3.若抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2$ 经过 $A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$两点，则下列关系式一定正确的是（）

A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞0$
D.$y_2＞y_1＞0$

3.C

【分析】
本题有两种常用解题思路：方法一：直接将A、B两点的横坐标代入抛物线解析式，分别计算出$y_1$和$y_2$的具体数值，再比较大小即可得出结论；方法二：利用二次函数$y=ax^2$的性质分析：首先由$a=\frac{1}{3}＞0$可知抛物线开口向上，顶点在原点，因此x≠0时函数值均大于0，可先排除含y＜0的选项；再结合抛物线关于y轴对称的性质，将点$A(-2,y_1)$转化为对称点$(2,y_1)$，最后根据x＞0时y随x增大而增大的规律，比较x=2和x=1对应的函数值大小即可。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将$A(-2,y_1)$代入$y=\frac{1}{3}x^2$得：$y_1=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
将$B(1,y_2)$代入$y=\frac{1}{3}x^2$得：$y_2=\frac{1}{3}×1^2=\frac{1}{3}$
∵$\frac{4}{3}＞\frac{1}{3}＞0$，
∴$y_1＞y_2＞0$，故选C。
方法二（性质分析法）：
∵抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$中$a=\frac{1}{3}＞0$，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，当x≠0时，$y＞0$，因此$y_1＞0$，$y_2＞0$，排除A、B选项；
又
∵抛物线$y=ax^2$关于y轴对称，
∴点$A(-2,y_1)$关于y轴的对称点$(2,y_1)$也在抛物线上，
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，且$2＞1$，
∴$y_1＞y_2$，
综上$y_1＞y_2＞0$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数基础考点的常规考查题，既可以通过直接代入计算快速得到结果，也可以利用函数的开口方向、对称性、增减性进行推导判断，掌握二次函数基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

1. 二次函数$y=-2x^2$的图象大致是（）

1.D

【分析】
解题时可按照“先判断开口方向，再逐步排除错误选项”的思路思考：第一步先根据二次项系数a的正负判断抛物线开口方向，a为负则开口向下，先排除开口向上的选项；第二步结合二次函数的图像特征和函数的对应关系，排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=ax^2$中，二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，可直接排除开口向上的A、B选项；
2. 分析剩余选项：函数的定义要求每一个自变量$x$对应唯一的函数值$y$，选项C的图像中一个$x$值对应两个$y$值，不符合函数的对应关系，且$y=-2x^2$的图像关于$y$轴对称，$x$可取全体实数，C仅在$x≥0$区域有图像，不符合要求，排除C；
3. 验证选项D：D的图像开口向下，顶点在原点，关于y轴对称，符合$y=-2x^2$的图像特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质、函数的定义
【点评】
本题是二次函数图像的基础考查题，解题核心是掌握二次项系数对抛物线开口方向的影响，结合函数的基本特征排除错项即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2.若二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象经过点$P(2,4)$，则该图象必过点 （）

A.$(-2,-4)$
B.$(-2,4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$

2.B

【分析】
解题可采用两种思路：思路1：先将已知点P的坐标代入二次函数解析式求出a的值，确定函数的具体表达式，再分别将各选项中点的横坐标代入解析式，计算对应纵坐标，和选项给出的纵坐标对比，一致则该点在图象上。思路2：二次函数$y=ax^2$的图象是关于y轴对称的抛物线，若点$(x,y)$在图象上，那么它关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上，直接找$P(2,4)$关于y轴的对称点即可快速得到答案。
【解析】
解法一：
∵二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(2,4)$
∴将$x=2$，$y=4$代入解析式得：$4=a· 2^2$
解得$a=1$，即二次函数解析式为$y=x^2$
逐一验证选项：
A.当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，该点不在图象上；
B.当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$，该点在图象上；
C.当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，该点不在图象上；
D.当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，该点不在图象上。
解法二：
二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，图象上关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数。已知点$P(2,4)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-2,4)$也一定在图象上。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的性质
2.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，两种解题方法中，利用二次函数图象的对称性解题更为便捷，掌握函数图象的性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

