24.(期中·南开区)(本小题10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AC上一点,过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E,且BD=2AE.求证:
(1)∠EAC=∠DBC.
(2)BD平分∠ABC.

24.【证明】(1)
∵ $AE⊥BD$,
∴ $∠AEB=90°=∠ACB$.
∵ $∠EAC+∠ADE=90°,∠DBC+∠BDC=90°$,
$∠ADE=∠BDC$,
∴ $∠EAC=∠DBC$.
(2)如图,延长AE,BC交于点F.
在$△ACF$和$△BCD$中,$\begin{cases}∠FAC=∠DBC,\\AC=BC,\\∠ACF=∠BCD,\end{cases}$
∴ $△ACF≌△BCD(ASA)$,
∴ $AF=BD$.
∵ $BD=2AE,AE+EF=BD,∴ AE=FE$,即E为AF的中点.
∵ $BE⊥AF,∴ BA=BF,∴ BD$平分$∠ABC$.