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1. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $DC// AB, BC=1, AB=AC=AD=2$, 则 $BD$ 的长为
$\sqrt{15}$
.答案
1.$\sqrt{15}$
解析
【分析】
我们先梳理已知条件：DC平行AB，BC=1，且AB=AC=AD=2。首先观察到AD、AC、AB三条线段长度相等，说明点D、C、B到点A的距离完全相等，这里选择用平面直角坐标系的方法可以大幅简化计算：将点A放在坐标原点，让AB落在x轴上，就能直接写出B点坐标，再结合AC=2、BC=1求出C点坐标，利用DC平行AB的性质得到D和C纵坐标相等，再结合AD=2求出D点坐标，最后用两点间距离公式即可算出BD的长度，思路直观不容易出错。
【解析】
我们通过建立平面直角坐标系求解：
1. 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
由AB=2，可得点B的坐标为$(2,0)$。
2. 设点C的坐标为$(x,y)$，已知AC=2，BC=1，根据两点间距离公式列方程组：
$\begin{cases} x^2 + y^2 = AC^2 = 4 \\ (x-2)^2 + y^2 = BC^2 = 1 \end{cases}$
两式相减消去$y^2$：$(x-2)^2 - x^2 = -3$，展开化简得$-4x+4=-3$，解得$x=\frac{7}{4}$。
将$x=\frac{7}{4}$代入$x^2+y^2=4$，得$y^2=4 - (\frac{7}{4})^2=\frac{15}{16}$，即$y=\frac{\sqrt{15}}{4}$。
3. 因为$DC// AB$，AB在x轴上，所以DC平行于x轴，点D的纵坐标与点C的纵坐标相等，为$\frac{\sqrt{15}}{4}$。
设D点坐标为$(p,\frac{\sqrt{15}}{4})$，代入AD=2的距离公式：$p^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2=2^2$，解得$p^2=\frac{49}{16}$。
结合图形中D在A的左侧，$p＜0$，得$p=-\frac{7}{4}$，即D点坐标为$(-\frac{7}{4},\frac{\sqrt{15}}{4})$。
4. 代入两点间距离公式计算BD：
$BD=\sqrt{(2 - (-\frac{7}{4}))^2 + (0 - \frac{\sqrt{15}}{4})^2}=\sqrt{(\frac{15}{4})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2}=\sqrt{\frac{225+15}{16}}=\sqrt{15}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
两点间距离公式，平行线性质，坐标法解几何
【点评】
本题的核心突破口是发现AB=AC=AD三条等长线段，既可以用建系的代数方法直观求解，也可以构造以A为圆心的辅助圆利用圆周角性质求解，避免复杂的角度推导，能够训练几何问题代数转化的思维能力。
【难度系数】
0.4
我们先梳理已知条件：DC平行AB，BC=1，且AB=AC=AD=2。首先观察到AD、AC、AB三条线段长度相等，说明点D、C、B到点A的距离完全相等，这里选择用平面直角坐标系的方法可以大幅简化计算：将点A放在坐标原点，让AB落在x轴上，就能直接写出B点坐标，再结合AC=2、BC=1求出C点坐标，利用DC平行AB的性质得到D和C纵坐标相等，再结合AD=2求出D点坐标，最后用两点间距离公式即可算出BD的长度，思路直观不容易出错。
【解析】
我们通过建立平面直角坐标系求解：
1. 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
由AB=2，可得点B的坐标为$(2,0)$。
2. 设点C的坐标为$(x,y)$，已知AC=2，BC=1，根据两点间距离公式列方程组：
$\begin{cases} x^2 + y^2 = AC^2 = 4 \\ (x-2)^2 + y^2 = BC^2 = 1 \end{cases}$
两式相减消去$y^2$：$(x-2)^2 - x^2 = -3$，展开化简得$-4x+4=-3$，解得$x=\frac{7}{4}$。
将$x=\frac{7}{4}$代入$x^2+y^2=4$，得$y^2=4 - (\frac{7}{4})^2=\frac{15}{16}$，即$y=\frac{\sqrt{15}}{4}$。
