登录
基础知识·预习
问题1 怎样判断一个函数是不是反比例函数？
问题2 为什么反比例函数解析式中的自变量不能为0？
问题3 如何用待定系数法求反比例函数解析式？
问题1 怎样判断一个函数是不是反比例函数？
问题2 为什么反比例函数解析式中的自变量不能为0？
问题3 如何用待定系数法求反比例函数解析式？
答案
解：
问题1
判断一个函数是否为反比例函数，可依据反比例函数的定义，验证该函数能否整理为以下三种等价形式之一，且满足$k$为不等于0的常数：
① $y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
② $xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；
③ $y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
同时确认自变量的次数为$-1$，自变量出现在分母位置，排除$k=0$的情况即可判定。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），该解析式属于分式形式，分式的分母不能为0；若自变量$x=0$，不存在与之对应的非零常数$k$满足$xy=k$，因此反比例函数的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
2. 将已知的一组对应$x$、$y$值代入所设解析式，得到关于未知系数$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出$k$的值；
4. 将求得的$k$值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
问题1
判断一个函数是否为反比例函数，可依据反比例函数的定义，验证该函数能否整理为以下三种等价形式之一，且满足$k$为不等于0的常数：
① $y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
② $xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；
③ $y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
同时确认自变量的次数为$-1$，自变量出现在分母位置，排除$k=0$的情况即可判定。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），该解析式属于分式形式，分式的分母不能为0；若自变量$x=0$，不存在与之对应的非零常数$k$满足$xy=k$，因此反比例函数的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
2. 将已知的一组对应$x$、$y$值代入所设解析式，得到关于未知系数$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出$k$的值；
4. 将求得的$k$值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
解析
【分析】
这三个问题均围绕反比例函数的核心基础知识点展开。思考问题1时，要紧扣反比例函数的定义，回忆其三种等价表达形式，抓住k≠0、自变量次数为-1这两个核心要点判断；思考问题2时，要结合分式有意义的条件，以及反比例函数中x与y的乘积为非零定值的本质分析；思考问题3时，遵循待定系数法的通用逻辑，按设解析式、代值求参、回写解析式的步骤梳理即可。
【解析】
问题1解答
判断一个函数是否为反比例函数，可依据反比例函数的定义，验证该函数能否整理为以下三种等价形式之一，且满足$k$为不等于0的常数：
① $y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
② $xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；
③ $y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
同时确认自变量的次数为$-1$，自变量出现在分母位置，排除$k=0$的情况即可判定。
问题2解答
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），该解析式属于分式形式，分式的分母不能为0；若自变量$x=0$，不存在与之对应的非零常数$k$满足$xy=k$，因此反比例函数的自变量不能为0。
问题3解答
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
2. 将已知的一组对应$x$、$y$值代入所设解析式，得到关于未知系数$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出$k$的值；
4. 将求得的$k$值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【答案】
问题1答案
判断一个函数是否为反比例函数，可依据反比例函数的定义，验证该函数能否整理为以下三种等价形式之一，且满足$k$为不等于0的常数：
① $y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
② $xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；
③ $y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
同时确认自变量的次数为$-1$，自变量出现在分母位置，排除$k=0$的情况即可判定。
问题2答案
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），该解析式属于分式形式，分式的分母不能为0；若自变量$x=0$，不存在与之对应的非零常数$k$满足$xy=k$，因此反比例函数的自变量不能为0。
问题3答案
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
2. 将已知的一组对应$x$、$y$值代入所设解析式，得到关于未知系数$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出$k$的值；
4. 将求得的$k$值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.反比例函数自变量取值范围
3.待定系数法求解析式
【点评】
本题考查反比例函数的入门基础知识点，是后续学习反比例函数图象、性质及实际应用的必备基础，需熟练掌握相关概念和方法。
【难度系数】
0.8
这三个问题均围绕反比例函数的核心基础知识点展开。思考问题1时，要紧扣反比例函数的定义，回忆其三种等价表达形式，抓住k≠0、自变量次数为-1这两个核心要点判断；思考问题2时，要结合分式有意义的条件，以及反比例函数中x与y的乘积为非零定值的本质分析；思考问题3时，遵循待定系数法的通用逻辑，按设解析式、代值求参、回写解析式的步骤梳理即可。
【解析】
问题1解答
判断一个函数是否为反比例函数，可依据反比例函数的定义，验证该函数能否整理为以下三种等价形式之一，且满足$k$为不等于0的常数：
① $y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
② $xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；
③ $y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
