4.已知抛物线$y=mx^2+m-2(m≠0)$的顶点在$y$轴的负半轴上，且开口向上，则$m$的取值范围是.

$0＜m＜2$

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的相关性质：①开口方向由二次项系数$a$决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②顶点坐标为$(0,k)$，顶点在$y$轴的位置由$k$的正负决定。本题给出两个限制条件：开口向上、顶点在$y$轴负半轴，我们可以分别根据两个条件列出关于$m$的不等式，联立求解不等式组即可得到$m$的取值范围。
【解析】
第一步：根据抛物线开口向上列不等式
二次函数开口向上时，二次项系数大于0，因此$m＞0$。
第二步：根据顶点在$y$轴负半轴列不等式
抛物线$y=mx^2+m-2$是$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0, m-2)$，顶点在$y$轴负半轴说明顶点纵坐标小于0，即：
$m-2 ＜ 0$
解得$m＜2$。
第三步：联立两个不等式求取值范围
结合$m＞0$和$m＜2$，且题目已给出$m≠0$，可得$m$的取值范围是$0＜m＜2$。
【答案】
$0＜m＜2$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 一元一次不等式组求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2+k$的核心性质，只要掌握开口方向与二次项系数的关系、顶点坐标的特征，结合不等式求解即可得出结果，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

5. 抛物线 $ y = ax^2 + c (a ≠ 0) $ 与x轴交于A(-2,0),B两点,与y轴交于点C(0,-4),则△ABC的面积是.

8

【分析】
要计算△ABC的面积，需先确定底边AB的长度和AB边上的高。解题思路如下：第一步，将已知的A、C两点坐标代入抛物线解析式，求出参数a、c的值，得到完整的抛物线解析式；第二步，求出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，也可利用抛物线y=ax²+c的对称轴为y轴，直接得到A、B关于y轴对称，推出B点坐标；第三步，计算AB的长度，点C到x轴的距离即为AB边上的高，最后代入三角形面积公式求解。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将点C(0,-4)代入$y=ax^2+c$，得：
$-4 = a×0^2 + c$，解得$c=-4$
再将点A(-2,0)和$c=-4$代入$y=ax^2+c$，得：
$0 = a×(-2)^2 -4$，即$4a-4=0$，解得$a=1$
因此抛物线解析式为$y=x^2-4$
2. 求点B坐标：
令$y=0$，得$x^2-4=0$，解得$x=±2$
已知A点坐标为(-2,0)，因此B点坐标为(2,0)
3. 计算△ABC的面积：
AB的长度为$|2 - (-2)|=4$
点C到x轴的距离为$|-4|=4$，即△ABC中AB边上的高为4
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的性质；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，将二次函数的图象性质与几何图形面积计算结合考查，解题的关键是利用已知点求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合面积公式计算即可，解题时也可利用二次函数的对称性直接得出B点坐标，简化计算步骤。
【难度系数】
0.8

6. 将函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象适当地上下平移，使得到的新图象经过点$(4,-2)$，请求出平移的方向和距离。

【解】设新图象对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2 +b$。
∵新图象经过点$(4,-2)$，
∴$\frac{1}{2}×4^2 +b=-2$. 解得 $b=-10$.
∴新图象对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2 -10$.
∴将函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象向下平移 10 个单位长度，得到的新图象经过点$(4,-2)$。

【分析】
解决这道题首先要明确二次函数上下平移的规律：函数图像上下平移时，解析式遵循“上加下减”的规则，即向上平移$m$个单位，解析式加$m$，向下平移$m$个单位，解析式减$m$，因此我们可以设平移后的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 +b$（$b$为常数，$b＞0$表示向上平移，$b＜0$表示向下平移，$|b|$就是平移的距离）。接下来，因为平移后的新图像经过点$(4,-2)$，根据“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”，把点的坐标代入设好的解析式，就能求出$b$的值，进而判断平移的方向和距离。
【解析】
解：设平移后新图象对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 +b$。
∵新图象经过点$(4,-2)$，将$x=4$，$y=-2$代入解析式得：
$\frac{1}{2}×4^2 +b=-2$
计算得：$8 + b = -2$
解得：$b=-10$
∵$b=-10＜0$，$|b|=10$
∴将函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移10个单位长度，得到的新图象经过点$(4,-2)$。
【答案】
向下平移10个单位长度
【知识点】
二次函数平移规律；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握二次函数上下平移时解析式“上加下减”的变化规律，结合点在函数图像上的性质代入计算即可求解。
【难度系数】
0.8

