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6.一座拱桥的示意图如图1所示,拱高为6 m,跨度为20 m,相邻两支柱间的距离均为5 m.
(1)如图2,求这段抛物线对应的函数解析式.
(2)求支柱EF的长度.
(3)拱桥下方的地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带),其中一向的行车道能否并排行驶3辆宽2 m、高3 m的汽车(汽车的间隔忽略不计)?请说明你的理由.
(1)如图2,求这段抛物线对应的函数解析式.
(2)求支柱EF的长度.
(3)拱桥下方的地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带),其中一向的行车道能否并排行驶3辆宽2 m、高3 m的汽车(汽车的间隔忽略不计)?请说明你的理由.
答案
6.【解】(1)根据题目条件,得点A,B,C的坐标分别是$(-10,0),(10,0),(0,6)$.设这段抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$.
将点B,C的坐标分别代入$y=ax^2+c$,
得$\begin{cases}100a+c=0,\\c=6.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{50},\\c=6.\end{cases}$
∴这段抛物线对应的函数解析式是$y=-\frac{3}{50}x^2+6(-10≤ x≤10)$.
(2)设点F的坐标为$(5,y_F)$.
∴$y_F=-\frac{3}{50}×5^2+6=4.5$.
∴支柱EF的长度是$10-4.5=5.5(\mathrm{m})$.
(3)能.理由如下:
如图,设DN的长等于隔离带的宽,NG的长等于3辆汽车的宽度和,则点G的坐标是$(7,0)$.
过点G作$GH⊥AB$,交抛物线于点H,则$y_H=-\frac{3}{50}×7^2+6=3.06＞3$.
根据抛物线的特点,可知其中一向的行车道能并排行驶3辆宽2 m、高3 m的汽车.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，先观察坐标系特征：该抛物线对称轴为y轴，顶点为C(0,6)，与x轴交点为A(-10,0)、B(10,0)，因此选择设顶点式$y=ax^2+c$，代入已知点坐标求解参数即可得到解析式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 求支柱EF长度时，先确定F点的横坐标：相邻支柱间距为5m，因此F点横坐标为5，将x=5代入解析式求出F点纵坐标，再用立柱总高度10m减去F点纵坐标，即可得到EF的长度。
(3) 判断能否并排行驶3辆汽车时，先确定单向车道最外侧对应的x坐标：中间隔离带宽2m，因此隔离带右边缘横坐标为1，3辆汽车总宽度为$2×3=6m$，因此最外侧汽车边缘的横坐标为$1+6=7$，将x=7代入解析式求出对应y值，若y值大于汽车高度3m则可通行，反之不可。
【解析】
(1) 根据题意，点A、B、C的坐标分别是$(-10,0)$、$(10,0)$、$(0,6)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
将点B、C的坐标分别代入解析式，得：
$\begin{cases}100a+c=0\\c=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{50}\\c=6\end{cases}$
因此这段抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{50}x^2+6(-10≤ x≤10)$。
(2) 由相邻支柱间距为5m，可知点F的横坐标为5，设F点坐标为$(5,y_F)$，将x=5代入解析式得：
$y_F=-\frac{3}{50}×5^2+6=4.5$
因此支柱EF的长度为$10-4.5=5.5(\mathrm{m})$。
(3) 能，理由如下：
中间隔离带宽2m，3辆汽车总宽度为$3×2=6\mathrm{m}$，因此单向行车道最外侧对应横坐标为$\frac{2}{2}+3×2=7$，即G点坐标为$(7,0)$。过G作$GH⊥AB$交抛物线于H点，将x=7代入解析式得：
$y_H=-\frac{3}{50}×7^2+6=3.06$
由于$3.06＞3$，说明该位置拱高大于汽车高度，因此一向的行车道能并排行驶3辆宽2m、高3m的汽车。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{50}x^2+6(-10≤ x≤10)$
(2) $5.5\mathrm{m}$
(3) 能，理由如下：
如图,设DN的长等于隔离带的宽,NG的长等于3辆汽车的宽度和,则点G的坐标是$(7,0)$.
过点G作$GH⊥AB$,交抛物线于点H,则$y_H=-\frac{3}{50}×7^2+6=3.06＞3$.