3. 因为$DC// AB$，AB在x轴上，所以DC平行于x轴，点D的纵坐标与点C的纵坐标相等，为$\frac{\sqrt{15}}{4}$。
设D点坐标为$(p,\frac{\sqrt{15}}{4})$，代入AD=2的距离公式：$p^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2=2^2$，解得$p^2=\frac{49}{16}$。
结合图形中D在A的左侧，$p＜0$，得$p=-\frac{7}{4}$，即D点坐标为$(-\frac{7}{4},\frac{\sqrt{15}}{4})$。
4. 代入两点间距离公式计算BD：
$BD=\sqrt{(2 - (-\frac{7}{4}))^2 + (0 - \frac{\sqrt{15}}{4})^2}=\sqrt{(\frac{15}{4})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2}=\sqrt{\frac{225+15}{16}}=\sqrt{15}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
两点间距离公式，平行线性质，坐标法解几何
【点评】
本题的核心突破口是发现AB=AC=AD三条等长线段，既可以用建系的代数方法直观求解，也可以构造以A为圆心的辅助圆利用圆周角性质求解，避免复杂的角度推导，能够训练几何问题代数转化的思维能力。
【难度系数】
0.4
2. 如图,在矩形纸片 $ABCD$ 中,$AB=4$,$AD=6$,$E$ 是 $AB$ 的中点,$F$ 是边 $AD$ 上的一个动点,将$△ AEF$ 沿 $EF$ 所在直线翻折,得到 $△ A'EF$,则线段 $A'C$ 长的最小值是
$2\sqrt{10}-2$
.答案
2.$2\sqrt{10}-2$
解析
【分析】
这是典型的折叠类动点最值问题，解题思路如下：首先根据折叠的性质，找到折叠过程中的不变量：翻折后A'E的长度始终等于AE，E是固定点，因此可以确定动点A'的运动轨迹是以E为圆心、AE长为半径的一段圆弧；接下来要求定点C到动点A'的最小距离，直接利用点到圆的最短距离结论：定点到圆上点的最小距离=定点到圆心的距离减去圆的半径，最后计算出圆心E到点C的长度，减去半径即可得到A'C的最小值。
【解析】
1. 确定轨迹相关参数
已知AB=4，E是AB的中点，因此$AE=EB=\frac{1}{2}AB=2$。
由折叠的性质可得：$A'E = AE = 2$，说明点A'的运动轨迹是以点E为圆心，半径$r=2$的一段圆弧。
2. 计算圆心E到点C的距离
在矩形ABCD中，$BC=AD=6$，且$∠ B=90°$，即$△ EBC$为直角三角形。
根据勾股定理：
$EC=\sqrt{EB^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
3. 求A'C的最小值
根据点与圆的位置关系性质，当点A'恰好落在线段EC上时，A'到C的距离取得最小值，此时：
$A'C_{\mathrm{最小}}=EC - r=2\sqrt{10}-2$
【答案】
$2\sqrt{10}-2$
【知识点】
折叠的性质，隐圆最值，勾股定理
【点评】
本题是几何最值中经典的“隐圆”模型应用，核心是通过折叠的等长不变量，把看似无规律的动点A'的运动轨迹转化为圆，将复杂的动点距离问题转化为学生熟悉的点到圆的距离最值问题，需要学生跳出直接计算动点线段的惯性思维，主动挖掘隐藏的轨迹。
【难度系数】
0.4
这是典型的折叠类动点最值问题，解题思路如下：首先根据折叠的性质，找到折叠过程中的不变量：翻折后A'E的长度始终等于AE，E是固定点，因此可以确定动点A'的运动轨迹是以E为圆心、AE长为半径的一段圆弧；接下来要求定点C到动点A'的最小距离，直接利用点到圆的最短距离结论：定点到圆上点的最小距离=定点到圆心的距离减去圆的半径，最后计算出圆心E到点C的长度，减去半径即可得到A'C的最小值。
【解析】
1. 确定轨迹相关参数
已知AB=4，E是AB的中点，因此$AE=EB=\frac{1}{2}AB=2$。
由折叠的性质可得：$A'E = AE = 2$，说明点A'的运动轨迹是以点E为圆心，半径$r=2$的一段圆弧。
2. 计算圆心E到点C的距离
在矩形ABCD中，$BC=AD=6$，且$∠ B=90°$，即$△ EBC$为直角三角形。
根据勾股定理：
$EC=\sqrt{EB^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
3. 求A'C的最小值
根据点与圆的位置关系性质，当点A'恰好落在线段EC上时，A'到C的距离取得最小值，此时：
$A'C_{\mathrm{最小}}=EC - r=2\sqrt{10}-2$