7.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是抛物线$y=-2x^2-2$上的点,且$|x_1|＞|x_2|$,则$y_1$与$y_2$的大小关系为 ()

A.$y_1=y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法确定

C

【分析】
要比较$y_1$与$y_2$的大小，需先明确抛物线$y=-2x^2-2$的图象性质：第一步先判断抛物线的开口方向、对称轴；第二步结合开口方向总结函数值随$|x|$变化的规律；第三步结合已知$|x_1|＞|x_2|$的条件，即可得出$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2-2$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，且对称轴为y轴（直线$x=0$）；
2. 开口向下的抛物线，横坐标的绝对值越大，对应点离对称轴y轴的距离越远，函数值越小；
3. 已知$|x_1|＞|x_2|$，因此点A离对称轴更远，可得$y_1＜y_2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值大小，熟练掌握特殊形式二次函数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),C是y轴上的点,四边形OABC为矩形,AB=1.若抛物线$y=2x^2 + c$与矩形OABC的边总有两个公共点,则实数c的取值范围是 ()

A.$c＞8$或$c＜-1$
B.$-1＜c＜8$
C.$c＞1$或$c＜-8$
D.$-8＜c＜1$

D

【分析】
首先先确定矩形OABC各顶点的坐标：已知A(2,0)，四边形OABC是矩形，AB=1，可得B(2,1)、C(0,1)。抛物线$y=2x^2 + c$是开口向上、对称轴为y轴的抛物线，解题时先找到抛物线与矩形边仅1个公共点的临界情况，再推导有两个公共点时c的范围：第一个临界是抛物线过点C(0,1)，此时c=1，若c＞1，抛物线整体在y=1上方，与矩形无交点；第二个临界是抛物线过点A(2,0)，代入可求得c=-8，若c＜-8，x∈[0,2]时抛物线y值均小于0，与矩形无交点，因此两个公共点的情况就对应两个临界值之间的范围。
【解析】
1. 求矩形顶点坐标：
∵点A坐标为(2,0)，四边形OABC是矩形，AB=1且AB⊥x轴，
∴B点坐标为(2,1)，C点坐标为(0,1)。
2. 计算临界值：
抛物线$y=2x^2 + c$开口向上，对称轴为y轴：
① 当抛物线经过点C(0,1)时，将(0,1)代入解析式：
$1=2×0^2 + c$，解得$c=1$，此时抛物线仅与矩形交于点C，若$c＞1$，抛物线最小值为$c＞1$，与矩形无交点；
② 当抛物线经过点A(2,0)时，将(2,0)代入解析式：
$0=2×2^2 + c$，即$0=8+c$，解得$c=-8$，此时抛物线仅与矩形交于点A，若$c＜-8$，x=2时$y=8+c＜0$，x∈[0,2]时y的最大值小于0，与矩形无交点。
3. 确定取值范围：
要使抛物线与矩形OABC的边总有两个公共点，则c的取值范围是$-8＜c＜1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，矩形的性质，函数交点求解
【点评】
本题核心是利用临界值法确定参数范围，解题关键是先明确矩形各顶点坐标，再结合二次函数的开口方向、最值特点找到交点个数变化的临界位置，即可快速推导参数范围。
【难度系数】
0.65

9. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+3(a≠0)$与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$于点B,C,则BC的长为.

