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5.把一个长、宽、高分别为3 cm,2 cm,1 cm的长方体铁块熔化后铸成一个圆柱形铁块,则该圆柱形铁块的底面积S(单位:cm²)关于高h(单位:cm)的函数解析式为
$S=\frac{6}{h}$
.答案
$S=\frac{6}{h}$
解析
【分析】
解题的核心是抓住铁块熔化前后体积不变的等量关系。首先计算原长方体铁块的体积，再结合圆柱体积的计算公式，利用体积相等建立等式，最后将等式变形为底面积S关于高h的函数形式即可，注意h是圆柱的高，取值为正数。
【解析】
第一步：计算长方体铁块的体积
长方体体积公式为$V=长×宽×高$，代入数据得：
$V=3×2×1=6\ \mathrm{cm^3}$
第二步：利用等积关系建立等式
铁块熔化前后体积不变，因此圆柱形铁块的体积也为$6\ \mathrm{cm^3}$。
圆柱体积公式为$V=S· h$，将$V=6$代入得：
$S· h=6$
第三步：变形得到函数解析式
将上式变形为用$h$表示$S$的形式，可得：
$S=\frac{6}{h}\ (h＞0)$
【答案】
$S=\frac{6}{h}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 等积变形
3. 立体图形体积计算
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题的突破口是明确熔化前后铁块体积不变，结合常见立体图形的体积公式即可推导得到函数解析式，考查学生对基础等量关系的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住铁块熔化前后体积不变的等量关系。首先计算原长方体铁块的体积，再结合圆柱体积的计算公式，利用体积相等建立等式，最后将等式变形为底面积S关于高h的函数形式即可，注意h是圆柱的高，取值为正数。
【解析】
第一步：计算长方体铁块的体积
长方体体积公式为$V=长×宽×高$，代入数据得：
$V=3×2×1=6\ \mathrm{cm^3}$
第二步：利用等积关系建立等式
铁块熔化前后体积不变，因此圆柱形铁块的体积也为$6\ \mathrm{cm^3}$。
圆柱体积公式为$V=S· h$，将$V=6$代入得：
$S· h=6$
第三步：变形得到函数解析式
将上式变形为用$h$表示$S$的形式，可得：
$S=\frac{6}{h}\ (h＞0)$
【答案】
$S=\frac{6}{h}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 等积变形
3. 立体图形体积计算
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题的突破口是明确熔化前后铁块体积不变，结合常见立体图形的体积公式即可推导得到函数解析式，考查学生对基础等量关系的应用能力。
【难度系数】
0.8
6.已知y是x的反比例函数，且当$x=-2$时，$y=3$.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当$x=8$时，求y的值.
(3)当$y=2$时，求x的值.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当$x=8$时，求y的值.
(3)当$y=2$时，求x的值.
答案
(1)设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
∵当$x=-2$时,$y=3$,
∴$3=\frac{k}{-2}$. 解得$k=-6$.
因此,y关于x的函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$.
(2)把$x=8$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$y=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$.
(3)把$y=2$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$2=-\frac{6}{x}$.
解得$x=-3$.
∵当$x=-2$时,$y=3$,
∴$3=\frac{k}{-2}$. 解得$k=-6$.
因此,y关于x的函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$.
(2)把$x=8$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$y=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$.
(3)把$y=2$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$2=-\frac{6}{x}$.
解得$x=-3$.
