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8.已知函数$y=ax^2(a≠0)$的图象与函数$y=2x-3$的图象交于点$(1,b)$。
(1)试求$a$和$b$的值。
(2)写出函数$y=ax^2$的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴。
(3)当$x$取何值时，二次函数$y=ax^2$中的$y$随$x$的增大而增大？
(1)试求$a$和$b$的值。
(2)写出函数$y=ax^2$的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴。
(3)当$x$取何值时，二次函数$y=ax^2$中的$y$随$x$的增大而增大？
答案
8.【解】(1)将 $x=1,y=b$ 代入 $y=2x-3$,得 $b=-1$.
$\therefore$ 两个函数图象的公共点坐标为$(1,-1)$.
再将 $x=1,y=-1$ 代入 $y=ax^2$,得 $a=-1$.
故 $a=-1,b=-1$.
(2)由(1)知 $a=-1$,故二次函数的解析式为$y=-x^2$,其图象的顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴.
(3)当 $x≤0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\therefore$ 两个函数图象的公共点坐标为$(1,-1)$.
再将 $x=1,y=-1$ 代入 $y=ax^2$,得 $a=-1$.
故 $a=-1,b=-1$.
(2)由(1)知 $a=-1$,故二次函数的解析式为$y=-x^2$,其图象的顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴.
(3)当 $x≤0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
解析
【分析】
(1) 函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将交点$(1,b)$代入一次函数解析式求出$b$的值，再将完整的交点坐标代入二次函数解析式即可求出$a$的值；(2) 将求出的$a$代入$y=ax^2$得到二次函数解析式，再根据$y=ax^2$类二次函数的性质直接写出顶点坐标和对称轴；(3) 根据$a$的正负判断二次函数开口方向，结合对称轴即可确定$y$随$x$增大而增大的$x$的取值范围。
【解析】
(1) 把$x=1,y=b$代入$y=2x-3$，得$b=2×1-3=-1$，即两个函数的交点坐标为$(1,-1)$。再把$x=1,y=-1$代入$y=ax^2$，得$-1=a×1^2$，解得$a=-1$。
(2) 由(1)可知$a=-1$，因此二次函数的解析式为$y=-x^2$，根据二次函数$y=ax^2$的性质，其图象的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。
(3) 由于$a=-1＜0$，二次函数$y=-x^2$的图象开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-1$；(2) 解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；(3) 当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
函数交点的坐标特征、二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，主要考察函数交点的应用和$y=ax^2$型二次函数的基本性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征与增减性规律。
【难度系数】
0.8
(1) 函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将交点$(1,b)$代入一次函数解析式求出$b$的值，再将完整的交点坐标代入二次函数解析式即可求出$a$的值；(2) 将求出的$a$代入$y=ax^2$得到二次函数解析式，再根据$y=ax^2$类二次函数的性质直接写出顶点坐标和对称轴；(3) 根据$a$的正负判断二次函数开口方向，结合对称轴即可确定$y$随$x$增大而增大的$x$的取值范围。
【解析】
(1) 把$x=1,y=b$代入$y=2x-3$，得$b=2×1-3=-1$，即两个函数的交点坐标为$(1,-1)$。再把$x=1,y=-1$代入$y=ax^2$，得$-1=a×1^2$，解得$a=-1$。
(2) 由(1)可知$a=-1$，因此二次函数的解析式为$y=-x^2$，根据二次函数$y=ax^2$的性质，其图象的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。
(3) 由于$a=-1＜0$，二次函数$y=-x^2$的图象开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-1$；(2) 解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；(3) 当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
函数交点的坐标特征、二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，主要考察函数交点的应用和$y=ax^2$型二次函数的基本性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征与增减性规律。
【难度系数】
0.8