6

【分析】
要求BC的长度，因BC平行于x轴，只需计算B、C两点的横坐标之差即可。首先确定BC所在直线的纵坐标：抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，代入即可求得A点坐标，也就得到了B、C两点的纵坐标；再将纵坐标代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$，求出B、C的横坐标，最后计算横坐标的差即为BC的长度。
【解析】
1. 求点A的坐标：
抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，故$A(0,3)$。
2. 求B、C两点的坐标：
因为BC过点A且平行于x轴，所以直线BC的解析式为$y=3$，即B、C两点的纵坐标均为3。
将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$。
所以B点坐标为$(-3,3)$，C点坐标为$(3,3)$。
3. 计算BC的长度：
平行于x轴的线段长度为两点横坐标之差的绝对值，故$BC=|3-(-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数点坐标特征；平行于x轴的直线性质；二次函数与直线交点计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的性质，结合二次函数图象上点的坐标满足函数解析式的特点求解，能有效考查学生对二次函数基本性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8

10.若抛物线$y=2x^{m^2 -4m -3}+m -5$的顶点在x轴下方，则m=。

-1

【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步，题目中的函数是抛物线，说明它是二次函数，根据二次函数的定义，自变量x的最高次数必须为2，据此列出关于m的方程，求出m的可能取值；第二步，二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，顶点在x轴下方说明$k＜0$，用这个条件对第一步求出的m值进行筛选，舍去不符合要求的解，就能得到最终的m值。
【解析】
解：
∵ 函数$y=2x^{m^2 -4m -3}+m -5$是抛物线，即该函数为二次函数
∴ x的最高次数为2，可得：
$\begin{aligned}m^2 -4m -3 &= 2 \\m^2 -4m -5 &= 0 \\(m-5)(m+1) &= 0\end{aligned}$
解得：$m_1=5$，$m_2=-1$
又
∵ 抛物线$y=2x^2+(m-5)$的顶点在x轴下方，其顶点纵坐标为$m-5$
∴ $m-5 ＜ 0$，即$m ＜ 5$
当$m=5$时，$m-5=0$，顶点在x轴上，不符合题意，舍去；
当$m=-1$时，$m-5=-6 ＜ 0$，符合题意。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题时要先根据二次函数的定义确定参数的可能取值，再结合顶点位置的限制条件筛选，注意不要忽略“顶点在x轴下方”不包含顶点在x轴上的情况。
【难度系数】
0.7

11.已知直线$y=2x$与抛物线$y=ax^2+3$($a≠0$)相交于点$(2,b)$.
(1)求$a,b$的值.
(2)若直线$y=2x$上点$A$的纵坐标为2，抛物线$y=ax^2+3$的顶点为$B$，求$△ AOB$的面积.

【解】(1)
∵点$(2,b)$在直线$y=2x$上，
∴$b=4$.
又点$(2,b)$,即点$(2,4)$在抛物线$y=ax^2 +3$上，
∴$4a+3=4$.
∴$a=\frac{1}{4}$.
(2)在$y=2x$中，令$y=2$,则 $x=1$,
∴点 $A$ 的坐标为$(1,2)$.
抛物线 $y=\frac{1}{4}x^2 +3$ 的顶点 $B$ 的坐标为$(0,3)$.
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB·|x_A|=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$.

【分析】
(1)已知点(2,b)是直线与抛物线的交点，因此该点坐标同时满足两个函数的解析式：先将点(2,b)代入直线y=2x，即可求出b的值；再将求出的点坐标代入抛物线y=ax²+3，解方程就能得到a的值。(2)先将点A的纵坐标2代入直线y=2x，求出点A的横坐标，得到A点坐标；再根据二次函数y=ax²+k的顶点坐标为(0,k)，直接得到抛物线顶点B的坐标；观察△AOB可知，边OB在y轴上，长度为B点的纵坐标值，OB边上的高等于点A的横坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1)
∵点(2,b)在直线y=2x上，
∴b=2×2=4。
又
∵点(2,4)在抛物线y=ax²+3上，
∴将(2,4)代入抛物线解析式得：4a+3=4，
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2)
∵点A在直线y=2x上，且纵坐标为2，
∴令y=2，得2=2x，解得x=1，
∴点A的坐标为(1,2)。
抛物线$y=\frac{1}{4}x^2+3$的顶点B的坐标为(0,3)，
∴OB的长度为3，OB边上的高为点A横坐标的绝对值即1，
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OB×|x_A|=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$a=\frac{1}{4}$，$b=4$；(2)$\frac{3}{2}$
【知识点】
1.一次函数图象性质
2.二次函数顶点特征
3.三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的关系，以及二次函数基本性质和坐标系内三角形面积的计算方法，难度较低，熟练掌握基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