【答案】
$2\sqrt{10}-2$
【知识点】
折叠的性质，隐圆最值，勾股定理
【点评】
本题是几何最值中经典的“隐圆”模型应用，核心是通过折叠的等长不变量，把看似无规律的动点A'的运动轨迹转化为圆，将复杂的动点距离问题转化为学生熟悉的点到圆的距离最值问题，需要学生跳出直接计算动点线段的惯性思维，主动挖掘隐藏的轨迹。
【难度系数】
0.4
3. 如图,在$△ ACB$和$△ ADB$中,$∠ ACB=∠ ADB=90°$,连接$DC$,当$∠ CAB=31°$时,$∠ CDB=$
$31$
$°$.答案
3.$31$
解析
【分析】
我们先观察图形特征：△ACB和△ADB都是以AB为公共斜边的直角三角形，首先可以联想到共斜边的直角三角形的性质，尝试证明A、B、C、D四点共圆。接下来要找已知角∠CAB和待求角∠CDB的关联，两个角都对应弧BC，利用同弧所对圆周角相等的性质，就能直接推导两个角度相等，快速算出结果。如果暂时没想到四点共圆，也可以先取AB中点，通过直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到四条线段相等，反向验证四点共圆，再完成推导。
【解析】
解：取AB的中点O，连接OC、OD。
1. 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：
$OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB$
2. 同理，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，O是AB中点，可得：
$OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$
3. 因此$OA=OB=OC=OD$，说明点A、B、C、D都在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
4. 根据圆周角定理：同一段弧所对的圆周角相等，∠CAB和∠CDB都是弧BC所对的圆周角，因此：
$∠ CDB = ∠ CAB = 31°$
【答案】31
【知识点】
直角三角形斜边中线，同弧圆周角相等，四点共圆
【点评】
本题是几何中利用圆的性质简化角度计算的典型题型，核心考点是识别共斜边双直角三角形的四点共圆特征，不需要做复杂的角度推导就能直接得到角度相等的关系，解题的关键是对共斜边直角三角形的性质有足够敏感度。
【难度系数】
0.7
我们先观察图形特征：△ACB和△ADB都是以AB为公共斜边的直角三角形，首先可以联想到共斜边的直角三角形的性质，尝试证明A、B、C、D四点共圆。接下来要找已知角∠CAB和待求角∠CDB的关联，两个角都对应弧BC，利用同弧所对圆周角相等的性质，就能直接推导两个角度相等，快速算出结果。如果暂时没想到四点共圆，也可以先取AB中点，通过直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到四条线段相等，反向验证四点共圆，再完成推导。
【解析】
解：取AB的中点O，连接OC、OD。
1. 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：
$OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB$
2. 同理，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，O是AB中点，可得：
$OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$
3. 因此$OA=OB=OC=OD$，说明点A、B、C、D都在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
4. 根据圆周角定理：同一段弧所对的圆周角相等，∠CAB和∠CDB都是弧BC所对的圆周角，因此：
$∠ CDB = ∠ CAB = 31°$
【答案】31
【知识点】
直角三角形斜边中线，同弧圆周角相等，四点共圆
【点评】
本题是几何中利用圆的性质简化角度计算的典型题型，核心考点是识别共斜边双直角三角形的四点共圆特征，不需要做复杂的角度推导就能直接得到角度相等的关系，解题的关键是对共斜边直角三角形的性质有足够敏感度。
【难度系数】
0.7
4. 如图,$AB ⊥ BC,AB=5$,$E,F$分别是线段$AB$,射线$BC$上的动点,以$EF$为斜边向上作等腰直角$△ DEF$,$∠ D=90^{ \circ }$,连接$AD$,则$AD$长的最小值为
$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
