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21. 如图17，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，连接AO.（1）若∠BOC=127°，求∠BAC的度数.（2）若AB=AC，求证：AO所在的直线垂直平分BC.
图17
图17答案
21. （1）$\because ∠ BOC = 127°$，$\therefore ∠ OBC + ∠ OCB = 180° - ∠ BOC = 53°$. 由条件可知 $∠ ABC = 2∠ OBC$，$∠ ACB = 2∠ OCB$，$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 2∠ OBC + 2∠ OCB = 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 106°$. $\therefore ∠ BAC = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 74°$
（2）证明：如答图31
，过点 $O$ 作 $OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，垂足分别为 $D$，$E$，$F$. 由条件可知 $OD = OE$，$OE = OF$，$\therefore OD = OF$，$\therefore OA$ 平分 $∠ BAC$. $\because AB = AC$，$\therefore OA$ 为 $BC$ 边的高线，也是 $BC$ 边的中线，即 $AO$ 所在的直线垂直平分 $BC$解析
【分析】
（1）求∠BAC的度数可按三步思考：第一步，先在△BOC中利用三角形内角和定理，算出∠OBC与∠OCB的和；第二步，结合角平分线的定义，得到∠ABC、∠ACB分别是∠OBC、∠OCB的2倍，进而求出∠ABC与∠ACB的总和；第三步，在△ABC中再次用三角形内角和定理，即可算出∠BAC的度数。
（2）要证AO所在直线垂直平分BC，已知AB=AC，结合等腰三角形三线合一的性质，只需证明AO是∠BAC的平分线即可。可过点O作三角形三边的垂线，利用角平分线的性质得到O到AB、AC的距离相等，再根据角平分线的判定定理推出AO平分∠BAC，最后结合等腰三角形性质即可得证。
【解析】
（1）在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∵∠BOC = 127°，
∴∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC = 53°。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB，
∴∠ABC + ∠ACB = 2∠OBC + 2∠OCB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 2×53°=106°。
在△ABC中，∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 106° = 74°。
（2）证明：如答图31，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE；
同理CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OE=OF，
∴OD=OF，
又
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，OA既是BC边上的高线，也是BC边上的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
【答案】
（1）$\because ∠ BOC = 127°$，$\therefore ∠ OBC + ∠ OCB = 180° - ∠ BOC = 53°$. 由条件可知 $∠ ABC = 2∠ OBC$，$∠ ACB = 2∠ OCB$，$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 2∠ OBC + 2∠ OCB = 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 106°$. $\therefore ∠ BAC = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 74°$
（2）证明：如答图31，过点 $O$ 作 $OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，垂足分别为 $D$，$E$，$F$. 由条件可知 $OD = OE$，$OE = OF$，$\therefore OD = OF$，$\therefore OA$ 平分 $∠ BAC$. $\because AB = AC$，$\therefore OA$ 为 $BC$ 边的高线，也是 $BC$ 边的中线，即 $AO$ 所在的直线垂直平分 $BC$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质与判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形模块的常规综合题，涵盖了角度计算和几何证明两类常见题型。解题的核心是熟练掌握角平分线、等腰三角形的相关定理，能灵活运用三角形内角和完成角度转换，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）求∠BAC的度数可按三步思考：第一步，先在△BOC中利用三角形内角和定理，算出∠OBC与∠OCB的和；第二步，结合角平分线的定义，得到∠ABC、∠ACB分别是∠OBC、∠OCB的2倍，进而求出∠ABC与∠ACB的总和；第三步，在△ABC中再次用三角形内角和定理，即可算出∠BAC的度数。
（2）要证AO所在直线垂直平分BC，已知AB=AC，结合等腰三角形三线合一的性质，只需证明AO是∠BAC的平分线即可。可过点O作三角形三边的垂线，利用角平分线的性质得到O到AB、AC的距离相等，再根据角平分线的判定定理推出AO平分∠BAC，最后结合等腰三角形性质即可得证。
【解析】
（1）在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∵∠BOC = 127°，
∴∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC = 53°。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB，
∴∠ABC + ∠ACB = 2∠OBC + 2∠OCB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 2×53°=106°。
在△ABC中，∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 106° = 74°。
（2）证明：如答图31
，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F。∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE；
同理CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OE=OF，
∴OD=OF，
又
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，OA既是BC边上的高线，也是BC边上的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
【答案】
（1）$\because ∠ BOC = 127°$，$\therefore ∠ OBC + ∠ OCB = 180° - ∠ BOC = 53°$. 由条件可知 $∠ ABC = 2∠ OBC$，$∠ ACB = 2∠ OCB$，$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 2∠ OBC + 2∠ OCB = 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 106°$. $\therefore ∠ BAC = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 74°$
（2）证明：如答图31
，过点 $O$ 作 $OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，垂足分别为 $D$，$E$，$F$. 由条件可知 $OD = OE$，$OE = OF$，$\therefore OD = OF$，$\therefore OA$ 平分 $∠ BAC$. $\because AB = AC$，$\therefore OA$ 为 $BC$ 边的高线，也是 $BC$ 边的中线，即 $AO$ 所在的直线垂直平分 $BC$【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质与判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形模块的常规综合题，涵盖了角度计算和几何证明两类常见题型。解题的核心是熟练掌握角平分线、等腰三角形的相关定理，能灵活运用三角形内角和完成角度转换，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
22.【问题背景】（1）如图 18，在四边形 ABCD 中，$AB=AD$，$∠ BAD=120°$，$∠ B=∠ ADC=90°$，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且$∠ EAF=60°$，探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系. 小旺同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 $DG=BE$，连接 AG，先证明$△ ABE ≌ △ ADG$，再证明$△ AEF ≌ △ AGF$，可得出结论，他的结论是
【实际应用】（2）如图 19，在新修的小区中，有块四边形绿地 ABCD，四周修有步行小径，且 $AB=AD$，$∠ B+∠ D=180°$，在小径 BC，CD 上各修一个凉亭 E，F，在凉亭 E 与 F 之间有一片池塘，不能直接到达. 经测量得到$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，$BE=10\ \mathrm{m}$，$DF=15\ \mathrm{m}$，试求两个凉亭之间的距离 EF.
