登录
基础知识·预习
问题1 结合二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 +2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2 -2$ 的图象总结：
(1)抛物线 $y=ax^2 +k(a≠0)$ 的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y 随 x 的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数 $y=ax^2 +k(a≠0)$ 的图象与 $y=ax^2$ 的图象有什么关系？
问题1 结合二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 +2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2 -2$ 的图象总结：
(1)抛物线 $y=ax^2 +k(a≠0)$ 的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y 随 x 的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数 $y=ax^2 +k(a≠0)$ 的图象与 $y=ax^2$ 的图象有什么关系？
答案
解：
(1) 抛物线$y=ax^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
顶点坐标是$(0,k)$。
(2) 分两种情况：
① 当$a＞0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$k$。
② 当$a＜0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$k$。
问题2：
二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，可通过平移$y=ax^2$的图象得到：
当$k＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向上平移$k$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象。
(1) 抛物线$y=ax^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
顶点坐标是$(0,k)$。
(2) 分两种情况：
① 当$a＞0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$k$。
② 当$a＜0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$k$。
问题2：
二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，可通过平移$y=ax^2$的图象得到：
当$k＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向上平移$k$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象。
解析
【分析】
我们可以结合已知的简单二次函数$y=ax^2$的性质，对比题目给出的两个平移后的二次函数图象特征，推导$y=ax^2+k$的相关性质：1. 已知$y=ax^2$的开口方向由$a$决定，上下平移后开口方向不变，即可确定$y=ax^2+k$的开口决定因素；由于$y=ax^2+k$不含一次项，对称轴和$y=ax^2$一致为y轴，代入$x=0$即可得到顶点纵坐标$k$，进而得到顶点坐标。2. 增减性结合开口方向和对称轴分析：开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小、右侧递增，开口向下时规律相反。3. 两个图象的形状、开口都由$a$决定，因此特征一致，再结合平移规律“上加下减常数项”总结平移关系即可。
【解析】
问题1
(1) 抛物线$y=ax^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
顶点坐标是$(0,k)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$k$。
② 当$a＜0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$k$。
问题2
二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，可通过平移$y=ax^2$的图象得到：
当$k＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向上平移$k$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为y轴（直线$x=0$）；顶点坐标为$(0,k)$。
(2) $a＞0$时：$x＜0$，$y$随$x$增大而减小；$x＞0$，$y$随$x$增大而增大，$x=0$时取最小值$k$。
$a＜0$时：$x＜0$，$y$随$x$增大而增大；$x＞0$，$y$随$x$增大而减小，$x=0$时取最大值$k$。
问题2
两者形状、开口方向完全相同，$y=ax^2+k$可由$y=ax^2$平移得到：$k＞0$时向上平移$k$个单位；$k＜0$时向下平移$|k|$个单位。
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数图象平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象与性质模块的基础题型，核心考察$y=ax^2+k$的基础特征，解题时需注意对$a$的正负进行分类讨论，熟练掌握图象平移规律，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
我们可以结合已知的简单二次函数$y=ax^2$的性质，对比题目给出的两个平移后的二次函数图象特征，推导$y=ax^2+k$的相关性质：1. 已知$y=ax^2$的开口方向由$a$决定，上下平移后开口方向不变，即可确定$y=ax^2+k$的开口决定因素；由于$y=ax^2+k$不含一次项，对称轴和$y=ax^2$一致为y轴，代入$x=0$即可得到顶点纵坐标$k$，进而得到顶点坐标。2. 增减性结合开口方向和对称轴分析：开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小、右侧递增，开口向下时规律相反。3. 两个图象的形状、开口都由$a$决定，因此特征一致，再结合平移规律“上加下减常数项”总结平移关系即可。
【解析】
问题1
(1) 抛物线$y=ax^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。
顶点坐标是$(0,k)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$k$。
② 当$a＜0$时：
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$k$。
问题2
二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，可通过平移$y=ax^2$的图象得到：
当$k＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向上平移$k$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位长度，得到$y=ax^2+k$的图象。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为y轴（直线$x=0$）；顶点坐标为$(0,k)$。
(2) $a＞0$时：$x＜0$，$y$随$x$增大而减小；$x＞0$，$y$随$x$增大而增大，$x=0$时取最小值$k$。
$a＜0$时：$x＜0$，$y$随$x$增大而增大；$x＞0$，$y$随$x$增大而减小，$x=0$时取最大值$k$。
问题2
两者形状、开口方向完全相同，$y=ax^2+k$可由$y=ax^2$平移得到：$k＞0$时向上平移$k$个单位；$k＜0$时向下平移$|k|$个单位。
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数图象平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象与性质模块的基础题型，核心考察$y=ax^2+k$的基础特征，解题时需注意对$a$的正负进行分类讨论，熟练掌握图象平移规律，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】画出二次函数$y=x^2 -4$的图象，并解答问题。
(1)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴。
(2)已知点$A(6,y_1),B(-6,y_2)$是抛物线上的两点，比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解】列表：
描点并连线(如图)：
(1)二次函数$y=x^2 -4$的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为y轴。
(2)∵点A和点B到抛物线$y=x^2 -4$的对称轴y轴的距离相等，
∴$y_1=y_2$。
(1)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴。
(2)已知点$A(6,y_1),B(-6,y_2)$是抛物线上的两点，比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解】列表：
描点并连线(如图)：
(1)二次函数$y=x^2 -4$的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为y轴。
(2)∵点A和点B到抛物线$y=x^2 -4$的对称轴y轴的距离相等，
∴$y_1=y_2$。
答案
解：
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系内描出表中各点，用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
(1) 该二次函数的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$、$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1 = y_2$。
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系内描出表中各点，用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
(1) 该二次函数的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$、$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1 = y_2$。
解析
【分析】
首先画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，本题函数为$y=x^2-4$，属于$y=ax^2+k$的形式，取正负对称的x值计算对应y值即可完成列表描点。对于问题(1)，可直接套用$y=ax^2+k$的性质判断：a的符号决定开口方向，顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为y轴；对于问题(2)，利用二次函数对称性：若两点到对称轴的距离相等，则两点函数值相等，观察A、B横坐标到y轴的距离均为6，因此函数值相等。
【解析】
1. 画函数图象：
列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系内描出表中各点，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
2. 解答问题：
(1) 二次函数$y=x^2-4$中$a=1＞0$，因此图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$、$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1 = y_2$。
【答案】
画图步骤见解析；
(1) 开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴；
(2) $y_1=y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象画法
2. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2+k$的基础性质与对称性的简单应用，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，本题函数为$y=x^2-4$，属于$y=ax^2+k$的形式，取正负对称的x值计算对应y值即可完成列表描点。对于问题(1)，可直接套用$y=ax^2+k$的性质判断：a的符号决定开口方向，顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为y轴；对于问题(2)，利用二次函数对称性：若两点到对称轴的距离相等，则两点函数值相等，观察A、B横坐标到y轴的距离均为6，因此函数值相等。
【解析】
1. 画函数图象：
列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系内描出表中各点，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
2. 解答问题：
(1) 二次函数$y=x^2-4$中$a=1＞0$，因此图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$、$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1 = y_2$。
【答案】
画图步骤见解析；
(1) 开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴；
(2) $y_1=y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象画法
2. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2+k$的基础性质与对称性的简单应用，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