.答案
4.$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
这是一道动点最值问题，核心解题思路是先确定动点D的运动轨迹，再利用点到直线的距离最短的性质求AD的最小值。首先结合已知的AB⊥BC、等腰直角△DEF的条件，通过作辅助线构造全等三角形，推导出点D始终在∠ABC的角平分线上，也就是过点B、与AB夹角为45°的射线上。得到D的运动轨迹后，定点A到这条轨迹射线的垂线段长度就是AD的最小值，代入三角函数计算即可得到结果。
【解析】
1. 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N：
由AB⊥BC，可得∠B=∠DMB=∠DNB=90°，因此四边形DMBN是矩形，可得∠MDN=90°。
2. 已知∠EDF=90°，因此∠MDE + ∠EDN = ∠MDN=90°，∠NDF + ∠EDN = ∠EDF=90°，可推出∠MDE=∠NDF。
3. 结合DE=DF，∠DME=∠DNF=90°，可证△DME ≌ △DNF（AAS），得到DM=DN。
4. 根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点D在∠ABC的角平分线上，即BD平分∠ABC，∠ABD=45°。
5. 根据点到直线的距离垂线段最短，当AD⊥BD时，AD取得最小值。在对应的直角三角形中，AB=5，∠ABD=45°，因此AD的最小值为：
$ AD_{\mathrm{min}}=AB·\sin45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}【$答案$】\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
全等三角形判定，角平分线判定，点到直线距离
【点评】
本题属于典型的隐轨迹最值题型，难点在于无法直接观察到D点的运动路径，需要通过构造全等三角形推导动点轨迹，将复杂的动态最值问题转化为定点到定直线的最短距离问题，对学生的几何转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.3
这是一道动点最值问题，核心解题思路是先确定动点D的运动轨迹，再利用点到直线的距离最短的性质求AD的最小值。首先结合已知的AB⊥BC、等腰直角△DEF的条件，通过作辅助线构造全等三角形，推导出点D始终在∠ABC的角平分线上，也就是过点B、与AB夹角为45°的射线上。得到D的运动轨迹后，定点A到这条轨迹射线的垂线段长度就是AD的最小值，代入三角函数计算即可得到结果。
【解析】
1. 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N：
由AB⊥BC，可得∠B=∠DMB=∠DNB=90°，因此四边形DMBN是矩形，可得∠MDN=90°。
2. 已知∠EDF=90°，因此∠MDE + ∠EDN = ∠MDN=90°，∠NDF + ∠EDN = ∠EDF=90°，可推出∠MDE=∠NDF。
3. 结合DE=DF，∠DME=∠DNF=90°，可证△DME ≌ △DNF（AAS），得到DM=DN。
4. 根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点D在∠ABC的角平分线上，即BD平分∠ABC，∠ABD=45°。
5. 根据点到直线的距离垂线段最短，当AD⊥BD时，AD取得最小值。在对应的直角三角形中，AB=5，∠ABD=45°，因此AD的最小值为：
$ AD_{\mathrm{min}}=AB·\sin45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}【$答案$】\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
全等三角形判定，角平分线判定，点到直线距离
【点评】
本题属于典型的隐轨迹最值题型，难点在于无法直接观察到D点的运动路径，需要通过构造全等三角形推导动点轨迹，将复杂的动态最值问题转化为定点到定直线的最短距离问题，对学生的几何转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.3
5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB⊥ BC,AB=6,BC=4,P$是$△ ABC$内部的一个动点,且满足$∠ PAB=$$∠ PBC$,则线段$CP$长的最小值为
$2$
.答案
5.$2$
解析
【分析】
