登录
一、选择题（每小题6分，共24分）
1. 已知$\odot O$与直线$l$相交，圆心到直线$l$的距离为6 cm，则$\odot O$的半径可能为 （
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
1. 已知$\odot O$与直线$l$相交，圆心到直线$l$的距离为6 cm，则$\odot O$的半径可能为 （
D
）A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
1.D
解析
【分析】
这道题的核心考点是直线与圆位置关系的数量判定，解题思路非常清晰：第一步先从题干提取已知条件：⊙O与直线l相交，圆心到直线的距离d=6cm；第二步回忆直线和圆三种位置关系对应的d（圆心到直线距离）和r（圆半径）的大小对应规则，其中相交对应的关系是d＜r；第三步根据这个关系推导出半径r需要满足r＞6cm，最后对照四个选项，选出符合r＞6cm的选项即可。
【解析】
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，根据直线与圆的位置关系的判定规则：
1. 若直线与圆相交，则满足d ＜ r；
2. 若直线与圆相切，则满足d = r；
3. 若直线与圆相离，则满足d ＞ r。
本题已知⊙O与直线l相交，且d=6cm，代入相交的判定条件可得：
r ＞ 6 cm
逐一核对选项：
A选项4cm ＜ 6cm，不符合要求；
B选项5cm ＜ 6cm，不符合要求；
C选项6cm = 6cm，此时直线与圆相切，不符合相交的条件；
D选项7cm ＞ 6cm，满足r＞6cm的要求。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆位置关系
【点评】
本题属于基础概念题，直接考察直线与圆位置关系的核心判定规则，难度较低，只要牢记三种位置关系对应的d与r的大小对应关系即可快速选出答案，常见易错点是混淆相交、相离对应的不等号方向，导致错选其他选项。
【难度系数】
0.9
这道题的核心考点是直线与圆位置关系的数量判定，解题思路非常清晰：第一步先从题干提取已知条件：⊙O与直线l相交，圆心到直线的距离d=6cm；第二步回忆直线和圆三种位置关系对应的d（圆心到直线距离）和r（圆半径）的大小对应规则，其中相交对应的关系是d＜r；第三步根据这个关系推导出半径r需要满足r＞6cm，最后对照四个选项，选出符合r＞6cm的选项即可。
【解析】
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，根据直线与圆的位置关系的判定规则：
1. 若直线与圆相交，则满足d ＜ r；
2. 若直线与圆相切，则满足d = r；
3. 若直线与圆相离，则满足d ＞ r。
本题已知⊙O与直线l相交，且d=6cm，代入相交的判定条件可得：
r ＞ 6 cm
逐一核对选项：
A选项4cm ＜ 6cm，不符合要求；
B选项5cm ＜ 6cm，不符合要求；
C选项6cm = 6cm，此时直线与圆相切，不符合相交的条件；
D选项7cm ＞ 6cm，满足r＞6cm的要求。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆位置关系
【点评】
本题属于基础概念题，直接考察直线与圆位置关系的核心判定规则，难度较低，只要牢记三种位置关系对应的d与r的大小对应关系即可快速选出答案，常见易错点是混淆相交、相离对应的不等号方向，导致错选其他选项。
【难度系数】
0.9
2.下列直线中,一定是圆的切线的是（
A.过半径外端的直线
B.与圆心的距离等于该圆半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.与圆有公共点的直线
B
）A.过半径外端的直线
B.与圆心的距离等于该圆半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.与圆有公共点的直线
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查圆的切线的判定，解题的核心思路是紧扣切线的定义和判定规则，逐一排查每个选项是否满足切线的充要条件：首先明确圆的切线的核心特征是和圆有且仅有一个公共点，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径。我们逐个验证选项的漏洞：先看A选项，只提到过半径外端，没说明垂直于这条半径，显然不满足切线要求；C选项只说垂直于半径，没说明垂足是半径在圆上的外端，也不成立；D选项和圆有公共点，可能存在两个公共点属于割线，直接排除，最后就能确定正确选项。
【解析】