根据抛物线的特点,可知其中一向的行车道能并排行驶3辆宽2 m、高3 m的汽车.
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的图像性质
【点评】
本题结合拱桥的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是建立合适的平面直角坐标系求出函数解析式，将实际问题转化为二次函数求值问题，能有效锻炼数学建模和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线解析式时，先观察坐标系特征：该抛物线对称轴为y轴，顶点为C(0,6)，与x轴交点为A(-10,0)、B(10,0)，因此选择设顶点式$y=ax^2+c$，代入已知点坐标求解参数即可得到解析式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 求支柱EF长度时，先确定F点的横坐标：相邻支柱间距为5m，因此F点横坐标为5，将x=5代入解析式求出F点纵坐标，再用立柱总高度10m减去F点纵坐标，即可得到EF的长度。
(3) 判断能否并排行驶3辆汽车时，先确定单向车道最外侧对应的x坐标：中间隔离带宽2m，因此隔离带右边缘横坐标为1，3辆汽车总宽度为$2×3=6m$，因此最外侧汽车边缘的横坐标为$1+6=7$，将x=7代入解析式求出对应y值，若y值大于汽车高度3m则可通行，反之不可。
【解析】
(1) 根据题意，点A、B、C的坐标分别是$(-10,0)$、$(10,0)$、$(0,6)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
将点B、C的坐标分别代入解析式，得：
$\begin{cases}100a+c=0\\c=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{50}\\c=6\end{cases}$
因此这段抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{50}x^2+6(-10≤ x≤10)$。
(2) 由相邻支柱间距为5m，可知点F的横坐标为5，设F点坐标为$(5,y_F)$，将x=5代入解析式得：
$y_F=-\frac{3}{50}×5^2+6=4.5$
因此支柱EF的长度为$10-4.5=5.5(\mathrm{m})$。
(3) 能，理由如下：
中间隔离带宽2m，3辆汽车总宽度为$3×2=6\mathrm{m}$，因此单向行车道最外侧对应横坐标为$\frac{2}{2}+3×2=7$，即G点坐标为$(7,0)$。过G作$GH⊥AB$交抛物线于H点，将x=7代入解析式得：
$y_H=-\frac{3}{50}×7^2+6=3.06$
由于$3.06＞3$，说明该位置拱高大于汽车高度，因此一向的行车道能并排行驶3辆宽2m、高3m的汽车。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{50}x^2+6(-10≤ x≤10)$
(2) $5.5\mathrm{m}$
(3) 能，理由如下：
如图,设DN的长等于隔离带的宽,NG的长等于3辆汽车的宽度和,则点G的坐标是$(7,0)$.
过点G作$GH⊥AB$,交抛物线于点H,则$y_H=-\frac{3}{50}×7^2+6=3.06＞3$.
根据抛物线的特点,可知其中一向的行车道能并排行驶3辆宽2 m、高3 m的汽车.
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的图像性质
【点评】
本题结合拱桥的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是建立合适的平面直角坐标系求出函数解析式，将实际问题转化为二次函数求值问题，能有效锻炼数学建模和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
7. 如图,在平面直角坐标系中,小明从离地面高度为1.5 m的点A处抛出弹力球(视为一点),弹力球在点B处着地后弹起,再落至点C处,弹力球的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,弹力球第一次着地前的运动轨迹所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2+2$.
(1)求a的值.
(2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度为着地前最大高度的$\frac{1}{4}$,求弹力球第二次着地的落地点C距离抛出点A的水平距离OC的长.
(3)在(2)的条件下,在地面上摆放一个底面圆的直径为0.6 m、高为0.32 m的圆柱形水桶(水桶厚度不计).若要弹力球从B处弹起后落入水桶内(落在边缘也算作进桶),则水桶底面最左端与原点之间的距离s(单位:m)的取值范围是
(1)求a的值.
(2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度为着地前最大高度的$\frac{1}{4}$,求弹力球第二次着地的落地点C距离抛出点A的水平距离OC的长.