我们先从已知条件出发推导动点P的轨迹：首先由AB⊥BC可得∠ABC=90°，即∠ABP+∠PBC=90°，结合题目给出的∠PAB=∠PBC，代入后可得到∠PAB+∠ABP=90°，由此推出∠APB=90°。根据“直径所对的圆周角是直角”，可知动点P的运动轨迹是以AB为直径的圆在△ABC内部的一段弧。接下来要求CP的最小值，根据点到圆上点的最短距离规律：定点到圆心的距离减去半径就是该点到圆上点的最小距离，我们先找到AB中点也就是该圆的圆心，计算圆心到点C的距离，再减去半径就能得到CP的最小值。
【解析】
1. 推导∠APB的度数：
在Rt△ABC中，AB⊥BC，因此∠ABC=90°，即$∠ ABP + ∠ PBC = 90°$。
已知$∠ PAB = ∠ PBC$，代入上式得$∠ PAB + ∠ ABP = 90°$，因此在△ABP中，$∠ APB = 180° - (∠ PAB + ∠ ABP) = 90°$。
2. 确定点P的轨迹：
根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此动点P的轨迹是以AB为直径的圆，且P在△ABC内部。
取AB的中点O，则O为该圆的圆心，半径$r = OA = OB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$。
3. 计算OC的长度：
在Rt△OBC中，$OB=3$，$BC=4$，$∠ OBC=90°$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
4. 求CP的最小值：
根据点与圆的位置性质，定点C到圆上动点P的最小距离为$OC - r$，即当O、P、C三点共线时，CP取得最小值：
$CP_{\mathrm{min}} = OC - OP = 5 - 3 = 2$，此时P在△ABC内部，符合题设条件。
【答案】
$2$
【知识点】
隐圆模型，勾股定理，点圆最值
【点评】
本题是典型的动态几何隐圆问题，核心考点是通过角度关系识别出动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的最短距离求解，学生容易因无法发现点P的圆周运动轨迹导致解题受阻，需要熟练掌握“直角对直径”的隐圆判定技巧。
【难度系数】
0.3
我们先从已知条件出发推导动点P的轨迹：首先由AB⊥BC可得∠ABC=90°，即∠ABP+∠PBC=90°，结合题目给出的∠PAB=∠PBC，代入后可得到∠PAB+∠ABP=90°，由此推出∠APB=90°。根据“直径所对的圆周角是直角”，可知动点P的运动轨迹是以AB为直径的圆在△ABC内部的一段弧。接下来要求CP的最小值，根据点到圆上点的最短距离规律：定点到圆心的距离减去半径就是该点到圆上点的最小距离，我们先找到AB中点也就是该圆的圆心，计算圆心到点C的距离，再减去半径就能得到CP的最小值。
【解析】
1. 推导∠APB的度数：
在Rt△ABC中，AB⊥BC，因此∠ABC=90°，即$∠ ABP + ∠ PBC = 90°$。
已知$∠ PAB = ∠ PBC$，代入上式得$∠ PAB + ∠ ABP = 90°$，因此在△ABP中，$∠ APB = 180° - (∠ PAB + ∠ ABP) = 90°$。
2. 确定点P的轨迹：
根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此动点P的轨迹是以AB为直径的圆，且P在△ABC内部。
取AB的中点O，则O为该圆的圆心，半径$r = OA = OB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$。
3. 计算OC的长度：
在Rt△OBC中，$OB=3$，$BC=4$，$∠ OBC=90°$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
4. 求CP的最小值：
根据点与圆的位置性质，定点C到圆上动点P的最小距离为$OC - r$，即当O、P、C三点共线时，CP取得最小值：
$CP_{\mathrm{min}} = OC - OP = 5 - 3 = 2$，此时P在△ABC内部，符合题设条件。
【答案】
$2$
【知识点】
隐圆模型，勾股定理，点圆最值
【点评】
本题是典型的动态几何隐圆问题，核心考点是通过角度关系识别出动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的最短距离求解，学生容易因无法发现点P的圆周运动轨迹导致解题受阻，需要熟练掌握“直角对直径”的隐圆判定技巧。
【难度系数】
0.3
6. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB=2$,动点$E$从点$A$出发向点$D$运动,同时动点$F$从点$D$出发向点$C$运动,点$E,F$运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段$AF$,$BE$相交于点$P$,则线段$DP$长的最小值为
$\sqrt{5}-1$
.答案
6.$\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
首先，由动点E、F运动速度相同、运动时间相等，可直接得到AE=DF的等量关系；结合正方形边长相等、内角为90°的性质，可证明△ABE和△DAF全等，通过角的转化推导出∠APB=90°，由此可判定点P的运动轨迹是以AB为直径的一段圆弧。要求DP的最小值，根据点到圆的最短距离规律：圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去圆的半径，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 由题意可知，动点E、F运动速度相同，运动过程中始终满足AE=DF。
2. 在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=∠ADF=90°。
在△ABE和△DAF中：
$\begin{cases} AB=DA \\ ∠BAE=∠ADF \\ AE=DF \end{cases}$
∴△ABE≌△DAF（SAS），可得∠ABE=∠DAF。
3. 因为∠ABE + ∠AEB = 90°，代入∠ABE=∠DAF得：∠DAF + ∠AEB = 90°，因此∠APE=90°，即∠APB=90°。
4. 取AB的中点O，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦为直径，可知点P的轨迹是以AB为直径的圆O上的一段弧，圆O的半径$r=OP=\frac{1}{2}AB=1$。
5. 连接OD，在Rt△OAD中，AO=1，AD=2，∠OAD=90°，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AO^2 + AD^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
6. 根据点到圆的最短距离性质，DP的最小值为OD减去圆O的半径OP，即$DP_{min}=OD - OP=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形性质，全等三角形判定，点与圆位置关系
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，解题核心是通过全等推导得到定角∠APB=90°，从而识别出点P的运动轨迹为定圆，无需复杂的函数推导即可快速求出线段最小值，这类题型需要学生掌握直角对应定直径的隐圆构造思路。
【难度系数】
0.3
首先，由动点E、F运动速度相同、运动时间相等，可直接得到AE=DF的等量关系；结合正方形边长相等、内角为90°的性质，可证明△ABE和△DAF全等，通过角的转化推导出∠APB=90°，由此可判定点P的运动轨迹是以AB为直径的一段圆弧。要求DP的最小值，根据点到圆的最短距离规律：圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去圆的半径，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 由题意可知，动点E、F运动速度相同，运动过程中始终满足AE=DF。
2. 在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=∠ADF=90°。
在△ABE和△DAF中：
$\begin{cases} AB=DA \\ ∠BAE=∠ADF \\ AE=DF \end{cases}$
∴△ABE≌△DAF（SAS），可得∠ABE=∠DAF。
3. 因为∠ABE + ∠AEB = 90°，代入∠ABE=∠DAF得：∠DAF + ∠AEB = 90°，因此∠APE=90°，即∠APB=90°。
4. 取AB的中点O，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦为直径，可知点P的轨迹是以AB为直径的圆O上的一段弧，圆O的半径$r=OP=\frac{1}{2}AB=1$。
5. 连接OD，在Rt△OAD中，AO=1，AD=2，∠OAD=90°，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AO^2 + AD^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