解析
【分析】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题思路清晰：(1)求反比例函数解析式时，先根据反比例函数的定义设出一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入解析式，解出未知系数k即可，这是求函数解析式常用的待定系数法；(2)已知x的值求对应y值时，直接将x代入已求得的函数解析式计算即可；(3)已知y的值求对应x值时，将y代入函数解析式，解关于x的方程即可得到结果。
【解析】
(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵当$x=-2$时，$y=3$，
∴$3=\frac{k}{-2}$，解得$k=-6$。
因此，y关于x的函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
(2)把$x=8$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$。
(3)把$y=2$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$2=-\frac{6}{x}$，解得$x=-3$。
【答案】
(1)$y=-\frac{6}{x}$
(2)$-\frac{3}{4}$
(3)$-3$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数入门的典型基础题，侧重考查对基础概念的理解和基础方法的运用，计算量小，掌握反比例函数的基本形式和代入求值的方法即可顺利解答，能够很好地巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.9
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题思路清晰：(1)求反比例函数解析式时，先根据反比例函数的定义设出一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入解析式，解出未知系数k即可，这是求函数解析式常用的待定系数法；(2)已知x的值求对应y值时，直接将x代入已求得的函数解析式计算即可；(3)已知y的值求对应x值时，将y代入函数解析式，解关于x的方程即可得到结果。
【解析】
(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵当$x=-2$时，$y=3$，
∴$3=\frac{k}{-2}$，解得$k=-6$。
因此，y关于x的函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
(2)把$x=8$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$。
(3)把$y=2$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$2=-\frac{6}{x}$，解得$x=-3$。
【答案】
(1)$y=-\frac{6}{x}$
(2)$-\frac{3}{4}$
(3)$-3$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数入门的典型基础题，侧重考查对基础概念的理解和基础方法的运用，计算量小，掌握反比例函数的基本形式和代入求值的方法即可顺利解答，能够很好地巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.9
7. 现计划铺设轨道，需铺设的轨道长为$l$ km，铺设轨道的天数为$t$，每日铺设的轨道量为$s$(单位:km).有下列三个结论：
①当$l$一定时，$t$是$s$的反比例函数；
②当$t$一定时，$l$是$s$的反比例函数；
③当$s$一定时，$l$是$t$的反比例函数.
其中正确的是（
A.①
B.②
C.③
D.①②③
①当$l$一定时，$t$是$s$的反比例函数；
②当$t$一定时，$l$是$s$的反比例函数；
③当$s$一定时，$l$是$t$的反比例函数.
其中正确的是（
A
）A.①
B.②
C.③
D.①②③
答案
A
解析
【分析】
首先明确三个量的数量关系：轨道总长$ l = $每日铺设量$ s × $铺设天数$ t $。再回忆反比例函数的核心特征：两个变量的乘积为非零定值，形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k\ne0 $）。接下来逐个验证结论：
1. 结论①：$ l $为定值时，关系式变形为$ t=\frac{l}{s} $，$ l $是非零定值，符合反比例函数特征，故①正确。
2. 结论②：$ t $为定值时，关系式变形为$ l=t· s $，$ l $和$ s $的比值为定值，属于正比例函数，不是反比例，故②错误。
3. 结论③：$ s $为定值时，关系式变形为$ l=s· t $，$ l $和$ t $的比值为定值，属于正比例函数，不是反比例，故③错误。
综上只有①正确，对应选项A。
【解析】
解：由题意得三个量的数量关系为：$ l = s· t $。
根据反比例函数定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k\ne0 $）的函数为反比例函数，判断如下：
当$ l $一定时，变形得$ t=\frac{l}{s} $，$ l \ne0 $，符合反比例函数定义，故①正确；