我们结合圆的切线的判定规则逐一分析选项：
1. 选项A：仅说明直线过半径的外端，若该直线不与这条半径垂直，直线会和圆产生2个交点，属于割线，不一定是切线，A错误；
2. 选项B：根据圆的切线的等价判定定理，与圆心的距离等于该圆半径的直线，和圆有且只有1个公共点，一定是圆的切线，B正确；
3. 选项C：仅说明直线垂直于圆的半径，若垂足落在圆的内部（不是半径的外端点），直线会和圆相交，存在2个公共点，不是切线，C错误；
4. 选项D：与圆有公共点的直线，既可能只有1个公共点（切线），也可能有2个公共点（割线），不一定是切线，D错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆切线判定的经典易错题，很多同学容易忽略切线判定的两个必要条件“过半径外端”和“垂直于该半径”二者缺一不可，误选A或C，解题时牢记“圆心到直线距离等于半径”是切线的充要条件，就能快速避开命题设置的陷阱。
【难度系数】
0.6
这道题考查圆的切线的判定，解题的核心思路是紧扣切线的定义和判定规则，逐一排查每个选项是否满足切线的充要条件：首先明确圆的切线的核心特征是和圆有且仅有一个公共点，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径。我们逐个验证选项的漏洞：先看A选项，只提到过半径外端，没说明垂直于这条半径，显然不满足切线要求；C选项只说垂直于半径，没说明垂足是半径在圆上的外端，也不成立；D选项和圆有公共点，可能存在两个公共点属于割线，直接排除，最后就能确定正确选项。
【解析】
我们结合圆的切线的判定规则逐一分析选项：
1. 选项A：仅说明直线过半径的外端，若该直线不与这条半径垂直，直线会和圆产生2个交点，属于割线，不一定是切线，A错误；
2. 选项B：根据圆的切线的等价判定定理，与圆心的距离等于该圆半径的直线，和圆有且只有1个公共点，一定是圆的切线，B正确；
3. 选项C：仅说明直线垂直于圆的半径，若垂足落在圆的内部（不是半径的外端点），直线会和圆相交，存在2个公共点，不是切线，C错误；
4. 选项D：与圆有公共点的直线，既可能只有1个公共点（切线），也可能有2个公共点（割线），不一定是切线，D错误。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆切线判定的经典易错题，很多同学容易忽略切线判定的两个必要条件“过半径外端”和“垂直于该半径”二者缺一不可，误选A或C，解题时牢记“圆心到直线距离等于半径”是切线的充要条件，就能快速避开命题设置的陷阱。
【难度系数】
0.6
3. 如图,$AC$是$\odot O$的直径,$PA,PB$是$\odot O$的切线,切点分别是$A,B$,若$∠ CBP=140°$,则$∠ P$的度数为（
A.$100°$
B.$80°$
C.$75°$
D.$70°$
B
）A.$100°$
B.$80°$
C.$75°$
D.$70°$
答案
3.B
解析
【分析】
这道题是圆的切线相关的角度计算问题，解题的核心思路是利用切线的常用辅助线构造方法：遇到切点连接圆心。首先第一步，连接OB，根据切线的性质得到OB⊥PB，结合已知∠CBP=140°，可以快速算出∠OBC的度数；第二步利用同圆半径相等，得到△OBC是等腰三角形，进而求出圆心角∠AOB的度数；第三步结合PA也是切线，得到PA⊥OA，此时四边形PAOB有两个内角为90°，利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠P的度数，整个推导逻辑顺承，不容易出错。
【解析】
解：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥PB，即∠OBP=90°，
已知∠CBP=140°，因此∠OBC = ∠CBP - ∠OBP = 140° - 90° = 50°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∴∠OCB = ∠OBC = 50°，
可得∠BOC = 180° - 50° - 50° = 80°，
因此∠AOB = 180° - ∠BOC = 100°，
又
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥OA，即∠PAO=90°，
在四边形PAOB中，内角和为360°，因此：
∠P = 360° - ∠PAO - ∠AOB - ∠OBP = 360° - 90° - 100° - 90° = 80°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆章节的基础常考题型，重点考察切线性质的应用，辅助线“遇切点连圆心”是这类题的标准构造思路，角度推导逻辑清晰，也可通过切线长定理结合等腰三角形性质求解，整体难度不高，需要注意角度的加减关系不要算错。