6. 根据点到圆的最短距离性质，DP的最小值为OD减去圆O的半径OP，即$DP_{min}=OD - OP=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形性质，全等三角形判定，点与圆位置关系
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，解题核心是通过全等推导得到定角∠APB=90°，从而识别出点P的运动轨迹为定圆，无需复杂的函数推导即可快速求出线段最小值，这类题型需要学生掌握直角对应定直径的隐圆构造思路。
【难度系数】
0.3
7. 如图,$AB$是半圆$O$的直径,点$C$在半圆$O$上,$AB=10,AC=8,D$是$\overset{\frown}{BC}$上的一个动点,连接$AD$,过点$C$作$CE ⊥ AD$于点$E$,连接$BE$. 在点$D$移动的过程中,$BE$长的最小值为
$2\sqrt{13}-4$
.答案
7.$2\sqrt{13}-4$
解析
【分析】
这是一道典型的隐圆几何最值问题，解题思路如下：首先观察到动点E始终满足CE⊥AD，也就是∠AEC恒为90°，根据定角对定弦的性质，可以判定点E的运动轨迹是一个确定的圆。第一步先利用AB是直径的条件，结合勾股定理算出BC的长度；第二步确定E的轨迹是以AC为直径的圆，找到该圆的圆心和半径；第三步利用“点到圆上点的最短距离=该点到圆心的距离减去圆的半径”，计算得到BE的最小值。
【解析】
1. 连接BC，取AC的中点O'：
因为AB是半圆O的直径，点C在半圆上，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°。
已知AB=10，AC=8，根据勾股定理计算BC：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
2. 确定点E的轨迹：
由CE⊥AD，可知∠AEC=90°，因此点E始终在以AC为直径的圆O'上，圆O'的半径$r=\frac{AC}{2}=4$，O'为AC的中点。
3. 计算圆心O'到点B的距离：
在Rt△O'CB中，O'C=4，BC=6，∠O'CB=90°，由勾股定理得：
$O'B=\sqrt{O'C^2+BC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
4. 求BE的最小值：
根据点与圆的位置关系，点B到圆O'上所有点的最短距离为$O'B - r$，因此BE的最小值为$2\sqrt{13}-4$。
【答案】$2\sqrt{13}-4$
【知识点】
隐圆最值，勾股定理，直径对直角
【点评】
本题的核心难点是识别出动点E的隐圆轨迹，不需要直接追踪动点D的运动，通过定角定弦的性质快速锁定轨迹圆，再利用点圆距离的性质求解最小值，是初中几何最值的经典题型，重点考查学生对隐圆判定方法的掌握。
【难度系数】
0.3
这是一道典型的隐圆几何最值问题，解题思路如下：首先观察到动点E始终满足CE⊥AD，也就是∠AEC恒为90°，根据定角对定弦的性质，可以判定点E的运动轨迹是一个确定的圆。第一步先利用AB是直径的条件，结合勾股定理算出BC的长度；第二步确定E的轨迹是以AC为直径的圆，找到该圆的圆心和半径；第三步利用“点到圆上点的最短距离=该点到圆心的距离减去圆的半径”，计算得到BE的最小值。
【解析】
1. 连接BC，取AC的中点O'：
因为AB是半圆O的直径，点C在半圆上，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°。
已知AB=10，AC=8，根据勾股定理计算BC：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
2. 确定点E的轨迹：
由CE⊥AD，可知∠AEC=90°，因此点E始终在以AC为直径的圆O'上，圆O'的半径$r=\frac{AC}{2}=4$，O'为AC的中点。
3. 计算圆心O'到点B的距离：
在Rt△O'CB中，O'C=4，BC=6，∠O'CB=90°，由勾股定理得：
$O'B=\sqrt{O'C^2+BC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
4. 求BE的最小值：
根据点与圆的位置关系，点B到圆O'上所有点的最短距离为$O'B - r$，因此BE的最小值为$2\sqrt{13}-4$。
【答案】$2\sqrt{13}-4$
【知识点】
隐圆最值，勾股定理，直径对直角
【点评】
本题的核心难点是识别出动点E的隐圆轨迹，不需要直接追踪动点D的运动，通过定角定弦的性质快速锁定轨迹圆，再利用点圆距离的性质求解最小值，是初中几何最值的经典题型，重点考查学生对隐圆判定方法的掌握。
【难度系数】
0.3