当$ t $一定时，变形得$ l = t· s $，$ l $与$ s $的比值为定值，属于正比例函数，故②错误；
当$ s $一定时，变形得$ l = s· t $，$ l $与$ t $的比值为定值，属于正比例函数，故③错误。
因此仅①正确，选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题考查正反比例函数的区分，解题关键是先梳理三个量的数量关系，再结合定值判断变量间是乘积为定值（反比例）还是比值为定值（正比例），属于基础概念考查题，熟练掌握函数定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先明确三个量的数量关系：轨道总长$ l = $每日铺设量$ s × $铺设天数$ t $。再回忆反比例函数的核心特征：两个变量的乘积为非零定值，形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k\ne0 $）。接下来逐个验证结论：
1. 结论①：$ l $为定值时，关系式变形为$ t=\frac{l}{s} $，$ l $是非零定值，符合反比例函数特征，故①正确。
2. 结论②：$ t $为定值时，关系式变形为$ l=t· s $，$ l $和$ s $的比值为定值，属于正比例函数，不是反比例，故②错误。
3. 结论③：$ s $为定值时，关系式变形为$ l=s· t $，$ l $和$ t $的比值为定值，属于正比例函数，不是反比例，故③错误。
综上只有①正确，对应选项A。
【解析】
解：由题意得三个量的数量关系为：$ l = s· t $。
根据反比例函数定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k\ne0 $）的函数为反比例函数，判断如下：
当$ l $一定时，变形得$ t=\frac{l}{s} $，$ l \ne0 $，符合反比例函数定义，故①正确；
当$ t $一定时，变形得$ l = t· s $，$ l $与$ s $的比值为定值，属于正比例函数，故②错误；
当$ s $一定时，变形得$ l = s· t $，$ l $与$ t $的比值为定值，属于正比例函数，故③错误。
因此仅①正确，选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题考查正反比例函数的区分，解题关键是先梳理三个量的数量关系，再结合定值判断变量间是乘积为定值（反比例）还是比值为定值（正比例），属于基础概念考查题，熟练掌握函数定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k＞0$），那么当$x$增加$50\%$时，$y$将（
A.减少$50\%$
B.增加$50\%$
C.减少$\frac{1}{3}$
D.增加$\frac{2}{3}$
C
）A.减少$50\%$
B.增加$50\%$
C.减少$\frac{1}{3}$
D.增加$\frac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确反比例函数中常数k是定值，y与x的乘积始终等于k。我们可以先设出x变化前的取值，求出对应的y值，再计算x增加50%后的新x值，代入解析式得到新的y值，最后对比新旧y值，计算出y的变化比例即可。也可以用特殊值法，给k和原x取符合条件的具体数值，代入计算更简便。
【解析】
方法一：代数推导法
设x变化前的取值为$x_0$（$x_0\ne0$），对应的函数值为$y_0$，代入反比例函数解析式得：
$y_0=\frac{k}{x_0}$
当x增加50%时，新的x值为：
$x_1=x_0×(1+50\%)=1.5x_0=\frac{3}{2}x_0$
将$x_1$代入解析式，得到新的函数值：
$y_1=\frac{k}{x_1}=\frac{k}{\frac{3}{2}x_0}=\frac{2}{3}·\frac{k}{x_0}=\frac{2}{3}y_0$
则y的变化量为$y_1-y_0=\frac{2}{3}y_0-y_0=-\frac{1}{3}y_0$，负号表示y减少，即y减少了$\frac{1}{3}$。
方法二：特殊值法
设$k=6$（任意正数均可），取原x值为2，代入得原y值：
$y_0=\frac{6}{2}=3$
x增加50%后变为$2×1.5=3$，代入得新的y值：
$y_1=\frac{6}{3}=2$
y的变化比例为$\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3}$，即y减少了$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 百分比变化计算
【点评】
本题考查反比例函数中自变量与函数值的对应变化关系，两种解题方法中，特殊值法更适合选择题作答，能降低运算难度，提高解题速度。解题时要注意区分“减少50%”和“减少$\frac{1}{3}$”的差异，避免将反比例关系误判为正比例关系。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确反比例函数中常数k是定值，y与x的乘积始终等于k。我们可以先设出x变化前的取值，求出对应的y值，再计算x增加50%后的新x值，代入解析式得到新的y值，最后对比新旧y值，计算出y的变化比例即可。也可以用特殊值法，给k和原x取符合条件的具体数值，代入计算更简便。
【解析】
方法一：代数推导法
设x变化前的取值为$x_0$（$x_0\ne0$），对应的函数值为$y_0$，代入反比例函数解析式得：