【难度系数】
0.7
这道题是圆的切线相关的角度计算问题，解题的核心思路是利用切线的常用辅助线构造方法：遇到切点连接圆心。首先第一步，连接OB，根据切线的性质得到OB⊥PB，结合已知∠CBP=140°，可以快速算出∠OBC的度数；第二步利用同圆半径相等，得到△OBC是等腰三角形，进而求出圆心角∠AOB的度数；第三步结合PA也是切线，得到PA⊥OA，此时四边形PAOB有两个内角为90°，利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠P的度数，整个推导逻辑顺承，不容易出错。
【解析】
解：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥PB，即∠OBP=90°，
已知∠CBP=140°，因此∠OBC = ∠CBP - ∠OBP = 140° - 90° = 50°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∴∠OCB = ∠OBC = 50°，
可得∠BOC = 180° - 50° - 50° = 80°，
因此∠AOB = 180° - ∠BOC = 100°，
又
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥OA，即∠PAO=90°，
在四边形PAOB中，内角和为360°，因此：
∠P = 360° - ∠PAO - ∠AOB - ∠OBP = 360° - 90° - 100° - 90° = 80°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆章节的基础常考题型，重点考察切线性质的应用，辅助线“遇切点连圆心”是这类题的标准构造思路，角度推导逻辑清晰，也可通过切线长定理结合等腰三角形性质求解，整体难度不高，需要注意角度的加减关系不要算错。
【难度系数】
0.7
4. (2025·东海县期中)如图,在平面直角坐标系中,点$P$在第一象限,$\odot P$与$x$轴,$y$轴都相切,且经过矩形$AOBC$的顶点$C$,与$BC$相交于点$D$,若$\odot P$的半径为$3$,点$B$的坐标是$(5,0)$,则点$D$的坐标是（
A.$(4,3-\sqrt{5})$
B.$(5,3)$
C.$(5,\sqrt{5})$
D.$(5,3-\sqrt{5})$
D
）A.$(4,3-\sqrt{5})$
B.$(5,3)$
C.$(5,\sqrt{5})$
D.$(5,3-\sqrt{5})$
答案
4.D
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：首先根据圆和x轴、y轴都相切的性质，结合半径为3，第一象限内的圆心到两个坐标轴的距离都等于半径，直接确定圆心P的坐标；接着写出圆的标准方程；再利用矩形AOBC的性质，得到BC边是垂直于x轴的直线，且因为点B坐标为(5,0)，所以BC上所有点的横坐标都是5；最后把x=5代入圆的方程，解出两个y值，根据C、D的上下位置区分两个交点，就能得到点D的坐标。
【解析】
1. 过点P分别作PE⊥y轴、PF⊥x轴，因为⊙P与x轴、y轴都相切，半径为3，所以PE=PF=3，因此圆心P的坐标为(3,3)。
2. 由此可得⊙P的标准方程为：
$(x-3)^2 + (y-3)^2 = 9$
3. 已知点B坐标为(5,0)，四边形AOBC是矩形，可得BC⊥x轴，即直线BC的方程为x=5。
4. 将x=5代入圆的方程：
$(5-3)^2 + (y-3)^2 =9$
化简得$4+(y-3)^2=9$，即$(y-3)^2=5$，解得$y_1=3+\sqrt{5}$，$y_2=3-\sqrt{5}$。
5. 其中y=3+√5是上方点C的纵坐标，y=3-√5是下方点D的纵坐标，因此点D的坐标为$(5, 3-\sqrt{5})$。
【答案】D
【知识点】圆的标准方程，矩形的性质，直线与圆交点求解
【点评】本题不需要复杂的几何推导，核心是利用圆与坐标轴相切的特点快速定位圆心坐标，通过代入直线方程直接求解交点即可，解题时注意区分两个交点的上下位置，避免混淆C和D的纵坐标。
【难度系数】0.6
这道题的解题思路非常清晰：首先根据圆和x轴、y轴都相切的性质，结合半径为3，第一象限内的圆心到两个坐标轴的距离都等于半径，直接确定圆心P的坐标；接着写出圆的标准方程；再利用矩形AOBC的性质，得到BC边是垂直于x轴的直线，且因为点B坐标为(5,0)，所以BC上所有点的横坐标都是5；最后把x=5代入圆的方程，解出两个y值，根据C、D的上下位置区分两个交点，就能得到点D的坐标。