9.在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=kx^2$（$k$为常数，且$k≠0$）和一次函数$y=kx-2$的图象大致是（
A
B
C
D
C
）A
B
C
D
答案
9.C
解析
【分析】
本题是同参数的二次函数与一次函数图象判断问题，解题思路如下：第一步，明确两个函数的参数k是同一个，因此k的正负对两个函数的图象走向有一致的影响；第二步，先利用一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，排除不符合的选项；第三步，分k＞0和k＜0两种情况，分别结合二次函数开口方向、一次函数斜率的正负，判断选项是否符合一致性，最终确定正确答案。
【解析】
解题时先分析一次函数$y=kx-2$的固定特征：其常数项为$-2$，因此无论$k$取何值，一次函数与$y$轴的交点为$(0,-2)$，即交于$y$轴负半轴，可先排除交点在$y$轴正半轴的选项D。
接下来分两种情况讨论：
1. 若$k＞0$：
二次函数$y=kx^2$开口向上，一次函数$y=kx-2$斜率为正，图象过第一、三、四象限。选项B中一次函数斜率为负，与$k＞0$矛盾，排除B。
2. 若$k＜0$：
二次函数$y=kx^2$开口向下，一次函数$y=kx-2$斜率为负，图象过第二、三、四象限。选项A中一次函数斜率为正，与$k＜0$矛盾，排除A；选项C中二次函数开口向下，一次函数斜率为负且交于$y$轴负半轴，完全符合条件。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=ax²的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，核心是抓住同一参数对不同函数图象的共同约束，结合分类讨论思想和排除法就能快速求解，考查对基本函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题是同参数的二次函数与一次函数图象判断问题，解题思路如下：第一步，明确两个函数的参数k是同一个，因此k的正负对两个函数的图象走向有一致的影响；第二步，先利用一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，排除不符合的选项；第三步，分k＞0和k＜0两种情况，分别结合二次函数开口方向、一次函数斜率的正负，判断选项是否符合一致性，最终确定正确答案。
【解析】
解题时先分析一次函数$y=kx-2$的固定特征：其常数项为$-2$，因此无论$k$取何值，一次函数与$y$轴的交点为$(0,-2)$，即交于$y$轴负半轴，可先排除交点在$y$轴正半轴的选项D。
接下来分两种情况讨论：
1. 若$k＞0$：
二次函数$y=kx^2$开口向上，一次函数$y=kx-2$斜率为正，图象过第一、三、四象限。选项B中一次函数斜率为负，与$k＞0$矛盾，排除B。
2. 若$k＜0$：
二次函数$y=kx^2$开口向下，一次函数$y=kx-2$斜率为负，图象过第二、三、四象限。选项A中一次函数斜率为正，与$k＜0$矛盾，排除A；选项C中二次函数开口向下，一次函数斜率为负且交于$y$轴负半轴，完全符合条件。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=ax²的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，核心是抓住同一参数对不同函数图象的共同约束，结合分类讨论思想和排除法就能快速求解，考查对基本函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在同一平面直角坐标系中,直线$y=2$分别交抛物线$y=x^2(x≥0),y=ax^2(x≥0)$于点A,B,且$AB=1$,则$a$的值为 (
A.0.5
B.1.5
C.$6-4\sqrt{2}$
D.$6+4\sqrt{2}$
C
)A.0.5
B.1.5
C.$6-4\sqrt{2}$
D.$6+4\sqrt{2}$
答案
10.C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先求直线$y=2$与抛物线$y=x^2(x≥0)$的交点A的横坐标，因为交点纵坐标为2，代入解析式即可求解；2. 由$AB=1$，且A、B纵坐标相同，结合图像判断B在A右侧，可得B点的横坐标；3. 将B点坐标代入$y=ax^2$，通过计算和分母有理化即可求出$a$的值。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将$y=2$代入$y=x^2(x≥0)$，得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（$x≥0$，舍去负根），即$A(\sqrt{2},2)$。
2. 求点B的坐标：
因为A、B均在直线$y=2$上，且$AB=1$，结合图像可知B在A右侧，所以B的横坐标为$\sqrt{2}+1$，即$B(\sqrt{2}+1,2)$。
3. 求解$a$的值：
将$B(\sqrt{2}+1,2)$代入$y=ax^2$，得：
$a·(\sqrt{2}+1)^2=2$
计算得$(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$，因此：
$a=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}$
对分母有理化，分子分母同乘$3-2\sqrt{2}$：
$a=\frac{2(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}=6-4\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数点坐标特征，分母有理化
