8. 如图,O为直线AB上的点,∠COD= 90°,OM平分∠AOD,ON平分∠BOC,OE平分∠BOD.下列四个结论：①∠AOC与∠BOD互余；②∠COE与∠MOD互补；③在图中画出射线OF,使∠EOF= 135°,则OF平分∠AOC；④在图中以O为顶点且小于平角的角共有20个.其中正确的是______(填序号).

解：①
∵O为直线AB上的点
∴∠AOB=180°
∵∠COD=90°
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=180°-90°=90°
∴∠AOC与∠BOD互余，①正确
②设∠AOC=α，则∠BOD=90°-α
∵∠AOB=180°
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=α+90°
∵OM平分∠AOD
∴∠MOD=1/2∠AOD=1/2(α+90°)=α/2+45°
∵OE平分∠BOD
∴∠DOE=1/2∠BOD=1/2(90°-α)=45°-α/2
∵∠COD=90°
∴∠COE=∠COD+∠DOE=90°+(45°-α/2)=135°-α/2
∠COE+∠MOD=135°-α/2+α/2+45°=180°
∴∠COE与∠MOD互补，②正确
③假设OF平分∠AOC，则∠COF=∠AOF=α/2
∵∠BOE=∠DOE=45°-α/2
∠AOB=180°
∠EOF=∠AOB-∠AOF-∠BOE=180°-α/2-(45°-α/2)=135°
符合∠EOF=135°，③正确
④以O为顶点且小于平角的角：
单角：∠AOC,∠COM,∠MOD,∠DON,∠NOE,∠EOB,∠AOM,∠AOD,∠CON,∠COE,∠DOE,∠DOB,∠AON,∠AOE,∠COB,∠MOE,∠MON,∠NOB,∠MOB,∠AOB(平角舍去)
共19个，④错误
正确的是①②③
答案：①②③

9. 如图,O,D,E三点在同一直线上,∠AOB= 90°.
(1)图中∠AOD的补角是______,∠AOC的余角是______；
(2)如果OB平分∠COE,∠AOC= 35°,请求出∠BOD和∠AOE的度数.

(1)∠AOE；∠BOC
(2)解：
∵∠AOB=90°，∠AOC=35°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35°=55°.
∵OB平分∠COE，
∴∠COE=2∠BOC=2×55°=110°.
∵O，D，E三点在同一直线上，
∴∠DOE=180°，
∴∠AOD=∠DOE-∠AOE=180°-∠AOE.
又
∵∠AOE=∠AOC+∠COE=35°+110°=145°，
∴∠AOD=180°-145°=35°，
∠BOD=∠AOB+∠AOD=90°+35°=125°.
综上，∠BOD=125°，∠AOE=145°.

10. (运算能力、推理能力)如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，以相同的速度从OB出发，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为t s，当OC旋转到与OD重合时，OC，OD都停止运动.
(1)猜想：∠AOC+∠AOD=________°，并说明理由.
(2)已知射线OE始终平分∠BOD，射线OF在∠COD内，且满足∠BOD与∠EOF互余.
①当t=3 s时，∠EOF=________°；
②在运动过程中，试探究∠BOF与∠COF之间有怎样的数量关系，并说明理由.

[答案]：(1)
解：因为O是直线AB上一点，所以∠AOB=180°，即∠AOD+∠DOB=180°。射线OC从OA出发顺时针旋转，每秒旋转10°，t秒后∠AOC=10t°；射线OD从OB出发逆时针旋转，每秒旋转10°，t秒后∠DOB=10t°。所以∠AOC=∠DOB，因此∠AOC+∠AOD=∠DOB+∠AOD=∠AOB=180°。
(2)①
解：当t=3s时，∠DOB=10t=30°。因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE=15°。由(1)知∠AOC+∠AOD=180°，此时∠AOC=30°，则∠COD=∠AOB - ∠AOC - ∠DOB=180° - 30° - 30°=120°。因为∠BOD与∠EOF互余，∠BOD=30°，所以∠EOF=90° - 30°=60°。
②
解：设运动时间为t秒，则∠DOB=10t°，∠AOC=10t°，∠COD=180° - 20t°。因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE=5t°。因为∠BOD与∠EOF互余，所以∠EOF=90° - 10t°。∠DOF=∠EOF - ∠DOE=90° - 10t° - 5t°=90° - 15t°。∠COF=∠COD - ∠DOF=180° - 20t° - (90° - 15t°)=90° - 5t°。∠BOF=∠BOE + ∠EOF - ∠BOE=∠EOF + (∠BOE - ∠BOE)=∠EOF（或∠BOF=∠BOD + ∠DOF=10t° + 90° - 15t°=90° - 5t°×2=2∠COF），所以∠BOF=2∠COF。

(1)180
解：因为O是直线AB上一点，所以∠AOB=180°，即∠AOD+∠DOB=180°。射线OC从OA出发顺时针旋转，每秒旋转10°，t秒后∠AOC=10t°；射线OD从OB出发逆时针旋转，每秒旋转10°，t秒后∠DOB=10t°。所以∠AOC=∠DOB，因此∠AOC+∠AOD=∠DOB+∠AOD=∠AOB=180°。
(2)①60
解：当t=3s时，∠DOB=10t=30°。因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE=15°。由
(1)知∠AOC+∠AOD=180°，此时∠AOC=30°，则∠COD=∠AOB - ∠AOC - ∠DOB=180° - 30° - 30°=120°。因为∠BOD与∠EOF互余，∠BOD=30°，所以∠EOF=90° - 30°=60°。
②∠BOF=2∠COF
解：设运动时间为t秒，则∠DOB=10t°，∠AOC=10t°，∠COD=180° - 20t°。因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE=5t°。因为∠BOD与∠EOF互余，所以∠EOF=90° - 10t°。∠DOF=∠EOF - ∠DOE=90° - 10t° - 5t°=90° - 15t°。∠COF=∠COD - ∠DOF=180° - 20t° - (90° - 15t°)=90° - 5t°。∠BOF=∠BOE + ∠EOF - ∠BOE=∠EOF + (∠BOE - ∠BOE)=∠EOF（或∠BOF=∠BOD + ∠DOF=10t° + 90° - 15t°=90° - 5t°×2=2∠COF），所以∠BOF=2∠COF。