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2. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系.
(1)当菱形的面积为20时,其中一条对角线的长$y$与另一条对角线的长$x$之间的关系.
(2)当功是50 J时,力$F$(单位:N)与物体在力的方向上移动的距离$s$(单位:m)之间的关系.
(3)密铺地面,需要铺的地面面积为$a\ \mathrm{m}^2$,$a$为定值,$a＞0$,所需的地砖数量$y$(单位:块)与正方形地砖的面积$x$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间的关系.
(1)当菱形的面积为20时,其中一条对角线的长$y$与另一条对角线的长$x$之间的关系.
(2)当功是50 J时,力$F$(单位:N)与物体在力的方向上移动的距离$s$(单位:m)之间的关系.
(3)密铺地面,需要铺的地面面积为$a\ \mathrm{m}^2$,$a$为定值,$a＞0$,所需的地砖数量$y$(单位:块)与正方形地砖的面积$x$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间的关系.
答案
(1)因为$\frac{1}{2}xy=20$,所以$y=\frac{40}{x}$.
(2)因为$Fs=50$,所以$F=\frac{50}{s}$.
(3)因为$xy=a,a＞0$,所以$y=\frac{a}{x}(a＞0)$.
(2)因为$Fs=50$,所以$F=\frac{50}{s}$.
(3)因为$xy=a,a＞0$,所以$y=\frac{a}{x}(a＞0)$.
解析
【分析】
解决这类问题的核心是先找到对应情境中的等量关系，再将已知的定值代入等量关系，最后通过变形整理为用含自变量的式子表示函数的形式即可，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义。具体思路：(1)调用菱形面积公式，利用面积为定值建立等式；(2)调用功的计算公式，利用功为定值建立等式；(3)根据总铺地面积=单块地砖面积×地砖数量，利用总地面面积为定值建立等式。
【解析】
(1) 根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}xy$，已知菱形面积$S=20$，代入得$\frac{1}{2}xy=20$，等式两边同时乘2得$xy=40$，变形即可得到$y$关于$x$的解析式。
(2) 根据功的计算公式$W=Fs$，已知功$W=50\mathrm{J}$，代入得$Fs=50$，变形即可得到$F$关于$s$的解析式。
(3) 根据总铺地面积的等量关系：总地面面积=单块地砖面积×地砖数量，已知总地面面积为定值$a(a＞0)$，代入得$xy=a$，变形即可得到$y$关于$x$的解析式。
【答案】
(1)因为$\frac{1}{2}xy=20$,所以$y=\frac{40}{x}$.
(2)因为$Fs=50$,所以$F=\frac{50}{s}$.
(3)因为$xy=a,a＞0$,所以$y=\frac{a}{x}(a＞0)$.
【知识点】
反比例函数解析式，菱形面积计算，功的计算公式
【点评】
本题属于基础的实际问题列函数解析式题型，解题关键是熟练掌握不同场景下的等量关系，变形整理时注意区分自变量和因变量，同时不要忽略实际问题中自变量的取值限制。
【难度系数】
0.9
解决这类问题的核心是先找到对应情境中的等量关系，再将已知的定值代入等量关系，最后通过变形整理为用含自变量的式子表示函数的形式即可，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义。具体思路：(1)调用菱形面积公式，利用面积为定值建立等式；(2)调用功的计算公式，利用功为定值建立等式；(3)根据总铺地面积=单块地砖面积×地砖数量，利用总地面面积为定值建立等式。
【解析】
(1) 根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}xy$，已知菱形面积$S=20$，代入得$\frac{1}{2}xy=20$，等式两边同时乘2得$xy=40$，变形即可得到$y$关于$x$的解析式。
(2) 根据功的计算公式$W=Fs$，已知功$W=50\mathrm{J}$，代入得$Fs=50$，变形即可得到$F$关于$s$的解析式。
(3) 根据总铺地面积的等量关系：总地面面积=单块地砖面积×地砖数量，已知总地面面积为定值$a(a＞0)$，代入得$xy=a$，变形即可得到$y$关于$x$的解析式。
【答案】
(1)因为$\frac{1}{2}xy=20$,所以$y=\frac{40}{x}$.