$y_0=\frac{k}{x_0}$
当x增加50%时，新的x值为：
$x_1=x_0×(1+50\%)=1.5x_0=\frac{3}{2}x_0$
将$x_1$代入解析式，得到新的函数值：
$y_1=\frac{k}{x_1}=\frac{k}{\frac{3}{2}x_0}=\frac{2}{3}·\frac{k}{x_0}=\frac{2}{3}y_0$
则y的变化量为$y_1-y_0=\frac{2}{3}y_0-y_0=-\frac{1}{3}y_0$，负号表示y减少，即y减少了$\frac{1}{3}$。
方法二：特殊值法
设$k=6$（任意正数均可），取原x值为2，代入得原y值：
$y_0=\frac{6}{2}=3$
x增加50%后变为$2×1.5=3$，代入得新的y值：
$y_1=\frac{6}{3}=2$
y的变化比例为$\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3}$，即y减少了$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 百分比变化计算
【点评】
本题考查反比例函数中自变量与函数值的对应变化关系，两种解题方法中，特殊值法更适合选择题作答，能降低运算难度，提高解题速度。解题时要注意区分“减少50%”和“减少$\frac{1}{3}$”的差异，避免将反比例关系误判为正比例关系。
【难度系数】
0.7
9. 当y关于x的反比例函数$y=(m-2)· x^{2m+1}$的函数值为$\frac{1}{3}$时，自变量x的值为
$-9$
。答案
$-9$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要紧扣反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此题干给出的函数需要同时满足两个条件：①x的指数等于-1；②x的系数$m-2≠0$。我们先根据这两个条件求出参数$m$的值，确定反比例函数的具体解析式，再将函数值$y=\frac{1}{3}$代入解析式，即可求出自变量$x$的值。
【解析】
1. 根据反比例函数的定义，x的指数为-1，列方程：
$2m + 1 = -1$
解得：$2m = -2$，$m=-1$
2. 验证系数不为0：将$m=-1$代入$m-2$，得$-1-2=-3≠0$，符合反比例函数的要求。
3. 代入$m=-1$，得到函数解析式：$y=-3x^{-1}=-\frac{3}{x}$
4. 把$y=\frac{1}{3}$代入解析式，得：
$\frac{1}{3}=-\frac{3}{x}$
两边同时乘$3x$得：$x=-9$，经检验$x=-9$是方程的解。
【答案】
$-9$
【知识点】
反比例函数的概念；解一元一次方程；函数值代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对反比例函数定义的理解，解题时要注意不要遗漏反比例函数中系数不为0的限制条件，先确定参数得到完整解析式后，再代入函数值求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要紧扣反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此题干给出的函数需要同时满足两个条件：①x的指数等于-1；②x的系数$m-2≠0$。我们先根据这两个条件求出参数$m$的值，确定反比例函数的具体解析式，再将函数值$y=\frac{1}{3}$代入解析式，即可求出自变量$x$的值。
【解析】
1. 根据反比例函数的定义，x的指数为-1，列方程：
$2m + 1 = -1$
解得：$2m = -2$，$m=-1$
2. 验证系数不为0：将$m=-1$代入$m-2$，得$-1-2=-3≠0$，符合反比例函数的要求。
3. 代入$m=-1$，得到函数解析式：$y=-3x^{-1}=-\frac{3}{x}$
4. 把$y=\frac{1}{3}$代入解析式，得：
$\frac{1}{3}=-\frac{3}{x}$
两边同时乘$3x$得：$x=-9$，经检验$x=-9$是方程的解。
【答案】
$-9$
【知识点】
反比例函数的概念；解一元一次方程；函数值代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对反比例函数定义的理解，解题时要注意不要遗漏反比例函数中系数不为0的限制条件，先确定参数得到完整解析式后，再代入函数值求解即可。
【难度系数】
0.7
10. 一个梯形的面积为60，其上底是下底的$\frac{1}{3}$。
设它的下底为$x$，高为$y$。
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式。
(2)当$x=18$时，求$y$的值。
设它的下底为$x$，高为$y$。
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式。
(2)当$x=18$时，求$y$的值。
答案
(1)根据题意,得$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x+x)y=60$.
整理,得$y=\frac{90}{x}$.
因此,y关于x的函数解析式为$y=\frac{90}{x}$.
(2)把$x=18$代入$y=\frac{90}{x}$,得$y=\frac{90}{18}=5$.
整理,得$y=\frac{90}{x}$.
因此,y关于x的函数解析式为$y=\frac{90}{x}$.
