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1. 顶点坐标为$(0,2)$，且与抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为
$y=\frac{1}{3}x^2 +2$
。答案
$y=\frac{1}{3}x^2 +2$
解析
【分析】解题时首先明确核心性质：①抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，两个抛物线形状相同则二次项系数的绝对值相等；②抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，开口方向相反则二次项系数符号相反。据此先求出所求抛物线的二次项系数a，再结合$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，结合题目给出的顶点$(0,2)$确定常数项k，即可得到函数解析式。
【解析】
1. 求二次项系数a：
已知所求抛物线与$y=-\frac{1}{3}x^2$形状相同、开口方向相反，因此二次项系数的绝对值与原抛物线相等，符号相反，故$a=\frac{1}{3}$。
2. 求常数项k：
二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，题目给出顶点坐标为$(0,2)$，因此$k=2$。
3. 代入得到解析式：
将$a=\frac{1}{3}$、$k=2$代入$y=ax^2+k$，得$y=\frac{1}{3}x^2+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{3}x^2 +2$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、二次函数顶点坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基础性质，解题的关键是牢记二次项系数a对抛物线形状、开口方向的影响，掌握$y=ax^2+k$形式的顶点坐标规律，熟练运用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
【解析】
1. 求二次项系数a：
已知所求抛物线与$y=-\frac{1}{3}x^2$形状相同、开口方向相反，因此二次项系数的绝对值与原抛物线相等，符号相反，故$a=\frac{1}{3}$。
2. 求常数项k：
二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，题目给出顶点坐标为$(0,2)$，因此$k=2$。
3. 代入得到解析式：
将$a=\frac{1}{3}$、$k=2$代入$y=ax^2+k$，得$y=\frac{1}{3}x^2+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{3}x^2 +2$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、二次函数顶点坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基础性质，解题的关键是牢记二次项系数a对抛物线形状、开口方向的影响，掌握$y=ax^2+k$形式的顶点坐标规律，熟练运用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
【典型例题 2】若抛物线$y=2x^2$经过平移后得到抛物线$y=2x^2 -3$，则平移方法是（）
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
【答案】D
规律方法 抛物线$y=ax^2 +k(a≠0)$与$y=ax^2$的形状相同，把抛物线$y=ax^2$向上$(k＞0)$或向下$(k＜0)$平移$|k|$个单位长度，就得到抛物线$y=ax^2 +k$。
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
【答案】D
规律方法 抛物线$y=ax^2 +k(a≠0)$与$y=ax^2$的形状相同，把抛物线$y=ax^2$向上$(k＞0)$或向下$(k＜0)$平移$|k|$个单位长度，就得到抛物线$y=ax^2 +k$。
答案
D
解析
【分析】
首先明确二次函数平移时二次项系数$a$不变，形状相同的抛物线平移只需对比表达式的变化即可。本题中两个抛物线二次项系数均为2，属于$y=ax^2$到$y=ax^2+k$的平移类型，根据“上加下减常数项”的平移规律，只需对比两个式子的常数项就能判断平移方向和距离。
【解析】
抛物线平移时二次项系数保持不变，本题平移前后两个抛物线的二次项系数均为2，符合$y=ax^2$平移得到$y=ax^2+k$的规律：当$k＞0$时，向上平移$|k|$个单位长度；当$k＜0$时，向下平移$|k|$个单位长度。
原抛物线$y=2x^2$的常数项为0，平移后抛物线$y=2x^2-3$的常数项为$-3$，即$k=-3＜0$，因此是将原抛物线向下平移$|-3|=3$个单位长度。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握二次函数平移“上加下减、左加右减”的规律，其中上下平移仅改变表达式的常数项，熟练掌握规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先明确二次函数平移时二次项系数$a$不变，形状相同的抛物线平移只需对比表达式的变化即可。本题中两个抛物线二次项系数均为2，属于$y=ax^2$到$y=ax^2+k$的平移类型，根据“上加下减常数项”的平移规律，只需对比两个式子的常数项就能判断平移方向和距离。
【解析】
抛物线平移时二次项系数保持不变，本题平移前后两个抛物线的二次项系数均为2，符合$y=ax^2$平移得到$y=ax^2+k$的规律：当$k＞0$时，向上平移$|k|$个单位长度；当$k＜0$时，向下平移$|k|$个单位长度。
原抛物线$y=2x^2$的常数项为0，平移后抛物线$y=2x^2-3$的常数项为$-3$，即$k=-3＜0$，因此是将原抛物线向下平移$|-3|=3$个单位长度。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握二次函数平移“上加下减、左加右减”的规律，其中上下平移仅改变表达式的常数项，熟练掌握规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.将抛物线$y=2x^2$向下平移5个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是