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的核心是利用交点纵坐标相同求出两点横坐标的关系，代入解析式计算时注意分母有理化的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先求直线$y=2$与抛物线$y=x^2(x≥0)$的交点A的横坐标，因为交点纵坐标为2，代入解析式即可求解；2. 由$AB=1$，且A、B纵坐标相同，结合图像判断B在A右侧，可得B点的横坐标；3. 将B点坐标代入$y=ax^2$，通过计算和分母有理化即可求出$a$的值。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将$y=2$代入$y=x^2(x≥0)$，得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（$x≥0$，舍去负根），即$A(\sqrt{2},2)$。
2. 求点B的坐标：
因为A、B均在直线$y=2$上，且$AB=1$，结合图像可知B在A右侧，所以B的横坐标为$\sqrt{2}+1$，即$B(\sqrt{2}+1,2)$。
3. 求解$a$的值：
将$B(\sqrt{2}+1,2)$代入$y=ax^2$，得：
$a·(\sqrt{2}+1)^2=2$
计算得$(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$，因此：
$a=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}$
对分母有理化，分子分母同乘$3-2\sqrt{2}$：
$a=\frac{2(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}=6-4\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数点坐标特征，分母有理化
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的核心是利用交点纵坐标相同求出两点横坐标的关系，代入解析式计算时注意分母有理化的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.65
11.若$y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的值为
-2
。答案
11.$-2$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的定义和增减性两个条件逐步推导：第一步，根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出方程和不等式求出m的初步取值；第二步，结合“当x＞0时，y随x的增大而减小”的性质，可知二次函数开口向下，即二次项系数小于0，对初步得到的m值进行筛选，最终得到符合条件的m值。
【解析】
解：
∵ $y=(m+1)x^{m^2+m}$ 是二次函数
∴ 需满足以下条件：
1. 自变量的最高次数为2，可得方程：
$m^2 + m = 2$
整理得 $m^2 + m - 2 = 0$，因式分解为 $(m+2)(m-1)=0$
解得 $m=-2$ 或 $m=1$
2. 二次项系数不为0，即 $m+1≠0$，解得 $m≠-1$，上述两个解均满足该要求。
又
∵ 当$x＞0$时，y随x的增大而减小，说明二次函数开口向下，二次项系数小于0
∴ $m+1 ＜ 0$，解得 $m ＜ -1$
对比两个解，只有$m=-2$满足$m ＜ -1$的要求。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础概念应用题，解题时需注意同时满足二次函数的定义条件和增减性对应的系数符号要求，避免因忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合二次函数的定义和增减性两个条件逐步推导：第一步，根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出方程和不等式求出m的初步取值；第二步，结合“当x＞0时，y随x的增大而减小”的性质，可知二次函数开口向下，即二次项系数小于0，对初步得到的m值进行筛选，最终得到符合条件的m值。
【解析】
解：
∵ $y=(m+1)x^{m^2+m}$ 是二次函数
∴ 需满足以下条件：
1. 自变量的最高次数为2，可得方程：
$m^2 + m = 2$
整理得 $m^2 + m - 2 = 0$，因式分解为 $(m+2)(m-1)=0$
解得 $m=-2$ 或 $m=1$
2. 二次项系数不为0，即 $m+1≠0$，解得 $m≠-1$，上述两个解均满足该要求。
又
∵ 当$x＞0$时，y随x的增大而减小，说明二次函数开口向下，二次项系数小于0
∴ $m+1 ＜ 0$，解得 $m ＜ -1$
对比两个解，只有$m=-2$满足$m ＜ -1$的要求。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础概念应用题，解题时需注意同时满足二次函数的定义条件和增减性对应的系数符号要求，避免因忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
12.如图，直线$ l $经过$ A(4,0) $和$ B(0,4) $两点，它与抛物线$ y=ax^2 $在第一象限内相交于点$ P $，$ △ AOP $的面积为4，则$ a $的值为
$\dfrac{1}{2}$
。答案
12.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时按以下思路推进：1. 已知直线过A、B两点，用待定系数法先求出直线l的函数解析式；2. △AOP的底OA长度已知，结合面积可求出点P的纵坐标；3. 将P点纵坐标代入直线解析式，求出P点横坐标，得到P点完整坐标；4. 把P点坐标代入抛物线解析式，即可求出a的值。
【解析】
1. 求直线l的解析式：