(3)在(2)的条件下,在地面上摆放一个底面圆的直径为0.6 m、高为0.32 m的圆柱形水桶(水桶厚度不计).若要弹力球从B处弹起后落入水桶内(落在边缘也算作进桶),则水桶底面最左端与原点之间的距离s(单位:m)的取值范围是
$4\ \mathrm{m}≤ s≤4.6\ \mathrm{m}$
.答案
7.【解】(1)把$(0,1.5)$代入$y=a(x-1)^2+2$,得
$a·(0-1)^2+2=1.5$. 解得$a=-\frac{1}{2}$.
(2)$∵a=-\frac{1}{2}$,
∴第一次着地前的运动轨迹所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,其顶点坐标为$(1,2)$.
把$y=0$代入$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,列得方程
$-\frac{1}{2}(x-1)^2+2=0$.
解得$x_1=3,x_2=-1$(不合题意,舍去).
∴点B的坐标为$(3,0)$.
∵弹力球在点B处着地后弹起的最大高度为着地前最大高度的$\frac{1}{4}$,
∴弹力球在点B处着地后弹起的最大高度为$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}(\mathrm{m})$.
又弹力球的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,
∴可设弹力球在点B处着地后,第二次着地前的运动轨迹所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2+\frac{1}{2}$.
把$(3,0)$代入$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2+\frac{1}{2}$,列得方程
$-\frac{1}{2}·(3-h)^2+\frac{1}{2}=0$.
解得$h_1=4,h_2=2$(不合题意,舍去).
∴弹力球在点B处着地后,第二次着地前的运动轨迹对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}$.
把$y=0$代入$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}$,列得方程
$-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}=0$,
解得$x_1=5,x_2=3$(不合题意,舍去).
∴OC的长为5 m.
(3)$4\ \mathrm{m}≤ s≤4.6\ \mathrm{m}$
$a·(0-1)^2+2=1.5$. 解得$a=-\frac{1}{2}$.
(2)$∵a=-\frac{1}{2}$,
∴第一次着地前的运动轨迹所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,其顶点坐标为$(1,2)$.
把$y=0$代入$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,列得方程
$-\frac{1}{2}(x-1)^2+2=0$.
解得$x_1=3,x_2=-1$(不合题意,舍去).
∴点B的坐标为$(3,0)$.
∵弹力球在点B处着地后弹起的最大高度为着地前最大高度的$\frac{1}{4}$,
∴弹力球在点B处着地后弹起的最大高度为$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}(\mathrm{m})$.
又弹力球的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,
∴可设弹力球在点B处着地后,第二次着地前的运动轨迹所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2+\frac{1}{2}$.
把$(3,0)$代入$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2+\frac{1}{2}$,列得方程
$-\frac{1}{2}·(3-h)^2+\frac{1}{2}=0$.
解得$h_1=4,h_2=2$(不合题意,舍去).
∴弹力球在点B处着地后,第二次着地前的运动轨迹对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}$.
把$y=0$代入$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}$,列得方程
$-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}=0$,
解得$x_1=5,x_2=3$(不合题意,舍去).
∴OC的长为5 m.
(3)$4\ \mathrm{m}≤ s≤4.6\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
(1) 由题意可知点A的坐标为(0,1.5)，且点A在第一次运动轨迹的抛物线上，将A点坐标代入给定的顶点式解析式，即可解出a的值。
(2) 先将a代入解析式得到第一次抛物线的完整表达式，令y=0求解，舍去负根即可得到B点坐标；根据两条抛物线形状相同可知二次项系数相等，结合弹起最大高度为原最大高度的1/4，可得第二次抛物线的顶点纵坐标，设出第二次抛物线的顶点式，代入B点坐标求出顶点横坐标，再令y=0求解得到C点横坐标，即为OC的长度。
(3) 令第二次抛物线的函数值y=0.32，求解得到对应的x的两个值，结合水桶直径为0.6m，即可推导出水桶左端距离s的取值范围。
【解析】
(1) 由题意知点A坐标为(0,1.5)，将$(0,1.5)$代入$y=a(x-1)^2+2$，得：
$a·(0-1)^2+2=1.5$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
(2) $∵a=-\frac{1}{2}$，
$∴$第一次着地前抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$，其顶点坐标为$(1,2)$，即第一次最大高度为2m。