$y=2x^2 -5$
。答案
$y=2x^2 -5$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律。首先明确：抛物线平移时，形状、开口方向不变，即二次项系数a保持不变；平移遵循“上加下减，左加右减”的规则，其中上下平移是对整个函数值进行调整，向上平移加对应单位，向下平移减对应单位；左右平移是对自变量x进行调整。本题是向下平移5个单位，只需在原解析式的基础上减去平移的单位长度即可。
【解析】
已知原抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2$，将其向下平移5个单位长度，根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，给原函数的整体值减去5，可得平移后抛物线的解析式为：
$y=2x^2 - 5$
【答案】
$y=2x^2 -5$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，主要考查对平移规则的掌握程度，解题时注意区分上下平移和左右平移的应用对象，避免混淆规则导致出错。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律。首先明确：抛物线平移时，形状、开口方向不变，即二次项系数a保持不变；平移遵循“上加下减，左加右减”的规则，其中上下平移是对整个函数值进行调整，向上平移加对应单位，向下平移减对应单位；左右平移是对自变量x进行调整。本题是向下平移5个单位，只需在原解析式的基础上减去平移的单位长度即可。
【解析】
已知原抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2$，将其向下平移5个单位长度，根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，给原函数的整体值减去5，可得平移后抛物线的解析式为：
$y=2x^2 - 5$
【答案】
$y=2x^2 -5$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，主要考查对平移规则的掌握程度，解题时注意区分上下平移和左右平移的应用对象，避免混淆规则导致出错。
【难度系数】
0.9
1. 下列关于抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +3$的说法错误的是（
A.抛物线开口向上
B.抛物线经过点$(3,6)$
C.抛物线的顶点是$(1,3)$
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C
）A.抛物线开口向上
B.抛物线经过点$(3,6)$
C.抛物线的顶点是$(1,3)$
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时可逐项分析判断：首先根据$a$的符号判断开口方向，再通过代入坐标验证点是否在抛物线上，接着结合$y=ax^2+k$的顶点坐标特征判断顶点是否正确，最后根据开口方向和对称轴分析函数增减性，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +3$中，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，因此抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意。
选项B：将$x=3$代入解析式，得$y=\frac{1}{3}× 3^2 +3 = 3+3=6$，因此抛物线经过点$(3,6)$，B说法正确，不符合题意。
选项C：二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=3$，因此顶点坐标为$(0,3)$，不是$(1,3)$，C说法错误，符合题意。
选项D：该抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，D说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；2.函数图象上点的坐标特征；3.二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对$y=ax^2+k$基本性质的识记与简单应用，只要熟练掌握开口方向、顶点坐标、增减性等核心知识点，结合代入验证的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时可逐项分析判断：首先根据$a$的符号判断开口方向，再通过代入坐标验证点是否在抛物线上，接着结合$y=ax^2+k$的顶点坐标特征判断顶点是否正确，最后根据开口方向和对称轴分析函数增减性，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +3$中，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，因此抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意。
选项B：将$x=3$代入解析式，得$y=\frac{1}{3}× 3^2 +3 = 3+3=6$，因此抛物线经过点$(3,6)$，B说法正确，不符合题意。
选项C：二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=3$，因此顶点坐标为$(0,3)$，不是$(1,3)$，C说法错误，符合题意。
选项D：该抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，D说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；2.函数图象上点的坐标特征；3.二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对$y=ax^2+k$基本性质的识记与简单应用，只要熟练掌握开口方向、顶点坐标、增减性等核心知识点，结合代入验证的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
