25. 新考向综合探究(期末·河北区)(本小题10分)如图,已知$A(a,b)$,$AB⊥y$轴于点$B$,且满足$(a-b)^2+(a-3)^2=0$.
(1)求点$A$的坐标.
(2)分别以$AB$,$AO$为边作等边三角形$ABC$和等边三角形$AOD$,连接$DC$,如图①,试判断线段$AC$和$DC$的数量关系,并说明理由.
(3)如图②,若$P$为$y$轴上异于原点$O$和点$B$的一个动点,连接$PA$,过点$P$作$PE⊥PA$,且$PE=PA$,连接$AE$,$AO$,射线$EO$交$AB$的延长线于点$Q$,当点$P$在$y$轴上移动时,线段$AQ$的值是否发生变化?若不变化,直接写出$AQ$长度的值;若变化,请说明理由.

25.【解】(1)
∵ $(a-b)^2+(a-3)^2=0$,
又$(a-b)^2≥0,(a-3)^2≥0,∴ a=b=3,∴ A(3,3)$.
(2)$AC=CD$.
理由如下:
∵ $△ABC,△AOD$都是等边三角形,
∴ $∠BAC=∠OAD=60°,AB=AC,AO=AD$,
∴ $∠BAO=∠CAD$.
在$△BAO$和$△CAD$中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAO=∠CAD,\\AO=AD.\end{cases}$
∴ $△BAO≌△CAD(SAS),∴ BO=CD,BA=CA$.
∵ $A(3,3),∴ BA=BO,∴ AC=CD$.
(3)AQ长度的值不变,AQ=6.
理由如下:如图,过点E作$ET⊥y$轴于点T,在TE上截取TK=PT,连接PK.
∵ $AB=BO,TP=TK,∠ABO=∠PTK=90°$,
∴ $∠AOB=∠PKT=45°,∴ ∠AOT=∠PKE=135°$.
∵ $∠APE=90°,∠TPK=45°$,
∴ $∠OPA+∠EPK=180°-90°-45°=45°$.
∵ $∠OPA+∠OAP=∠AOB=45°,∴ ∠OAP=∠KPE$.
在$△AOP$和$△PKE$中,$\begin{cases}∠AOP=∠PKE,\\∠OAP=∠KPE,\\PA=EP,\end{cases}$
∴ $△AOP≌△PKE(AAS),∴ OP=KE$.
∵ $TP=TK,∴ OP+PT=KE+TK$,即$OT=ET$,
又$ET⊥OT,∴ ∠TOE=∠TEO=45°$,
∴ $∠TOE=∠QOB=45°$,
又$OB⊥AQ,∴ ∠Q=∠QOB=45°,∠OAB=∠AOB=45°$,
∴ $∠Q=∠OAB=45°,∴ OQ=OA$,
∵ $OB⊥AQ,∴ AB=BQ=3,∴ AQ=AB+BQ=6$.