(2)因为$Fs=50$,所以$F=\frac{50}{s}$.
(3)因为$xy=a,a＞0$,所以$y=\frac{a}{x}(a＞0)$.
【知识点】
反比例函数解析式，菱形面积计算，功的计算公式
【点评】
本题属于基础的实际问题列函数解析式题型，解题关键是熟练掌握不同场景下的等量关系，变形整理时注意区分自变量和因变量，同时不要忽略实际问题中自变量的取值限制。
【难度系数】
0.9
【典型例题3】已知y是2x的反比例函数，并且当$x=2$时，$y=3$.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=5$时，求$y$的值.
【解】(1)设$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$.
$\because$当$x=2$时，$y=3$,
$\therefore 3=\frac{k}{2×2}$.
解得$k=12$.
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)把$x=5$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{5}=1.2$.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=5$时，求$y$的值.
【解】(1)设$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$.
$\because$当$x=2$时，$y=3$,
$\therefore 3=\frac{k}{2×2}$.
解得$k=12$.
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)把$x=5$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{5}=1.2$.
答案
解：
(1) 设$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$。
∵ 当$x=2$时，$y=3$，
∴ $3=\frac{k}{2×2}$，
解得 $k=12$。
∴ $y=\frac{12}{2x}=\frac{6}{x}$，
即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$y=\frac{6}{5}=1.2$。
(1) 设$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$。
∵ 当$x=2$时，$y=3$，
∴ $3=\frac{k}{2×2}$，
解得 $k=12$。
∴ $y=\frac{12}{2x}=\frac{6}{x}$，
即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$y=\frac{6}{5}=1.2$。
解析
【分析】
这是一道反比例函数的基础应用题，解题思路清晰：
① 求解第(1)问：首先明确反比例函数的形式：若A是B的反比例函数，则可设$A=\frac{k}{B}(k≠0)$。本题中y是2x的反比例函数，因此将2x看作整体，设解析式为$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$；再将已知的x=2、y=3代入解析式，得到关于k的一元一次方程，求解得出k的值，最后化简即可得到y关于x的函数解析式。
② 求解第(2)问：已知函数解析式，求x=5对应的y值，只需将x=5代入第(1)问求出的解析式，直接计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$。
∵ 当$x=2$时，$y=3$，
∴ $3=\frac{k}{2×2}$，
解得 $k=12$。
∴ $y=\frac{12}{2x}=\frac{6}{x}$，
即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$y=\frac{6}{5}=1.2$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) $y=\frac{6}{5}$(或1.2)
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的应用，解题时要注意题中说明的是y关于2x的反比例函数，不要误设为y直接关于x的反比例函数导致出错，掌握基础概念和方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
这是一道反比例函数的基础应用题，解题思路清晰：
① 求解第(1)问：首先明确反比例函数的形式：若A是B的反比例函数，则可设$A=\frac{k}{B}(k≠0)$。本题中y是2x的反比例函数，因此将2x看作整体，设解析式为$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$；再将已知的x=2、y=3代入解析式，得到关于k的一元一次方程，求解得出k的值，最后化简即可得到y关于x的函数解析式。
② 求解第(2)问：已知函数解析式，求x=5对应的y值，只需将x=5代入第(1)问求出的解析式，直接计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y=\frac{k}{2x}(k≠0)$。
∵ 当$x=2$时，$y=3$，
∴ $3=\frac{k}{2×2}$，
解得 $k=12$。
∴ $y=\frac{12}{2x}=\frac{6}{x}$，
即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$y=\frac{6}{5}=1.2$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) $y=\frac{6}{5}$(或1.2)
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的应用，解题时要注意题中说明的是y关于2x的反比例函数，不要误设为y直接关于x的反比例函数导致出错，掌握基础概念和方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