(2)把$x=18$代入$y=\frac{90}{x}$,得$y=\frac{90}{18}=5$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先梳理已知条件：下底长为$x$，上底是下底的$\frac{1}{3}$，因此上底长为$\frac{1}{3}x$，高为$y$，梯形面积为60。首先回忆梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，将已知的量代入公式可得到含$x$和$y$的等式，再通过等式变形将$y$用含$x$的式子表示，即可得到函数解析式。解决第(2)问时，直接将$x=18$代入第(1)问求得的函数解析式中，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1) 根据梯形面积公式，结合题意列等式：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x + x)y = 60$
先化简括号内的项：$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}x · y = 60$，即$\frac{2}{3}xy = 60$
等式两边同时变形整理（$x$为梯形下底，$x＞0$），得：$y = \frac{90}{x}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{90}{x}$。
(2) 将$x=18$代入$y = \frac{90}{x}$中，得：
$y = \frac{90}{18} = 5$
【答案】
(1) $y=\frac{90}{x}$；(2) $y=5$
【知识点】
梯形面积计算，反比例函数解析式，求函数值
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何图形的面积公式即可列出等量关系，整理得到函数解析式后直接代值计算就能求解，解题时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
解决第(1)问时，先梳理已知条件：下底长为$x$，上底是下底的$\frac{1}{3}$，因此上底长为$\frac{1}{3}x$，高为$y$，梯形面积为60。首先回忆梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，将已知的量代入公式可得到含$x$和$y$的等式，再通过等式变形将$y$用含$x$的式子表示，即可得到函数解析式。解决第(2)问时，直接将$x=18$代入第(1)问求得的函数解析式中，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1) 根据梯形面积公式，结合题意列等式：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x + x)y = 60$
先化简括号内的项：$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}x · y = 60$，即$\frac{2}{3}xy = 60$
等式两边同时变形整理（$x$为梯形下底，$x＞0$），得：$y = \frac{90}{x}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{90}{x}$。
(2) 将$x=18$代入$y = \frac{90}{x}$中，得：
$y = \frac{90}{18} = 5$
【答案】
(1) $y=\frac{90}{x}$；(2) $y=5$
【知识点】
梯形面积计算，反比例函数解析式，求函数值
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何图形的面积公式即可列出等量关系，整理得到函数解析式后直接代值计算就能求解，解题时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
11.已知$y_1$是$x$的正比例函数，$y_2$是$x$的反比例函数，当自变量$x=1$时，$y_1 - y_2 = -3$；当自变量$x=2$时，$y_1 = y_2$.分别求$y_1,y_2$关于$x$的函数解析式.
答案
由题意可设$y_1=k_1x(k_1≠0),y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$.
根据题意,得$\begin{cases}k_1 -k_2=-3,\\2k_1=\frac{k_2}{2}.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=1,\\k_2=4.\end{cases}$
故$y_1,y_2$关于x的函数解析式分别为$y_1=x$,$y_2=\frac{4}{x}$.
根据题意,得$\begin{cases}k_1 -k_2=-3,\\2k_1=\frac{k_2}{2}.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=1,\\k_2=4.\end{cases}$
故$y_1,y_2$关于x的函数解析式分别为$y_1=x$,$y_2=\frac{4}{x}$.
