论的证明：
1. 定边对直角，点C在⊙O上运动的证明：
已知∠ACB=90°，取AB的中点O，由直角三角形斜边中线的性质可得：
$OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$，
即动点C到定点O的距离恒等于定长$\frac{1}{2}AB$，符合圆的定义，因此点C在以AB为直径的⊙O上运动。
2. 基础图形二两个结论的证明：
① 弦AB为定值⇒∠C为定值：
在△ABC的外接圆⊙O中，定长弦AB对应的圆心角∠AOB是固定值，根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，即$∠C = \frac{1}{2}∠AOB$，因此∠C为定值。
② ∠C为定值⇒弦AB为定值：
在△ABC的外接圆⊙O中，已知圆周角∠C为定值，由圆周角定理可得对应圆心角$∠AOB=2∠C$，即∠AOB也为定值，同圆中相等的圆心角所对的弦长度相等，因此∠C对应的弦AB的长为定值。
3. AD过圆心时BC的长最小的证明：
设△ABC的外接圆为⊙O，过点O作OE⊥BC于E，由垂径定理得$BC = 2BE$；
由圆周角定理可得$∠BOE = ∠BAC$，已知∠BAC为定值，因此∠BOE也为定值；
在Rt△BOE中，$BE = OB·\sin∠BOE$，代入BC的表达式可得：
$BC = 2OB·\sin∠BAC$，
由于∠BAC为定值，$\sin∠BAC$是定值，因此要让BC最小，只需要让⊙O的半径OB最小即可；
已知AD为定长，根据垂线段性质可得$AO + OE \ge AD$，当且仅当AD经过圆心O时，点O落在AD上，等号成立，此时半径OB=AO取得最小值，对应BC的长取得最小值，即AD过圆心时，BC的长最小。
【答案】
1. 证明定边对直角，点C在$\odot O$上运动：
∵ $∠ ACB=90°$，O是AB的中点，
由直角三角形斜边中线性质得 $OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$，
即点C到定点O的距离恒等于定长$\frac{1}{2}AB$，
∴ 点C在以AB为直径的$\odot O$上运动。
2. 证明基础图形二的两个结论：
①
∵ AB是$\odot O$的定长弦，
∴ AB对应的圆心角$∠ AOB$为定值，
由圆周角定理得 $∠ C = \frac{1}{2}∠ AOB$，
∴ $∠ C$为定值。
②
∵ $∠ C$为$\odot O$上的定圆周角，
由圆周角定理得 $∠ AOB = 2∠ C$，即$∠ C$对应的圆心角为定值，
同圆中相等的圆心角所对的弦长度相等，
∴ $∠ C$对应的弦AB的长为定值。
3. 证明AD过圆心时，BC的长最小：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，过点O作$OE⊥ BC$于E，
由垂径定理得 $BC = 2BE$，
由圆周角定理得 $∠ BOE = ∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，
∴ $∠ BOE$为定值。
在$Rt△ BOE$中，$BE = OB· \sin∠ BOE$，
因此 $BC = 2OB· \sin∠ BAC$，
∵ $∠ BAC$为定值，$\sin∠ BAC$为定值，要使BC最小，需$\odot O$的半径OB最小。
∵ $AD⊥ BC$，AD为定长，由垂线段性质得 $AO + OE \ge AD$，
当AD经过圆心O时，O落在AD上，等号成立，此时半径OB=AO取得最小值，
因此BC的长取得最小值，即AD过圆心时，BC的长最小。
【知识点】
圆的定义、圆周角定理、垂径定理
【点评】
这三个结论是初中几何隐圆模型的核心基础，是后续解决动点轨迹、线段最值类几何问题的重要工具，理解推导逻辑后可以快速识别定边对直角、定弦定角等常见隐圆场景，大幅简化复杂几何题的分析过程，不要仅死记结论，要掌握推导的转化思路。
【难度系数】
0.5
