23. 某数学兴趣小组在开展活动时，老师提出了这样一个问题：如图20，在△ABC中，AB=4，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.
（1）小诚在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，求证：△ABD≌△ECD. 请将证明“△ABD≌△ECD”的过程补充完整.
证明：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE.
在△ABD和△ECD中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED, \\∠ADB=∠EDC \quad (\mathrm{①}\_\_\_\_\_\_), \\BD=②\_\_\_\_\_\_ \quad (\mathrm{中点的定义}),\end{array} $
∴△ABD≌△ECD（③________________）.
（2）由（1）中的结论，根据AD与AE之间的关系，探究AD的取值范围.
【总结感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
【问题解决】（3）如图21，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=5，且∠ADE=90°，求AE的长.

23. （1）① 对顶角相等 ② $CD$ ③ SAS
（2）由（1）得，$△ ABD ≌ △ ECD$，且 $AB=4$，$AC=6$，$\therefore CE=AB=4$. 在 $△ ACE$ 中，$6-4 ＜ AE ＜ 6+4$，$\therefore 2 ＜ 2AD ＜ 10$，$\therefore 1 ＜ AD ＜ 5$
（3）延长 $AD$ 交 $EC$ 的延长线于点 $F$，如答图33 .
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，$\therefore BD = CD$. $\because AB ⊥ BC$，$EF ⊥ BC$，$\therefore ∠ ABD = ∠ FCD = 90°$.
在$△ ABD$ 和$△ FCD$ 中，$\begin{cases} ∠ ABD = ∠ FCD, \\ BD = CD, \\ ∠ ADB = ∠ FDC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ FCD$（ASA）. $\therefore CF = AB = 3$，$AD = DF$. 在$△ ADE$ 和$△ FDE$ 中，
$\begin{cases} AD = FD, \\ ∠ ADE = ∠ FDE = 90°, \\ DE = DE, \end{cases}$ $\therefore △ ADE ≌ △ FDE$（SAS）. $\therefore AE = EF$. $\because EF = CE + CF = CE + AB = 8$，$\therefore AE = 8$

【分析】
（1）第一问补全全等证明：∠ADB与∠EDC是直线AD、BC相交形成的对顶角，依据为对顶角相等；D是BC中点，故BD=CD；两组对应边相等且夹角相等，全等判定依据为SAS。
（2）第二问利用全等性质将AB转化为CE，把AB、AC、2AD集中到△ACE中，再根据三角形三边关系列不等式，结合AE=2AD即可求出AD的取值范围。
（3）第三问沿用前两问的倍长中线思路，延长AD交EC延长线于F，先证△ABD≌△FCD得到CF=AB、AD=DF，再结合∠ADE=90°证△ADE≌△FDE，将AE转化为EF，计算EF长度即可得AE的长。
【解析】
（1）在△ABD和△ECD中，AD=ED是构造的相等线段，∠ADB和∠EDC是对顶角，依据对顶角相等可得两角相等；D是BC中点，根据中点定义得BD=CD；两边及夹角对应相等，因此用SAS判定全等。
（2）由全等得CE=AB=4，在△ACE中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，得$AC-CE＜AE＜AC+CE$，代入数值得$2＜AE＜10$，又$AE=2AD$，故$1＜AD＜5$。
（3）延长AD交EC延长线于F，先由中线性质得BD=CD，结合垂直条件得两组角相等，再加对顶角相等，用ASA证△ABD≌△FCD，得CF=AB=3、AD=DF；再由∠ADE=90°得∠ADE=∠FDE，结合AD=DF、DE为公共边，用SAS证△ADE≌△FDE，得AE=EF，最后计算$EF=CE+CF=5+3=8$，即AE=8。
【答案】
（1）① 对顶角相等 ② $CD$ ③ SAS
（2）$1 ＜ AD ＜ 5$
（3）延长 $AD$ 交 $EC$ 的延长线于点 $F$，如答图33 。
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，$\therefore BD = CD$. $\because AB ⊥ BC$，$EF ⊥ BC$，$\therefore ∠ ABD = ∠ FCD = 90°$.
在$△ ABD$ 和$△ FCD$ 中，$\begin{cases} ∠ ABD = ∠ FCD, \\ BD = CD, \\ ∠ ADB = ∠ FDC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ FCD$（ASA）. $\therefore CF = AB = 3$，$AD = DF$. 在$△ ADE$ 和$△ FDE$ 中，
$\begin{cases} AD = FD, \\ ∠ ADE = ∠ FDE = 90°, \\ DE = DE, \end{cases}$ $\therefore △ ADE ≌ △ FDE$（SAS）. $\therefore AE = EF$. $\because EF = CE + CF = CE + AB = 8$，$\therefore AE = 8$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线法
【点评】
本题由浅入深引导学生掌握中点、中线条件下的辅助线构造方法，通过倍长中线构造全等三角形实现线段转化，将分散的已知条件集中到同一个三角形中求解，既考察了基础几何知识点，又锻炼了学生的转化思维与综合解题能力。
【难度系数】
0.6