3.嘉嘉用软件绘制抛物线$y=2x^2$时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（）

A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.顶点坐标

3.B

【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的各项性质与参数$a$的关系，再分别对比原抛物线$y=2x^2$和错误得到的$y=3x^2$的各项特征即可：①开口方向由$a$的正负决定，②开口大小由$|a|$的大小决定，③对称轴固定为$y$轴（$x=0$），④顶点固定为原点$(0,0)$。我们只需逐一验证四个选项是否变化，就能得到答案。
【解析】
原抛物线解析式为$y=2x^2$，输入错误后得到的抛物线解析式为$y=3x^2$，逐一分析选项：
A. 开口方向由$a$的符号决定，两个函数的$a$分别为2、3，均为正数，开口都向上，开口方向不变，不符合题意；
B. 开口大小由$|a|$的大小决定，$|a|$越大开口越小，这里$|2|≠|3|$，因此开口大小发生改变，符合题意；
C. 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），对称轴不变，不符合题意；
D. 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点坐标均为$(0,0)$，顶点坐标不变，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 开口方向的判断
3. 开口大小的影响因素
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，核心是明确参数$a$对$y=ax^2$图象的影响，属于基础题，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

4.已知3个二次函数的图象如图所示，那么$a_1,a_2,a_3$的大小关系是 （）

A.$a_2＜a_3＜a_1$
B.$a_3＜a_1＜a_2$
C.$a_1＜a_3＜a_2$
D.$a_3＜a_2＜a_1$

4.D

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$中二次项系数$a$的作用：1. 开口方向由$a$的符号决定：开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$，据此先判断三个系数的正负，确定最大值；2. 开口宽窄由$|a|$决定：$|a|$越大，抛物线开口越窄，据此比较两个开口向下的函数的$a$的绝对值大小，再结合负数比较大小的规则（绝对值大的负数更小），就能得出三个系数的大小关系。
【解析】
第一步：判断$a$的符号：
观察图象可知，$y_1=a_1x^2$的开口向上，因此$a_1＞0$；$y_2=a_2x^2$、$y_3=a_3x^2$的开口向下，因此$a_2＜0$，$a_3＜0$，由此可得$a_1$是三个数中最大的。
第二步：比较$a_2$和$a_3$的大小：
对于二次函数$y=ax^2$，$|a|$越大，抛物线的开口越窄。观察图象可得，$y_3=a_3x^2$的开口比$y_2=a_2x^2$更窄，因此$|a_3|＞|a_2|$。
因为$a_2$、$a_3$均为负数，负数的绝对值越大，数本身越小，因此$a_3＜a_2$。
第三步：整合大小关系：
结合以上结论可得：$a_3＜a_2＜a_1$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，二次项系数的意义，有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心考查二次项系数$a$对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.若点$P(t, y_1)$，$Q(t+2, y_2)$在抛物线$y=-x^2$上，则下列说法错误的是（）

A.若$t=-1$，则$y_1=y_2$
B.若$y_1=y_2$，则$t=-1$
C.若$t≥0$，则$y_1＞y_2$
D.若$y_1＞y_2$，则$t≥0$