【解析】
1. 过点P分别作PE⊥y轴、PF⊥x轴，因为⊙P与x轴、y轴都相切，半径为3，所以PE=PF=3，因此圆心P的坐标为(3,3)。
2. 由此可得⊙P的标准方程为：
$(x-3)^2 + (y-3)^2 = 9$
3. 已知点B坐标为(5,0)，四边形AOBC是矩形，可得BC⊥x轴，即直线BC的方程为x=5。
4. 将x=5代入圆的方程：
$(5-3)^2 + (y-3)^2 =9$
化简得$4+(y-3)^2=9$，即$(y-3)^2=5$，解得$y_1=3+\sqrt{5}$，$y_2=3-\sqrt{5}$。
5. 其中y=3+√5是上方点C的纵坐标，y=3-√5是下方点D的纵坐标，因此点D的坐标为$(5, 3-\sqrt{5})$。
【答案】D
【知识点】圆的标准方程，矩形的性质，直线与圆交点求解
【点评】本题不需要复杂的几何推导，核心是利用圆与坐标轴相切的特点快速定位圆心坐标，通过代入直线方程直接求解交点即可，解题时注意区分两个交点的上下位置，避免混淆C和D的纵坐标。
【难度系数】0.6
二、填空题(每小题6分,共24分)
5. 如图, A B 是$\odot O$的直径, A C 是$\odot O$的切线, A 为切点, 连接 B C, 与$\odot O$交于点 D, 连接 O D. 若$∠ AOD=82°$, 则$∠ C=$
5. 如图, A B 是$\odot O$的直径, A C 是$\odot O$的切线, A 为切点, 连接 B C, 与$\odot O$交于点 D, 连接 O D. 若$∠ AOD=82°$, 则$∠ C=$
49
$°$.答案
5.49
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先根据切线的性质，AC是⊙O的切线就能直接得到AC垂直于直径AB，也就是∠BAC=90°，此时△ABC是直角三角形，要求∠C只需要先求出∠ABC的度数即可。接下来已知圆心角∠AOD的度数，利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就能快速算出弧AD对应的圆周角∠ABC的大小，最后结合直角三角形两锐角互余的性质，就能计算出∠C的结果。
【解析】
1. 因为AC是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，由切线的性质可得：AC⊥AB，即∠BAC=90°。
2. ∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABC是弧AD所对的圆周角，已知∠AOD=82°，根据圆周角定理可得：
∠ABC = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$ × 82° = 41°。
3. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，由直角三角形两锐角互余可得：
∠C = 90° - ∠ABC = 90° - 41° = 49°。
【答案】
49
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆章节的基础综合题，考点都是核心基础定理，解题逻辑清晰，只需要依次调用切线性质、圆周角定理、直角三角形角度性质即可得到结果，是非常典型的常规基础题型，适合巩固圆的基础性质使用。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发，首先根据切线的性质，AC是⊙O的切线就能直接得到AC垂直于直径AB，也就是∠BAC=90°，此时△ABC是直角三角形，要求∠C只需要先求出∠ABC的度数即可。接下来已知圆心角∠AOD的度数，利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就能快速算出弧AD对应的圆周角∠ABC的大小，最后结合直角三角形两锐角互余的性质，就能计算出∠C的结果。
【解析】
1. 因为AC是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，由切线的性质可得：AC⊥AB，即∠BAC=90°。
2. ∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABC是弧AD所对的圆周角，已知∠AOD=82°，根据圆周角定理可得：
∠ABC = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$ × 82° = 41°。
3. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，由直角三角形两锐角互余可得：
∠C = 90° - ∠ABC = 90° - 41° = 49°。
【答案】
49
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆章节的基础综合题，考点都是核心基础定理，解题逻辑清晰，只需要依次调用切线性质、圆周角定理、直角三角形角度性质即可得到结果，是非常典型的常规基础题型，适合巩固圆的基础性质使用。
【难度系数】
0.8
6. 已知$△ ABC$的面积是$54\ \mathrm{cm}^{2}$，周长是$36\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的内切圆半径是
3
$\mathrm{cm}.$答案
6.3
解析
【分析】
我们要找三角形内切圆半径，首先回忆内切圆的核心性质：内切圆的圆心到三角形三条边的距离都等于内切圆半径r。解题思路是：将大△ABC分割成3个以内心为公共顶点、分别以三条边为底的小三角形，这三个小三角形的高都等于r，三个小三角形的面积之和就等于大△ABC的面积，由此就能建立面积、周长和内切圆半径的关系式，代入已知的面积和周长数值就能直接解出r。
【解析】
设△ABC的内切圆的圆心为O，半径为r，连接OA、OB、OC。
根据内切圆的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离都等于r，因此三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}· AB · r$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}· BC · r$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}· AC · r$
大三角形面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
代入整理得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB · r + \frac{1}{2}· BC · r + \frac{1}{2}· AC · r=\frac{1}{2}r·(AB+BC+AC)$
已知$S_{△ ABC}=54\ \mathrm{cm}^2$，周长$AB+BC+AC=36\ \mathrm{cm}$，代入上式：
$54=\frac{1}{2} × r × 36$
化简得：$54=18r$，解得$r=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形面积分割
【点评】
本题属于三角形内切圆相关的基础计算题，核心是掌握内切圆半径和三角形面积、周长的推导关系，记住公式$S=\frac{1}{2}Cr$（C为三角形周长，r为内切圆半径）即可快速完成求解，不需要复杂的几何辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.8
我们要找三角形内切圆半径，首先回忆内切圆的核心性质：内切圆的圆心到三角形三条边的距离都等于内切圆半径r。解题思路是：将大△ABC分割成3个以内心为公共顶点、分别以三条边为底的小三角形，这三个小三角形的高都等于r，三个小三角形的面积之和就等于大△ABC的面积，由此就能建立面积、周长和内切圆半径的关系式，代入已知的面积和周长数值就能直接解出r。
【解析】
设△ABC的内切圆的圆心为O，半径为r，连接OA、OB、OC。
根据内切圆的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离都等于r，因此三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}· AB · r$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}· BC · r$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}· AC · r$
大三角形面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
代入整理得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB · r + \frac{1}{2}· BC · r + \frac{1}{2}· AC · r=\frac{1}{2}r·(AB+BC+AC)$