设直线l的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入解析式：
当$x=0$时，$y=4$，得$b=4$；
将$A(4,0)$、$b=4$代入得$0=4k+4$，解得$k=-1$，
因此直线l的解析式为$y=-x+4$。
2. 求点P的纵坐标：
已知$OA=4$，设点P的纵坐标为$y_P$，由$△ AOP$的面积为4得：
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× y_P=4$，
代入$OA=4$，得$\frac{1}{2}×4× y_P=4$，解得$y_P=2$。
3. 求点P的横坐标：
因为点P在直线l上，将$y=2$代入$y=-x+4$：
$2=-x+4$，解得$x=2$，即点P的坐标为$(2,2)$。
4. 求a的值：
因为点P在抛物线$y=ax^2$上，将$P(2,2)$代入得：
$2=a×2^2$，即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数解析式求解；三角形面积计算；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题核心是先通过已知条件求得抛物线与直线的交点坐标，再利用函数图象上的点满足对应函数解析式求解参数，考察对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时按以下思路推进：1. 已知直线过A、B两点，用待定系数法先求出直线l的函数解析式；2. △AOP的底OA长度已知，结合面积可求出点P的纵坐标；3. 将P点纵坐标代入直线解析式，求出P点横坐标，得到P点完整坐标；4. 把P点坐标代入抛物线解析式，即可求出a的值。
【解析】
1. 求直线l的解析式：
设直线l的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入解析式：
当$x=0$时，$y=4$，得$b=4$；
将$A(4,0)$、$b=4$代入得$0=4k+4$，解得$k=-1$，
因此直线l的解析式为$y=-x+4$。
2. 求点P的纵坐标：
已知$OA=4$，设点P的纵坐标为$y_P$，由$△ AOP$的面积为4得：
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× y_P=4$，
代入$OA=4$，得$\frac{1}{2}×4× y_P=4$，解得$y_P=2$。
3. 求点P的横坐标：
因为点P在直线l上，将$y=2$代入$y=-x+4$：
$2=-x+4$，解得$x=2$，即点P的坐标为$(2,2)$。
4. 求a的值：
因为点P在抛物线$y=ax^2$上，将$P(2,2)$代入得：
$2=a×2^2$，即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数解析式求解；三角形面积计算；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题核心是先通过已知条件求得抛物线与直线的交点坐标，再利用函数图象上的点满足对应函数解析式求解参数，考察对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 在平面直角坐标系中,已知点$A(-1,1)$,$B(2,1)$.若抛物线$y=ax^2(a≠0)$与线段AB有公共点,则a的取值范围是
$a≥\dfrac{1}{4}$
.答案
13.$a≥\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】解题时首先观察点A、B的坐标特征，可得出线段AB是y=1，x∈[-1,2]的水平线段。要判断抛物线$y=ax^2$与线段AB有公共点，可转化为方程$ax^2=1$在$-1≤ x≤2$范围内有实数解。首先排除$a＜0$的情况：$a＜0$时抛物线开口向下，函数最大值为0，不可能等于1，因此a必须为正。再将方程变形为$x^2=\frac{1}{a}$，结合x在[-1,2]时$x^2$的取值范围，即可列出不等式求出a的取值范围。
【解析】
1. 确定线段AB的解析式与自变量范围：
∵点$A(-1,1)$、$B(2,1)$的纵坐标均为1，
∴线段AB对应的函数为$y=1$，自变量$x$的取值范围是$-1≤ x≤2$。
2. 联立方程分析解的存在性：
将$y=1$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得$ax^2=1$，即$x^2=\frac{1}{a}$。
3. 分析a的符号：
若$a＜0$，抛物线$y=ax^2$开口向下，函数最大值为0，无法满足$ax^2=1$，因此$a＞0$。
4. 结合x的范围列不等式求解：
∵$-1≤ x≤2$，
∴$0≤ x^2≤4$。
要使$x^2=\frac{1}{a}$有解，需满足$0＜\frac{1}{a}≤4$，
两边同乘正数a，得$1≤4a$，解得$a≥\frac{1}{4}$。
【答案】$a≥\dfrac{1}{4}$
【知识点】二次函数y=ax²的性质；函数交点问题；不等式求解
【点评】本题解题的核心是将图象交点问题转化为方程在给定区间有解的问题，要注意先根据二次函数的开口方向排除不符合条件的a的符号，再结合自变量的取值范围列不等式，避免出现取值范围颠倒的错误。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 确定线段AB的解析式与自变量范围：
∵点$A(-1,1)$、$B(2,1)$的纵坐标均为1，
∴线段AB对应的函数为$y=1$，自变量$x$的取值范围是$-1≤ x≤2$。
2. 联立方程分析解的存在性：
将$y=1$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得$ax^2=1$，即$x^2=\frac{1}{a}$。