5.D

【分析】
首先回忆抛物线$y=-x^2$的基本性质：开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$）时$y$随$x$增大而增大，在对称轴右侧（$x＞0$）时$y$随$x$增大而减小，且函数值相等的两个点关于对称轴对称。解题时逐个分析选项，代入条件结合上述性质判断正误即可。
【解析】
已知抛物线$y=-x^2$开口向下，对称轴为直线$x=0$。
选项A：当$t=-1$时，点$P$横坐标为$-1$，$y_1=-(-1)^2=-1$；点$Q$横坐标为$-1+2=1$，$y_2=-1^2=-1$，故$y_1=y_2$，A说法正确，不符合题意。
选项B：若$y_1=y_2$，说明$P、Q$关于对称轴$x=0$对称，两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{t+(t+2)}{2}=0$，解得$t=-1$，B说法正确，不符合题意。
选项C：若$t≥0$，则$P、Q$横坐标都满足$t≥0$，$t+2≥2$，均在对称轴右侧，右侧$y$随$x$增大而减小，且$t＜t+2$，故$y_1＞y_2$，C说法正确，不符合题意。
选项D：若$y_1＞y_2$，说明$P$到对称轴的距离小于$Q$到对称轴的距离，即$|t|＜|t+2|$，两边平方得$t^2＜t^2+4t+4$，化简得$t＞-1$。比如$t=-0.5$时，$t＞-1$，此时$y_1=-(-0.5)^2=-0.25$，$y_2=-(1.5)^2=-2.25$，满足$y_1＞y_2$，但$t=-0.5＜0$，故“$y_1＞y_2$则$t≥0$”的说法错误，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数$y=-x^2$的核心性质设题，解题时既可以代入数值验证，也可以利用对称性、增减性推导，需要注意推导取值范围时不要漏解。
【难度系数】
0.7

6. 若函数$y=2026x^2$的图象上有两个不同的点$P(t_{1},\dfrac{1}{2}),Q(t_{2},\dfrac{1}{2})$，则$t_{1}+t_{2}=$。

6.0

【分析】
首先观察到点P、Q的纵坐标相同，均为$\frac{1}{2}$，说明两点在同一条水平直线上。回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：其图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$），抛物线上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，因此这两个点的横坐标互为相反数，相加即可得到结果。也可以将两点坐标代入函数解析式，通过解方程推导$t_1$和$t_2$的关系求解。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
函数$y=2026x^2$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（y轴）。
因为点$P(t_1,\frac{1}{2})$和$Q(t_2,\frac{1}{2})$纵坐标相同，且是抛物线上不同的点，所以P、Q关于对称轴$x=0$对称，因此横坐标互为相反数，即$t_1=-t_2$，所以$t_1+t_2=0$。
方法二（代入法求解）：
将点P、Q的坐标分别代入函数解析式得：
$\frac{1}{2}=2026t_1^2$，$\frac{1}{2}=2026t_2^2$
所以$t_1^2=t_2^2$，即$t_1=\pm t_2$。
因为P、Q是不同的点，所以$t_1≠t_2$，因此$t_1=-t_2$，故$t_1+t_2=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，既可以通过对称性快速得出结论，也可以通过代入坐标列方程求解，解题关键是掌握二次函数$y=ax^2$的对称轴特征，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

7. 正方形ABCD的边长为4，以正方形的中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，作出函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象，则阴影部分的面积和是。

7.8

【分析】
解题时先观察图象特征：函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，正方形ABCD也关于x轴对称。我们可以利用轴对称的性质，用割补法转化不规则阴影的面积：把x轴下方的阴影部分沿x轴翻折，刚好可以填充x轴上方两条抛物线之间的空白区域，此时所有阴影部分的总面积就等于正方形面积的一半，不需要分别计算各块阴影的面积，简化计算过程。
【解析】
解：$\because$ 二次函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，正方形ABCD也关于x轴对称，
$\therefore$ 将x轴下方的阴影部分沿x轴翻折后，可完全填充x轴上方两条抛物线之间的空白区域，此时阴影部分的总面积等于正方形ABCD面积的$\frac{1}{2}$。
已知正方形ABCD的边长为4，其面积为$4×4=16$，
因此阴影部分的面积和为$16×\frac{1}{2}=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的对称性；割补法求面积；轴对称的性质
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题型，解题核心是利用函数图象和图形的对称性，将分散的不规则阴影拼接为规则图形，大大降低计算量，避免了复杂的面积推导。
【难度系数】
0.7