同时确认自变量的次数为$-1$，自变量出现在分母位置，排除$k=0$的情况即可判定。
问题2解答
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），该解析式属于分式形式，分式的分母不能为0；若自变量$x=0$，不存在与之对应的非零常数$k$满足$xy=k$，因此反比例函数的自变量不能为0。
问题3解答
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
2. 将已知的一组对应$x$、$y$值代入所设解析式，得到关于未知系数$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出$k$的值；
4. 将求得的$k$值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【答案】
问题1答案
判断一个函数是否为反比例函数，可依据反比例函数的定义，验证该函数能否整理为以下三种等价形式之一，且满足$k$为不等于0的常数：
① $y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
② $xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；
③ $y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
同时确认自变量的次数为$-1$，自变量出现在分母位置，排除$k=0$的情况即可判定。
问题2答案
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），该解析式属于分式形式，分式的分母不能为0；若自变量$x=0$，不存在与之对应的非零常数$k$满足$xy=k$，因此反比例函数的自变量不能为0。
问题3答案
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；
2. 将已知的一组对应$x$、$y$值代入所设解析式，得到关于未知系数$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出$k$的值；
4. 将求得的$k$值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.反比例函数自变量取值范围
3.待定系数法求解析式
【点评】
本题考查反比例函数的入门基础知识点，是后续学习反比例函数图象、性质及实际应用的必备基础，需熟练掌握相关概念和方法。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】若函数$y=(k-3)x^{k^2 -10}$是y关于x的反比例函数，则k的值是。
【解析】根据反比例函数的概念，得$k^2 -10=-1$。解得$k=\pm3$。
因为$k-3≠0$，
所以$k≠3$。所以$k=-3$。
【答案】－3
【解析】根据反比例函数的概念，得$k^2 -10=-1$。解得$k=\pm3$。
因为$k-3≠0$，
所以$k≠3$。所以$k=-3$。
【答案】－3
答案
解：
∵ 函数$y=(k-3)x^{k^2 -10}$是y关于x的反比例函数，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}k^2 - 10 = -1 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 10 = -1$，得$k^2=9$，解得$k=\pm3$。
由$k - 3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
∴ $k=-3$。
∵ 函数$y=(k-3)x^{k^2 -10}$是y关于x的反比例函数，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}k^2 - 10 = -1 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 10 = -1$，得$k^2=9$，解得$k=\pm3$。
由$k - 3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
∴ $k=-3$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：反比例函数可表示为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此题中函数需要满足两个核心条件：一是$x$的指数等于$-1$，二是$x$的系数不能为$0$（若系数为$0$，函数变为常函数，不符合反比例函数要求）。我们先根据指数要求列方程求出$k$的可能取值，再结合系数不为$0$的限制排除不符合的取值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 函数$y=(k-3)x^{k^2 -10}$是y关于x的反比例函数，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}k^2 - 10 = -1 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 10 = -1$，得$k^2=9$，解得$k=\pm3$。
由$k - 3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
∴ $k=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为$0$的隐含条件，直接得出$k=\pm3$的错误结论，解题时要全面考虑函数成立的所有限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：反比例函数可表示为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此题中函数需要满足两个核心条件：一是$x$的指数等于$-1$，二是$x$的系数不能为$0$（若系数为$0$，函数变为常函数，不符合反比例函数要求）。我们先根据指数要求列方程求出$k$的可能取值，再结合系数不为$0$的限制排除不符合的取值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 函数$y=(k-3)x^{k^2 -10}$是y关于x的反比例函数，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}k^2 - 10 = -1 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 10 = -1$，得$k^2=9$，解得$k=\pm3$。
由$k - 3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
∴ $k=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为$0$的隐含条件，直接得出$k=\pm3$的错误结论，解题时要全面考虑函数成立的所有限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
1. 有下列函数解析式:①$y=\frac{x}{15}$；②$y=-\sqrt{3}x$；③$y=\frac{5}{2x}$；④$xy=-2$；⑤$y=\frac{3}{x-1}$；⑥$y=\frac{1}{x}-3$. 其中$y$是$x$的反比例函数的有
③④
.(填序号)答案
③④
解析
【分析】