3. 分析a的符号：
若$a＜0$，抛物线$y=ax^2$开口向下，函数最大值为0，无法满足$ax^2=1$，因此$a＞0$。
4. 结合x的范围列不等式求解：
∵$-1≤ x≤2$，
∴$0≤ x^2≤4$。
要使$x^2=\frac{1}{a}$有解，需满足$0＜\frac{1}{a}≤4$，
两边同乘正数a，得$1≤4a$，解得$a≥\frac{1}{4}$。
【答案】$a≥\dfrac{1}{4}$
【知识点】二次函数y=ax²的性质；函数交点问题；不等式求解
【点评】本题解题的核心是将图象交点问题转化为方程在给定区间有解的问题，要注意先根据二次函数的开口方向排除不符合条件的a的符号，再结合自变量的取值范围列不等式，避免出现取值范围颠倒的错误。
【难度系数】0.6
14.已知点$A(3,5),B(0,1)$.若点$M$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上运动,则$AM+BM$的最小值为
6
.答案
14.6
解析
【分析】
要求AM+BM的最小值，我们可以先设出抛物线上点M的坐标，先对BM的长度表达式进行化简，寻找简化思路。首先设M(x, $\frac{1}{4}x^2$)，根据两点间距离公式写出BM的表达式，化简后可发现BM等于点M到直线y=-1的距离，由此可将AM+BM转化为AM加上M到直线y=-1的距离，再根据垂线段最短的性质，即可求出最小值。
【解析】
解：设抛物线上动点M的坐标为$(x, \frac{1}{4}x^2)$
1. 化简BM的长度：
根据两点间距离公式：
$BM=\sqrt{(x-0)^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2}$
展开根号内的整式：
$\begin{aligned}x^2 + (\frac{1}{4}x^2 -1)^2 &= x^2 + \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1 \\&= \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1 \\&= (\frac{1}{4}x^2 + 1)^2\end{aligned}$
因为线段长度为非负数，所以$BM=\sqrt{(\frac{1}{4}x^2 +1)^2} = \frac{1}{4}x^2 + 1$，即BM等于点M到直线$y=-1$的距离。
2. 求AM+BM的最小值：
过M作直线$y=-1$的垂线，垂足为N，则$BM=MN$，因此$AM+BM=AM+MN$。
根据垂线段最短的性质，当A、M、N三点共线且AN垂直于直线$y=-1$时，$AM+MN$的长度最小，最小值就是点A到直线$y=-1$的垂线段长度。
3. 计算最小值：
点A坐标为$(3,5)$，到直线$y=-1$的距离为$5 - (-1) =6$。
【答案】
6
【知识点】
两点间距离公式，二次函数性质，最短路径问题
【点评】
本题将二次函数与最短路径问题结合，解题核心是通过代数运算将折线段BM转化为点到直线的距离，把陌生的折线段和最小值问题转化为熟悉的垂线段最短问题，考查了代数化简能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要求AM+BM的最小值，我们可以先设出抛物线上点M的坐标，先对BM的长度表达式进行化简，寻找简化思路。首先设M(x, $\frac{1}{4}x^2$)，根据两点间距离公式写出BM的表达式，化简后可发现BM等于点M到直线y=-1的距离，由此可将AM+BM转化为AM加上M到直线y=-1的距离，再根据垂线段最短的性质，即可求出最小值。
【解析】
解：设抛物线上动点M的坐标为$(x, \frac{1}{4}x^2)$
1. 化简BM的长度：
根据两点间距离公式：
$BM=\sqrt{(x-0)^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2}$
展开根号内的整式：
$\begin{aligned}x^2 + (\frac{1}{4}x^2 -1)^2 &= x^2 + \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1 \\&= \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1 \\&= (\frac{1}{4}x^2 + 1)^2\end{aligned}$
因为线段长度为非负数，所以$BM=\sqrt{(\frac{1}{4}x^2 +1)^2} = \frac{1}{4}x^2 + 1$，即BM等于点M到直线$y=-1$的距离。
2. 求AM+BM的最小值：
过M作直线$y=-1$的垂线，垂足为N，则$BM=MN$，因此$AM+BM=AM+MN$。
根据垂线段最短的性质，当A、M、N三点共线且AN垂直于直线$y=-1$时，$AM+MN$的长度最小，最小值就是点A到直线$y=-1$的垂线段长度。
3. 计算最小值：
点A坐标为$(3,5)$，到直线$y=-1$的距离为$5 - (-1) =6$。
【答案】
6
【知识点】
两点间距离公式，二次函数性质，最短路径问题
【点评】
本题将二次函数与最短路径问题结合，解题核心是通过代数运算将折线段BM转化为点到直线的距离，把陌生的折线段和最小值问题转化为熟悉的垂线段最短问题，考查了代数化简能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，D在二次函数$y=x^2$的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧。设点B，D的横坐标分别为m，n，判断$n-m$是不是定值，并说明理由。
答案
15.【解】$n-m$ 是定值. 理由如下:
如图,过点 $B$ 作 $BF⊥ y$ 轴,垂足为 $F$,过点 $D$作 $DE⊥ y$ 轴,垂足为 $E$.