2.若一次函数 $ y=ax - c $ 的图象如图所示，则二次函数 $ y=ax^2 + c $ 的图象大致为（
D
）答案
D
解析
【分析】
解题分为两个核心步骤：第一步先从已知的一次函数图象提取信息，推导系数a、c的正负性，这是解题的突破口。回忆一次函数的性质：直线的倾斜方向对应一次项系数的符号，与y轴的交点位置对应常数项的符号，由此可确定a和c的正负。第二步再结合二次函数$y=ax^2+c$的图象性质判断：二次项系数a决定抛物线的开口方向，常数项c决定抛物线与y轴的交点位置，结合第一步得到的a、c符号，即可匹配对应的图象。
【解析】
1. 分析一次函数$y=ax - c$的图象：
① 直线从左上向右下倾斜，说明一次项系数$a＜0$；
② 直线与y轴交于正半轴，即当$x=0$时，$y=-c＞0$，推导得$c＜0$。
2. 分析二次函数$y=ax^2 + c$的图象特征：
① 由$a＜0$，可知抛物线开口向下；
② 由$c＜0$，可知当$x=0$时$y=c＜0$，即抛物线与y轴交于负半轴。
同时满足以上两个特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，重点考查不同函数中系数与图象特征的对应关系，需要学生能熟练进行知识的迁移应用，通过已知函数的系数推导未知函数的图象特征。
【难度系数】
0.7
解题分为两个核心步骤：第一步先从已知的一次函数图象提取信息，推导系数a、c的正负性，这是解题的突破口。回忆一次函数的性质：直线的倾斜方向对应一次项系数的符号，与y轴的交点位置对应常数项的符号，由此可确定a和c的正负。第二步再结合二次函数$y=ax^2+c$的图象性质判断：二次项系数a决定抛物线的开口方向，常数项c决定抛物线与y轴的交点位置，结合第一步得到的a、c符号，即可匹配对应的图象。
【解析】
1. 分析一次函数$y=ax - c$的图象：
① 直线从左上向右下倾斜，说明一次项系数$a＜0$；
② 直线与y轴交于正半轴，即当$x=0$时，$y=-c＞0$，推导得$c＜0$。
2. 分析二次函数$y=ax^2 + c$的图象特征：
① 由$a＜0$，可知抛物线开口向下；
② 由$c＜0$，可知当$x=0$时$y=c＜0$，即抛物线与y轴交于负半轴。
同时满足以上两个特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，重点考查不同函数中系数与图象特征的对应关系，需要学生能熟练进行知识的迁移应用，通过已知函数的系数推导未知函数的图象特征。
【难度系数】
0.7
3. 抛物线 $y=1-\frac{1}{2}x^2$ 可由抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 向
上
平移 1
个单位长度得到。答案
上 1
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数图象平移的规律：当二次项系数a相同时，抛物线的形状、开口方向完全一致，仅位置不同，上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律。解题步骤可分为三步：①确认两个函数的二次项系数均为$-\frac{1}{2}$，属于同一条抛物线平移得到的；②将两个抛物线整理为$y=ax^2+k$的标准形式，对比常数项的差异，原抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$常数项为0，平移后的抛物线$y=1-\frac{1}{2}x^2$可整理为$y=-\frac{1}{2}x^2+1$，常数项为1；③根据常数项的变化结合平移规律判断平移方向和距离。
【解析】
将两个抛物线统一为$y=ax^2+k$的标准形式：
1. 原抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，常数项为0，顶点坐标为$(0,0)$；
2. 待判断的抛物线解析式可变形为$y=-\frac{1}{2}x^2+1$，常数项为1，顶点坐标为$(0,1)$。
方法一（顶点坐标法）：两个抛物线的顶点从$(0,0)$移动到$(0,1)$，纵坐标增加了1，因此是向上平移1个单位长度。
方法二（平移规律法）：根据上下平移“上加下减常数项”的规则，常数项从0变为1，增加了1，因此是向上平移1个单位长度。
【答案】
上；1
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查上下平移的规律，只要熟练掌握“上加下减常数项”的平移规则，或通过对比顶点坐标的变化就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确二次函数图象平移的规律：当二次项系数a相同时，抛物线的形状、开口方向完全一致，仅位置不同，上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律。解题步骤可分为三步：①确认两个函数的二次项系数均为$-\frac{1}{2}$，属于同一条抛物线平移得到的；②将两个抛物线整理为$y=ax^2+k$的标准形式，对比常数项的差异，原抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$常数项为0，平移后的抛物线$y=1-\frac{1}{2}x^2$可整理为$y=-\frac{1}{2}x^2+1$，常数项为1；③根据常数项的变化结合平移规律判断平移方向和距离。
【解析】
将两个抛物线统一为$y=ax^2+k$的标准形式：
1. 原抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，常数项为0，顶点坐标为$(0,0)$；
2. 待判断的抛物线解析式可变形为$y=-\frac{1}{2}x^2+1$，常数项为1，顶点坐标为$(0,1)$。
方法一（顶点坐标法）：两个抛物线的顶点从$(0,0)$移动到$(0,1)$，纵坐标增加了1，因此是向上平移1个单位长度。
方法二（平移规律法）：根据上下平移“上加下减常数项”的规则，常数项从0变为1，增加了1，因此是向上平移1个单位长度。
【答案】
上；1
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查上下平移的规律，只要熟练掌握“上加下减常数项”的平移规则，或通过对比顶点坐标的变化就能快速解题。
【难度系数】
0.9