3. 已知y是x的反比例函数，并且当$x=3$时，$y=4$，则当$x=4$时，y的值为
3
.答案
3
解析
【分析】首先回忆反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），解题时先利用已知的$ x、y $对应值求出常数$ k $，确定反比例函数的解析式，再将$ x=4 $代入解析式，即可求出对应的$ y $值。
【解析】
1. 设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $）。
2. 将$ x=3 $，$ y=4 $代入解析式，可得$ 4=\frac{k}{3} $，解得$ k=3×4=12 $，因此反比例函数解析式为$ y=\frac{12}{x} $。
3. 将$ x=4 $代入$ y=\frac{12}{x} $，得$ y=\frac{12}{4}=3 $。
【答案】3
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】本题属于基础题，主要考查待定系数法求反比例函数解析式，以及代入自变量求对应函数值的方法，掌握反比例函数的基本形式就能顺利解题。
【难度系数】0.9
【解析】
1. 设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $）。
2. 将$ x=3 $，$ y=4 $代入解析式，可得$ 4=\frac{k}{3} $，解得$ k=3×4=12 $，因此反比例函数解析式为$ y=\frac{12}{x} $。
3. 将$ x=4 $代入$ y=\frac{12}{x} $，得$ y=\frac{12}{4}=3 $。
【答案】3
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】本题属于基础题，主要考查待定系数法求反比例函数解析式，以及代入自变量求对应函数值的方法，掌握反比例函数的基本形式就能顺利解题。
【难度系数】0.9
1. 下列函数解析式中，y 不是 x 的反比例函数的是（
A.$y=\frac{5}{x}$
B.$y=\frac{x}{3}$
C.$y=\frac{1}{2x}$
D.$xy=3$
B
）A.$y=\frac{5}{x}$
B.$y=\frac{x}{3}$
C.$y=\frac{1}{2x}$
D.$xy=3$
答案
B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确反比例函数的定义及常见表达形式：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），另外还有两种常见变形：①$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。解题时只需将四个选项的解析式分别和反比例函数的三种形式对照，判断是否符合，找出不符合的选项即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，我们逐个分析选项：
A选项：$y=\frac{5}{x}$，符合反比例函数的一般形式，其中$k=5\ne0$，是反比例函数；
B选项：$y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
C选项：$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数的一般形式，其中$k=\frac{1}{2}\ne0$，是反比例函数；
D选项：将$xy=3$变形可得$y=\frac{3}{x}$，符合反比例函数的变形形式，其中$k=3\ne0$，是反比例函数。
综上，只有B选项的函数不是反比例函数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的识别，解题的核心是熟练掌握反比例函数的几种常见表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数的形式差异。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确反比例函数的定义及常见表达形式：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），另外还有两种常见变形：①$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。解题时只需将四个选项的解析式分别和反比例函数的三种形式对照，判断是否符合，找出不符合的选项即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，我们逐个分析选项：
A选项：$y=\frac{5}{x}$，符合反比例函数的一般形式，其中$k=5\ne0$，是反比例函数；
B选项：$y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
C选项：$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数的一般形式，其中$k=\frac{1}{2}\ne0$，是反比例函数；
D选项：将$xy=3$变形可得$y=\frac{3}{x}$，符合反比例函数的变形形式，其中$k=3\ne0$，是反比例函数。
综上，只有B选项的函数不是反比例函数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的识别，解题的核心是熟练掌握反比例函数的几种常见表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数的形式差异。
【难度系数】
0.9
2. 在函数$y=\frac{1}{x}$中，自变量$x$的取值范围是
$x≠0$
。答案
$x≠0$
解析
【分析】
求函数自变量的取值范围时，首先要根据函数的表达形式判断限制条件。本题的函数$y=\frac{1}{x}$是分式形式，我们学过分式有意义的核心要求是分母不能为0，且本题没有二次根式、实际应用场景等其他限制，因此只需要令分母不等于0，即可求出x的取值范围。
【解析】