已知$S_{△ ABC}=54\ \mathrm{cm}^2$，周长$AB+BC+AC=36\ \mathrm{cm}$，代入上式：
$54=\frac{1}{2} × r × 36$
化简得：$54=18r$，解得$r=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形面积分割
【点评】
本题属于三角形内切圆相关的基础计算题，核心是掌握内切圆半径和三角形面积、周长的推导关系，记住公式$S=\frac{1}{2}Cr$（C为三角形周长，r为内切圆半径）即可快速完成求解，不需要复杂的几何辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.8
7. (2025·金湖县一模) 如图,菱形$ABOC$的边$AB$,$AC$分别与$\odot O$相切于点$D$,$E$.若$D$是$AB$的中点,则$∠ DOE=$
60
$°$.答案
7.60
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 看到切线条件，首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此连接OD、OE后，可直接得到OD⊥AB，OE⊥AC，即∠ADO=∠AEO=90°。
2. 结合菱形的核心性质：菱形的四条边长度相等，可得AB=OB，再结合题目给出的D是AB中点的条件，推出BD=1/2 AB = 1/2 OB。
3. 在Rt△ODB中，直角边BD的长度是斜边OB的一半，由此可直接得到∠B=60°的特殊角。
4. 利用菱形邻角互补的性质，算出∠A=180°-∠B=120°。
5. 最后根据四边形内角和为360°，代入两个直角和∠A的度数，即可求出∠DOE的大小。
【解析】
解：连接OD、OE，
∵AB、AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，即∠ADO=∠AEO=90°。
∵四边形ABOC是菱形，
∴AB=OB，
又
∵D是AB的中点，
∴BD = 1/2 AB = 1/2 OB，
在Rt△ODB中，∠ODB=90°，BD=1/2 OB，
∴cosB = BD/OB = 1/2，可得∠B=60°，
∵菱形ABOC的邻角互补，
∴∠A = 180° - ∠B = 120°，
在四边形ADOE中，内角和为360°，
∴∠DOE = 360° - ∠ADO - ∠AEO - ∠A = 360° - 90° -90° -120° = 60°。
【答案】60
【知识点】切线的性质，菱形的性质，特殊直角三角形
【点评】本题是圆与菱形结合的基础几何题，解题关键是通过切线性质得到直角，再结合直角边与斜边的数量关系推出特殊角，最后利用四边形内角和完成计算，整体思路连贯，侧重对基础几何性质的综合运用。
【难度系数】0.6
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 看到切线条件，首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此连接OD、OE后，可直接得到OD⊥AB，OE⊥AC，即∠ADO=∠AEO=90°。
2. 结合菱形的核心性质：菱形的四条边长度相等，可得AB=OB，再结合题目给出的D是AB中点的条件，推出BD=1/2 AB = 1/2 OB。
3. 在Rt△ODB中，直角边BD的长度是斜边OB的一半，由此可直接得到∠B=60°的特殊角。
4. 利用菱形邻角互补的性质，算出∠A=180°-∠B=120°。
5. 最后根据四边形内角和为360°，代入两个直角和∠A的度数，即可求出∠DOE的大小。
【解析】
解：连接OD、OE，
∵AB、AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，即∠ADO=∠AEO=90°。
∵四边形ABOC是菱形，
∴AB=OB，
又
∵D是AB的中点，
∴BD = 1/2 AB = 1/2 OB，
在Rt△ODB中，∠ODB=90°，BD=1/2 OB，
∴cosB = BD/OB = 1/2，可得∠B=60°，
∵菱形ABOC的邻角互补，
∴∠A = 180° - ∠B = 120°，
在四边形ADOE中，内角和为360°，
∴∠DOE = 360° - ∠ADO - ∠AEO - ∠A = 360° - 90° -90° -120° = 60°。
【答案】60
【知识点】切线的性质，菱形的性质，特殊直角三角形
【点评】本题是圆与菱形结合的基础几何题，解题关键是通过切线性质得到直角，再结合直角边与斜边的数量关系推出特殊角，最后利用四边形内角和完成计算，整体思路连贯，侧重对基础几何性质的综合运用。