令$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{1}{2}(x-1)^2+2=0$
解得$x_1=3,x_2=-1$（不符合实际，舍去），故点B坐标为$(3,0)$。
由题意得第二次弹起的最大高度为$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\mathrm{m}$，且两条抛物线形状相同，故二次项系数仍为$-\frac{1}{2}$，设第二次抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2+\frac{1}{2}$。
将B$(3,0)$代入上式：
$-\frac{1}{2}·(3-h)^2+\frac{1}{2}=0$
解得$h_1=4,h_2=2$（h=2在B点左侧，不符合运动方向，舍去），故第二次抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}$。
令$y=0$，代入得：
$-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}=0$
解得$x_1=5,x_2=3$（舍去），故C点坐标为$(5,0)$，即OC的长为5m。
(3) 令$y=0.32$，代入第二次抛物线解析式：
$-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}=0.32$
解得$(x-4)^2=0.36$，即$x=4.6$或$x=3.4$。
水桶底面直径为0.6m，要使弹力球落入桶内，当球刚好接触桶口右端时，$s+0.6=4.6$，得$s=4$；当球刚好接触桶口左端时，$s=4.6$，故s的取值范围是$4\ \mathrm{m}≤ s≤4.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-\dfrac{1}{2}}$；
(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(3) $\boldsymbol{4\ \mathrm{m}≤ s≤4.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题以抛弹力球的生活场景为载体考查二次函数的综合应用，解题的核心是准确把握抛物线的性质，结合实际意义舍去不合理的解，能通过函数与方程的关系求解对应点的坐标，很好地考查了数学知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 由题意可知点A的坐标为(0,1.5)，且点A在第一次运动轨迹的抛物线上，将A点坐标代入给定的顶点式解析式，即可解出a的值。
(2) 先将a代入解析式得到第一次抛物线的完整表达式，令y=0求解，舍去负根即可得到B点坐标；根据两条抛物线形状相同可知二次项系数相等，结合弹起最大高度为原最大高度的1/4，可得第二次抛物线的顶点纵坐标，设出第二次抛物线的顶点式，代入B点坐标求出顶点横坐标，再令y=0求解得到C点横坐标，即为OC的长度。
(3) 令第二次抛物线的函数值y=0.32，求解得到对应的x的两个值，结合水桶直径为0.6m，即可推导出水桶左端距离s的取值范围。
【解析】
(1) 由题意知点A坐标为(0,1.5)，将$(0,1.5)$代入$y=a(x-1)^2+2$，得：
$a·(0-1)^2+2=1.5$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
(2) $∵a=-\frac{1}{2}$，
$∴$第一次着地前抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$，其顶点坐标为$(1,2)$，即第一次最大高度为2m。
令$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{1}{2}(x-1)^2+2=0$
解得$x_1=3,x_2=-1$（不符合实际，舍去），故点B坐标为$(3,0)$。
由题意得第二次弹起的最大高度为$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\mathrm{m}$，且两条抛物线形状相同，故二次项系数仍为$-\frac{1}{2}$，设第二次抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2+\frac{1}{2}$。
将B$(3,0)$代入上式：
$-\frac{1}{2}·(3-h)^2+\frac{1}{2}=0$
解得$h_1=4,h_2=2$（h=2在B点左侧，不符合运动方向，舍去），故第二次抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}$。
令$y=0$，代入得：
$-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}=0$
解得$x_1=5,x_2=3$（舍去），故C点坐标为$(5,0)$，即OC的长为5m。
(3) 令$y=0.32$，代入第二次抛物线解析式：
$-\frac{1}{2}(x-4)^2+\frac{1}{2}=0.32$
解得$(x-4)^2=0.36$，即$x=4.6$或$x=3.4$。
水桶底面直径为0.6m，要使弹力球落入桶内，当球刚好接触桶口右端时，$s+0.6=4.6$，得$s=4$；当球刚好接触桶口左端时，$s=4.6$，故s的取值范围是$4\ \mathrm{m}≤ s≤4.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-\dfrac{1}{2}}$；
(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(3) $\boldsymbol{4\ \mathrm{m}≤ s≤4.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题以抛弹力球的生活场景为载体考查二次函数的综合应用，解题的核心是准确把握抛物线的性质，结合实际意义舍去不合理的解，能通过函数与方程的关系求解对应点的坐标，很好地考查了数学知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