12. 已知$y$关于$x$的二次函数$y=2x^2+m$.
(1)若点$(-2,y_1)$与$(3,y_2)$在此二次函数的图象上，则$y_1$$y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）
(2)如图，该二次函数的图象经过点$(0,-4)$，正方形$ABCD$的顶点$C$，$D$在$x$轴上，$A$，$B$恰好在该二次函数的图象上，求图中两块阴影部分的面积和.

【解】(1)$＜$
(2)设题图中两块阴影部分的面积和为 $S$.
∵二次函数 $y=2x^2 +m$ 的图象经过点$(0,-4)$,
∴$m=-4$.
∴$y=2x^2 -4$.
∵四边形 $ABCD$ 为正方形，
∴易证四边形 $ADOE$ 与四边形 $BCOE$ 都是矩形.
∵二次函数 $y=2x^2 -4$ 的图象和正方形 $ABCD$ 都是轴对称图形，它们的对称轴都是 $y$ 轴，
∴$OD=OC=\frac{1}{2}BC$,$S=S_{矩形BCOE}$.
设点 $B$ 的坐标为$(n,2n)(n＞0)$.
∵点 $B$ 在二次函数 $y=2x^2 -4$ 的图象上，
∴$2n=2n^2 -4$.
解得 $n_1=2$,$n_2=-1$(舍去).
∴点 $B$ 的坐标为$(2,4)$.
∴$S=S_{矩形BCOE}=2×4=8$.

【分析】
(1) 二次函数$y=2x^2+m$中$a=2＞0$，图象开口向上，对称轴为$y$轴，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。点$(-2,y_1)$到$y$轴的距离为2，点$(3,y_2)$到$y$轴的距离为3，$2＜3$，因此可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
(2) 首先将点$(0,-4)$代入二次函数解析式求出$m$的值，确定函数解析式；再利用二次函数和正方形均关于$y$轴对称的性质，可知两块阴影部分的面积和等于矩形$BCOE$的面积；结合正方形边长相等的性质，可得点$B$的纵坐标是横坐标的2倍，设出点$B$坐标代入解析式求解，最后计算矩形面积即可得到阴影面积和。
【解析】
(1) 二次函数$y=2x^2+m$开口向上，对称轴为$y$轴，点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$\vert -2 \vert=2$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$\vert 3 \vert=3$，因为$2＜3$，距离对称轴越远函数值越大，所以$y_1＜y_2$。
(2) 设两块阴影部分的面积和为$S$：
① 求二次函数解析式：
∵二次函数$y=2x^2+m$的图象经过点$(0,-4)$，将$x=0,y=-4$代入得：
$-4=2×0^2+m$，解得$m=-4$，
∴二次函数解析式为$y=2x^2-4$。
② 利用对称性转化面积：
∵四边形$ABCD$是正方形，二次函数$y=2x^2-4$和正方形$ABCD$都关于$y$轴对称，
∴阴影部分可拼接为矩形$BCOE$，即$S=S_{矩形BCOE}$，且$BC=CD=2OC$。
③ 求点$B$坐标：
设点$B$的坐标为$(n,2n)$（$n＞0$，其中$n$为$OC$的长度，$2n$为$BC$的长度），
∵点$B$在二次函数$y=2x^2-4$的图象上，代入得：
$2n=2n^2-4$，
整理得$n^2-n-2=0$，
解得$n_1=2$，$n_2=-1$（不符合$n＞0$，舍去），
∴点$B$的坐标为$(2,4)$。
④ 计算阴影面积：
$S=S_{矩形BCOE}=OC× BC=2×4=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，图形对称性的应用，正方形的性质
【点评】
本题将二次函数性质与几何图形结合考查，解题的关键是利用二次函数和正方形的轴对称性将分散的阴影面积转化为规则矩形的面积，简化计算过程，同时需要熟练掌握二次函数解析式的求解方法。
【难度系数】
0.7