【难度系数】0.6
8.(2025·苏州月考)如图,正方形$ABCD$的边长为$4$,$M$是$AB$的中点,$P$是$BC$边上的动点,连接$PM$,以点$P$为圆心,$PM$的长为半径作$\odot P$.当$\odot P$与正方形$ABCD$的边相切时,$BP$的长为
$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$
.答案
8.$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这道题需要用分类讨论的思路求解：首先明确已知条件，正方形边长为4，M是AB中点，可得BM=2，点P在BC上运动，⊙P的半径始终等于PM。首先先排除不可能相切的边：P在BC边上，到BC的距离为0，不可能相切；PM是Rt△PBM的斜边，长度一定大于直角边BP，也就是P到AB的距离，因此⊙P也不可能和AB边相切，因此仅剩下两种相切的可能：⊙P和CD边相切、⊙P和AD边相切，分别对两种情况利用切线性质得到半径和对应距离相等，再结合勾股定理列方程即可求出BP的长度。
【解析】
解：已知正方形ABCD边长为4，M是AB的中点，因此$BM=\frac{1}{2}AB=2$，设$BP=x$，其中$0＜x＜4$，分两种情况讨论：
1. 当⊙P与边CD相切时
圆心P到CD的距离等于⊙P的半径PM，P在BC边上，P到CD的距离为$PC=4-x$，因此$PM=PC=4-x$。
在$Rt△ PBM$中，由勾股定理可得：
$PM^2=BP^2+BM^2$
代入对应数值：
$(4-x)^2=x^2+2^2$
展开整理得：$16-8x+x^2=x^2+4$，化简后解得$x=\frac{3}{2}$，符合$0＜x＜4$的取值范围。
2. 当⊙P与边AD相切时
圆心P到AD的距离等于⊙P的半径PM，正方形中AD与BC的距离等于正方形边长4，因此P到AD的距离为4，即$PM=4$。
在$Rt△ PBM$中，由勾股定理可得：
$PM^2=BP^2+BM^2$
代入对应数值：
$4^2=x^2+2^2$
整理得$x^2=12$，因为$x＞0$，解得$x=2\sqrt{3}$，符合$0＜x＜4$的取值范围。
综上，BP的长为$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，正方形性质
【点评】
本题属于动点相切的分类讨论题型，最容易出现的错误是漏解，很多学生只会想到圆和CD边相切的情况，忽略圆和AD边相切的可能。解题时先提前排除不可能相切的边，再对剩余的相切可能性逐一验证，结合勾股定理列方程即可得到全部结果。
【难度系数】
0.5
这道题需要用分类讨论的思路求解：首先明确已知条件，正方形边长为4，M是AB中点，可得BM=2，点P在BC上运动，⊙P的半径始终等于PM。首先先排除不可能相切的边：P在BC边上，到BC的距离为0，不可能相切；PM是Rt△PBM的斜边，长度一定大于直角边BP，也就是P到AB的距离，因此⊙P也不可能和AB边相切，因此仅剩下两种相切的可能：⊙P和CD边相切、⊙P和AD边相切，分别对两种情况利用切线性质得到半径和对应距离相等，再结合勾股定理列方程即可求出BP的长度。
【解析】
解：已知正方形ABCD边长为4，M是AB的中点，因此$BM=\frac{1}{2}AB=2$，设$BP=x$，其中$0＜x＜4$，分两种情况讨论：
1. 当⊙P与边CD相切时
圆心P到CD的距离等于⊙P的半径PM，P在BC边上，P到CD的距离为$PC=4-x$，因此$PM=PC=4-x$。
在$Rt△ PBM$中，由勾股定理可得：
$PM^2=BP^2+BM^2$
代入对应数值：
$(4-x)^2=x^2+2^2$
展开整理得：$16-8x+x^2=x^2+4$，化简后解得$x=\frac{3}{2}$，符合$0＜x＜4$的取值范围。
2. 当⊙P与边AD相切时
圆心P到AD的距离等于⊙P的半径PM，正方形中AD与BC的距离等于正方形边长4，因此P到AD的距离为4，即$PM=4$。
在$Rt△ PBM$中，由勾股定理可得：
$PM^2=BP^2+BM^2$
代入对应数值：
$4^2=x^2+2^2$
整理得$x^2=12$，因为$x＞0$，解得$x=2\sqrt{3}$，符合$0＜x＜4$的取值范围。
综上，BP的长为$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，正方形性质
【点评】
本题属于动点相切的分类讨论题型，最容易出现的错误是漏解，很多学生只会想到圆和CD边相切的情况，忽略圆和AD边相切的可能。解题时先提前排除不可能相切的边，再对剩余的相切可能性逐一验证，结合勾股定理列方程即可得到全部结果。
【难度系数】
0.5