解析
【分析】
解题时首先根据正比例函数、反比例函数的定义，分别设出两个含未知系数的函数解析式；再将题目给出的两组x对应的等量关系代入解析式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组；最后解方程组求出未知系数的值，即可得到两个函数的解析式。
【解析】
解：
∵$y_1$是$x$的正比例函数，$y_2$是$x$的反比例函数，
∴设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）。
根据题意列方程组：
当$x=1$时，$y_1 - y_2 = -3$，代入得$k_1 - k_2 = -3$；
当$x=2$时，$y_1 = y_2$，代入得$2k_1 = \frac{k_2}{2}$。
即$\begin{cases}k_1 -k_2=-3\\2k_1=\frac{k_2}{2}\end{cases}$
由第二个方程变形得$k_2=4k_1$，代入第一个方程得：
$k_1 - 4k_1 = -3$，解得$k_1=1$，
将$k_1=1$代入$k_2=4k_1$，得$k_2=4$。
【答案】
$y_1=x$，$y_2=\frac{4}{x}$
【知识点】
正比例函数的概念，反比例函数的概念，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的典型基础题，核心考查对正比例、反比例函数定义的掌握，以及用待定系数法求解函数解析式的能力，掌握两类函数的基本形式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正比例函数、反比例函数的定义，分别设出两个含未知系数的函数解析式；再将题目给出的两组x对应的等量关系代入解析式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组；最后解方程组求出未知系数的值，即可得到两个函数的解析式。
【解析】
解：
∵$y_1$是$x$的正比例函数，$y_2$是$x$的反比例函数，
∴设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）。
根据题意列方程组：
当$x=1$时，$y_1 - y_2 = -3$，代入得$k_1 - k_2 = -3$；
当$x=2$时，$y_1 = y_2$，代入得$2k_1 = \frac{k_2}{2}$。
即$\begin{cases}k_1 -k_2=-3\\2k_1=\frac{k_2}{2}\end{cases}$
由第二个方程变形得$k_2=4k_1$，代入第一个方程得：
$k_1 - 4k_1 = -3$，解得$k_1=1$，
将$k_1=1$代入$k_2=4k_1$，得$k_2=4$。
【答案】
$y_1=x$，$y_2=\frac{4}{x}$
【知识点】
正比例函数的概念，反比例函数的概念，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的典型基础题，核心考查对正比例、反比例函数定义的掌握，以及用待定系数法求解函数解析式的能力，掌握两类函数的基本形式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
12. 把$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，将所得函数值记为$y_1$；再把$x=y_1+1$代入该反比例函数中，将所得函数值记为$y_2$；然后把$x=y_2+1$代入该反比例函数中，将所得函数值记为$y_3$；……如此继续下去，则$y_{2027}=$
$2$
.答案
2
解析
【分析】
这是一道结合反比例函数求值的规律探究题，遇到这类重复操作求第n次结果的问题，首先考虑先计算前几次的结果，寻找其中的循环周期：先按照题目给出的代入规则，依次算出$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$……，观察数值的循环规律，找到周期后，用2027除以周期得到余数，余数对应周期中的第几个数，就是$y_{2027}$的结果。
【解析】
第一步：计算$y_1$
将$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1 = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$
第二步：计算$y_2$
将$x = y_1 + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$代入反比例函数，得：
$y_2 = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$
第三步：计算$y_3$
将$x = y_2 + 1 = 2 + 1 = 3$代入反比例函数，得：
$y_3 = -\frac{1}{3}$
第四步：寻找循环周期
将$x = y_3 + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$代入反比例函数，得$y_4 = -\frac{3}{2} = y_1$，由此可知函数值每3次为一个循环周期，循环顺序为：$-\frac{3}{2}$，$2$，$-\frac{1}{3}$
第五步：确定$y_{2027}$的值
计算$2027÷3=675······2$，余数为2，对应周期中的第2个数值。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数求值，周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数代入求值考查周期规律的应用，解题关键是先计算前几项找到循环周期，再根据余数确定对应项的值，计算时需细心，避免代入运算出错。
【难度系数】
0.7
这是一道结合反比例函数求值的规律探究题，遇到这类重复操作求第n次结果的问题，首先考虑先计算前几次的结果，寻找其中的循环周期：先按照题目给出的代入规则，依次算出$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$……，观察数值的循环规律，找到周期后，用2027除以周期得到余数，余数对应周期中的第几个数，就是$y_{2027}$的结果。
【解析】
第一步：计算$y_1$
将$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1 = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$
第二步：计算$y_2$
将$x = y_1 + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$代入反比例函数，得：
$y_2 = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$
第三步：计算$y_3$
将$x = y_2 + 1 = 2 + 1 = 3$代入反比例函数，得：
$y_3 = -\frac{1}{3}$
第四步：寻找循环周期
将$x = y_3 + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$代入反比例函数，得$y_4 = -\frac{3}{2} = y_1$，由此可知函数值每3次为一个循环周期，循环顺序为：$-\frac{3}{2}$，$2$，$-\frac{1}{3}$
第五步：确定$y_{2027}$的值
计算$2027÷3=675······2$，余数为2，对应周期中的第2个数值。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数求值，周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数代入求值考查周期规律的应用，解题关键是先计算前几项找到循环周期，再根据余数确定对应项的值，计算时需细心，避免代入运算出错。
【难度系数】
0.7