要判断哪些函数是反比例函数，首先需要明确反比例函数的定义及常见形式：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），还可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。解题时只需逐个将给出的函数解析式与上述形式对照，满足的即为反比例函数，需注意：自变量$x$只能在分母位置，且不能包含其他加减项，分母中只能是单独的$x$。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，逐一判断：
①$y=\frac{x}{15}=\frac{1}{15}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
②$y=-\sqrt{3}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
③$y=\frac{5}{2x}=\frac{\frac{5}{2}}{x}$，满足$k=\frac{5}{2}≠0$，属于反比例函数；
④将$xy=-2$变形可得$y=\frac{-2}{x}$，满足$k=-2≠0$，属于反比例函数；
⑤$y=\frac{3}{x-1}$的分母是$x-1$，自变量不是单独的$x$，不是$y$关于$x$的反比例函数；
⑥$y=\frac{1}{x}-3$含有常数项$-3$，不符合反比例函数的形式，不属于反比例函数。
综上，是反比例函数的为③④。
【答案】
③④
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几种常见形式，注意区分正比例函数、含反比例关系的复合函数和反比例函数的差异，避免误判。
【难度系数】
0.7
要判断哪些函数是反比例函数，首先需要明确反比例函数的定义及常见形式：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），还可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。解题时只需逐个将给出的函数解析式与上述形式对照，满足的即为反比例函数，需注意：自变量$x$只能在分母位置，且不能包含其他加减项，分母中只能是单独的$x$。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，逐一判断：
①$y=\frac{x}{15}=\frac{1}{15}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
②$y=-\sqrt{3}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
③$y=\frac{5}{2x}=\frac{\frac{5}{2}}{x}$，满足$k=\frac{5}{2}≠0$，属于反比例函数；
④将$xy=-2$变形可得$y=\frac{-2}{x}$，满足$k=-2≠0$，属于反比例函数；
⑤$y=\frac{3}{x-1}$的分母是$x-1$，自变量不是单独的$x$，不是$y$关于$x$的反比例函数；
⑥$y=\frac{1}{x}-3$含有常数项$-3$，不符合反比例函数的形式，不属于反比例函数。
综上，是反比例函数的为③④。
【答案】
③④
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几种常见形式，注意区分正比例函数、含反比例关系的复合函数和反比例函数的差异，避免误判。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】已知某市的土地总面积为11 819 km²，用函数解析式表示人均占有的土地面积S(单位:km²/人)与全市总人口n(单位:人)之间的关系。
【解】$S=\frac{11819}{n}$。
规律方法 找出实际问题中的等量关系，列出对应的函数解析式。
【解】$S=\frac{11819}{n}$。
规律方法 找出实际问题中的等量关系，列出对应的函数解析式。
答案
解：
由题意可得等量关系：人均占有的土地面积×全市总人口 = 土地总面积，
代入土地总面积11819 km²，得 $S · n = 11819$，
变形得到函数解析式为 $S=\frac{11819}{n}$，其中自变量n的取值范围是$n＞0$。
答：人均占有的土地面积S与全市总人口n之间的函数关系为$S=\frac{11819}{n}（n＞0）$。
由题意可得等量关系：人均占有的土地面积×全市总人口 = 土地总面积，
代入土地总面积11819 km²，得 $S · n = 11819$，
变形得到函数解析式为 $S=\frac{11819}{n}$，其中自变量n的取值范围是$n＞0$。
答：人均占有的土地面积S与全市总人口n之间的函数关系为$S=\frac{11819}{n}（n＞0）$。
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的三个关联量：全市土地总面积、总人口、人均占有土地面积，三者的等量关系为“人均占有土地面积×总人口=土地总面积”，本题中土地总面积是固定常量，我们先将已知的总面积代入等量关系，再通过等式变形得到S关于n的表达式，最后结合人口的实际意义，确定自变量n的取值范围即可。
【解析】
根据题意可得等量关系：$\mathrm{人均占有的土地面积} × \mathrm{全市总人口} = \mathrm{土地总面积}$，
将土地总面积$11819\ \mathrm{km}^2$代入等量关系，得 $S · n = 11819$，
对等式变形，用含$n$的代数式表示$S$，得 $S=\frac{11819}{n}$，
结合实际意义，全市总人口$n$为正整数，因此自变量取值范围为$n＞0$。
【答案】
$S=\frac{11819}{n}（n＞0）$
【知识点】
1. 反比例函数解析式列写 2. 实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在生活中的基础应用，核心是找准题目中的固定不变量，理清各数量间的关系，列函数解析式时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免仅考虑代数式有意义而忽略实际限制。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题目中的三个关联量：全市土地总面积、总人口、人均占有土地面积，三者的等量关系为“人均占有土地面积×总人口=土地总面积”，本题中土地总面积是固定常量，我们先将已知的总面积代入等量关系，再通过等式变形得到S关于n的表达式，最后结合人口的实际意义，确定自变量n的取值范围即可。
【解析】
根据题意可得等量关系：$\mathrm{人均占有的土地面积} × \mathrm{全市总人口} = \mathrm{土地总面积}$，
将土地总面积$11819\ \mathrm{km}^2$代入等量关系，得 $S · n = 11819$，
对等式变形，用含$n$的代数式表示$S$，得 $S=\frac{11819}{n}$，
结合实际意义，全市总人口$n$为正整数，因此自变量取值范围为$n＞0$。
【答案】
$S=\frac{11819}{n}（n＞0）$
【知识点】
1. 反比例函数解析式列写 2. 实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在生活中的基础应用，核心是找准题目中的固定不变量，理清各数量间的关系，列函数解析式时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免仅考虑代数式有意义而忽略实际限制。
【难度系数】
0.9