$\because$ 点 $B,D$ 的横坐标分别为 $m,n$,正方形 $ABCD$ 的顶点$B,D$ 都在二次函数 $y=x^2$ 的图象上,
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$.
$\therefore BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$.
$\because BF⊥ y$ 轴,$DE⊥ y$ 轴,
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$.
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$.
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$.
$\therefore BF=AE,AF=DE$.
$\therefore AF=n$.
$\therefore m=n^2-n-m^2$.
$\therefore m+n=(n-m)(n+m)$.
$\because$ 点 $B,D$ 在 $y$ 轴的同侧,
$\therefore m+n≠0$.
$\therefore n-m=1$,$n-m$ 是定值.
解析
【分析】
解决本题可采用“一线三等角”的全等模型思路：第一步，根据二次函数图象上点的坐标特征，用横坐标m、n分别表示出点B、D的纵坐标，得到两点完整坐标；第二步，过B、D作y轴的垂线构造两个直角三角形，结合正方形邻边相等、内角为90°的性质，证明两个直角三角形全等；第三步，根据全等三角形对应边相等，列出线段的等量关系，整理得到关于m、n的等式；第四步，结合点B、D在y轴同侧的条件，可知m与n同号即m+n≠0，对等式变形即可得到n-m的值，判断其是否为定值。
【解析】
过点$B$作$BF⊥ y$轴，垂足为$F$，过点$D$作$DE⊥ y$轴，垂足为$E$。
$\because$ 点 $B,D$ 的横坐标分别为 $m,n$，且$B,D$ 都在二次函数 $y=x^2$ 的图象上，
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$，
$\therefore BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$。
$\because BF⊥ y$ 轴，$DE⊥ y$ 轴，
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$，
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠AFB=∠DEA \\∠FAB=∠EDA \\AB=DA\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BF=AE,AF=DE$，即$AE=m,AF=n$。
又$\because OA=OE-AE=n^2-m$，且$OA=AF+OF=n+m^2$，
$\therefore n^2-m=n+m^2$，
整理得$n^2-m^2=n+m$，即$m+n=(n-m)(n+m)$。
$\because$ 点 $B,D$ 在 $y$ 轴的同侧，$\therefore m$、$n$同号，$m+n≠0$，
等式两边同时除以$m+n$得$n-m=1$。
【答案】
$n-m$是定值，定值为1。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将点的坐标转化为线段长度，利用线段的等量关系推导结论，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题可采用“一线三等角”的全等模型思路：第一步，根据二次函数图象上点的坐标特征，用横坐标m、n分别表示出点B、D的纵坐标，得到两点完整坐标；第二步，过B、D作y轴的垂线构造两个直角三角形，结合正方形邻边相等、内角为90°的性质，证明两个直角三角形全等；第三步，根据全等三角形对应边相等，列出线段的等量关系，整理得到关于m、n的等式；第四步，结合点B、D在y轴同侧的条件，可知m与n同号即m+n≠0，对等式变形即可得到n-m的值，判断其是否为定值。
【解析】
过点$B$作$BF⊥ y$轴，垂足为$F$，过点$D$作$DE⊥ y$轴，垂足为$E$。
$\because$ 点 $B,D$ 的横坐标分别为 $m,n$，且$B,D$ 都在二次函数 $y=x^2$ 的图象上，
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$，
$\therefore BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$。
$\because BF⊥ y$ 轴，$DE⊥ y$ 轴，
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$，
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠AFB=∠DEA \\∠FAB=∠EDA \\AB=DA\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BF=AE,AF=DE$，即$AE=m,AF=n$。
又$\because OA=OE-AE=n^2-m$，且$OA=AF+OF=n+m^2$，
$\therefore n^2-m=n+m^2$，
整理得$n^2-m^2=n+m$，即$m+n=(n-m)(n+m)$。
$\because$ 点 $B,D$ 在 $y$ 轴的同侧，$\therefore m$、$n$同号，$m+n≠0$，
等式两边同时除以$m+n$得$n-m=1$。
【答案】
$n-m$是定值，定值为1。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将点的坐标转化为线段长度，利用线段的等量关系推导结论，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