解：函数$y=\frac{1}{x}$属于分式形式的函数，根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x≠0$
因此自变量$x$的取值范围为$x≠0$。
【答案】
$x≠0$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
3. 反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式型函数自变量取值范围的求解，解题关键是牢记分式有意义时分母不能为0，大部分学生都能顺利解答。
【难度系数】
0.9
求函数自变量的取值范围时，首先要根据函数的表达形式判断限制条件。本题的函数$y=\frac{1}{x}$是分式形式，我们学过分式有意义的核心要求是分母不能为0，且本题没有二次根式、实际应用场景等其他限制，因此只需要令分母不等于0，即可求出x的取值范围。
【解析】
解：函数$y=\frac{1}{x}$属于分式形式的函数，根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x≠0$
因此自变量$x$的取值范围为$x≠0$。
【答案】
$x≠0$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
3. 反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式型函数自变量取值范围的求解，解题关键是牢记分式有意义时分母不能为0，大部分学生都能顺利解答。
【难度系数】
0.9
3. 将反比例函数 $y=-\frac{3}{4x}$ 写成 $y=\frac{k}{x}$ 的形式，则k的值为
$-\frac{3}{4}$
。答案
$-\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的标准形式，解题思路如下：首先回忆反比例函数的定义，反比例函数的标准形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $），我们需要将题干给出的函数解析式变形为标准形式，分离出常数部分即为$ k $的值。
【解析】
反比例函数的标准形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
对给定的函数$ y=-\frac{3}{4x} $进行变形：
$ y=-\frac{3}{4x}=\frac{-\frac{3}{4}}{x} $
将变形后的式子与标准形式$ y=\frac{k}{x} $对比，可得$ k=-\frac{3}{4} $。
【答案】
$ -\frac{3}{4} $
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查对反比例函数标准形式的识别与变形，解题时注意要将常数整体提取，不要漏写负号或者误把分子的3直接当成$ k $，掌握基本概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的标准形式，解题思路如下：首先回忆反比例函数的定义，反比例函数的标准形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $），我们需要将题干给出的函数解析式变形为标准形式，分离出常数部分即为$ k $的值。
【解析】
反比例函数的标准形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
对给定的函数$ y=-\frac{3}{4x} $进行变形：
$ y=-\frac{3}{4x}=\frac{-\frac{3}{4}}{x} $
将变形后的式子与标准形式$ y=\frac{k}{x} $对比，可得$ k=-\frac{3}{4} $。
【答案】
$ -\frac{3}{4} $
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查对反比例函数标准形式的识别与变形，解题时注意要将常数整体提取，不要漏写负号或者误把分子的3直接当成$ k $，掌握基本概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.某蓄电池的电压为48 V,使用此蓄电池时,电流I(单位:A)关于电阻R(单位:Ω)的函数解析式为$I=\frac{48}{R}$.当R=24 Ω时,I=
2
A.答案
2
解析
【分析】
本题已知电流I关于电阻R的反比例函数解析式，要求指定电阻对应的电流值，属于已知自变量取值求函数值的基础问题。解题时只需将给定的R值直接代入函数解析式，通过简单的除法运算就能得到对应的I值。
【解析】
已知电流I与电阻R的函数解析式为$I=\frac{48}{R}$，
将$R=24\ \Omega$代入上述解析式，可得：
$I=\frac{48}{24}=2\ (\mathrm{A})$
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的概念；函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，侧重检验代入求值的基本运算能力，计算量小，只要掌握函数求值的基本方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题已知电流I关于电阻R的反比例函数解析式，要求指定电阻对应的电流值，属于已知自变量取值求函数值的基础问题。解题时只需将给定的R值直接代入函数解析式，通过简单的除法运算就能得到对应的I值。
【解析】
已知电流I与电阻R的函数解析式为$I=\frac{48}{R}$，
将$R=24\ \Omega$代入上述解析式，可得：
$I=\frac{48}{24}=2\ (\mathrm{A})$
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的概念；函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，侧重检验代入求值的基本运算能力，计算量小，只要掌握函数求值的基本方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