$EF=BE+DF$
.【实际应用】（2）如图 19，在新修的小区中，有块四边形绿地 ABCD，四周修有步行小径，且 $AB=AD$，$∠ B+∠ D=180°$，在小径 BC，CD 上各修一个凉亭 E，F，在凉亭 E 与 F 之间有一片池塘，不能直接到达. 经测量得到$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，$BE=10\ \mathrm{m}$，$DF=15\ \mathrm{m}$，试求两个凉亭之间的距离 EF.
答案
22. （1）$EF=BE+DF$
（2）如答图32
，延长 $CD$ 至点 $H$，使 $DH=BE$，连接 $AH$. $\because ∠ B + ∠ ADC = 180°$，$∠ ADH + ∠ ADC = 180°$，$\therefore ∠ B = ∠ ADH$.在$△ ABE$ 和$△ ADH$ 中，$\begin{cases} BE = DH, \\ ∠ B = ∠ ADH, \\ AB = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADH$（SAS）. $\therefore AE = AH$，$∠ BAE = ∠ DAH$. $\because ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ BAD$，$\therefore ∠ HAF = ∠ DAH + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD - ∠ EAF = ∠ EAF$. 在$△ AEF$ 和$△ AHF$ 中，$\begin{cases} AE = AH, \\ ∠ EAF = ∠ HAF, \\ AF = AF, \end{cases}$ $\therefore △ AEF ≌ △ AHF$（SAS）.
$\therefore EF = HF$. $\because FH = DH + DF = BE + DF$，$\therefore EF = BE + DF$. $\because BE = 10\ \mathrm{m}$，$DF = 15\ \mathrm{m}$，$\therefore EF = 10 + 15 = 25\ (\mathrm{m})$
解析
【分析】
（1）本题可按照题干给出的思路推导：先通过延长FD构造DG=BE，利用AB=AD、∠B=∠ADG=90°，用SAS证明△ABE≌△ADG，得到对应边、对应角相等；再结合∠EAF=60°、∠BAD=120°，推导得到∠EAF=∠GAF，结合公共边AF，用SAS证明△AEF≌△AGF，从而得到三条线段的数量关系。
（2）本题是（1）中几何模型的实际应用，类比（1）的辅助线作法，延长CD至H使DH=BE，利用∠B+∠ADC=180°可得∠B=∠ADH，先证△ABE≌△ADH，再结合∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD推导得到∠EAF=∠HAF，证△AEF≌△AHF，即可得到EF与BE、DF的关系，代入数值计算即可。
【解析】
（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG。
∵∠B=∠ADG=90°，AB=AD，DG=BE，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=60°=∠EAF，
又
∵AF=AF，AE=AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF=GD+DF=BE+DF。
（2）如答图32，延长 $CD$ 至点 $H$，使 $DH=BE$，连接 $AH$.
$\because ∠ B + ∠ ADC = 180°$，$∠ ADH + ∠ ADC = 180°$，$\therefore ∠ B = ∠ ADH$.
在$△ ABE$ 和$△ ADH$ 中，
$\begin{cases} BE = DH, \\ ∠ B = ∠ ADH, \\ AB = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADH$（SAS）.
$\therefore AE = AH$，$∠ BAE = ∠ DAH$.
$\because ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ BAD$，
$\therefore ∠ HAF = ∠ DAH + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD - ∠ EAF = ∠ EAF$.
在$△ AEF$ 和$△ AHF$ 中，
$\begin{cases} AE = AH, \\ ∠ EAF = ∠ HAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AHF$（SAS）.
$\therefore EF = HF$.
$\because FH = DH + DF = BE + DF$，
$\therefore EF = BE + DF$.
$\because BE = 10\ \mathrm{m}$，$DF = 15\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF = 10 + 15 = 25\ (\mathrm{m})$
【答案】
（1）$EF=BE+DF$
（2）两个凉亭之间的距离EF为25m，辅助线图：
【知识点】
全等三角形的判定与性质，截长补短法，补角的性质
【点评】
本题是“半角模型”的典型考查，第一问给出解题思路降低了难度，第二问需要将第一问的方法进行迁移，核心是通过补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上，进而得到线段和差关系，解决此类问题的关键是熟悉全等三角形的构造方法，学会将几何模型应用到实际问题中。
【难度系数】
0.65
（1）本题可按照题干给出的思路推导：先通过延长FD构造DG=BE，利用AB=AD、∠B=∠ADG=90°，用SAS证明△ABE≌△ADG，得到对应边、对应角相等；再结合∠EAF=60°、∠BAD=120°，推导得到∠EAF=∠GAF，结合公共边AF，用SAS证明△AEF≌△AGF，从而得到三条线段的数量关系。
（2）本题是（1）中几何模型的实际应用，类比（1）的辅助线作法，延长CD至H使DH=BE，利用∠B+∠ADC=180°可得∠B=∠ADH，先证△ABE≌△ADH，再结合∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD推导得到∠EAF=∠HAF，证△AEF≌△AHF，即可得到EF与BE、DF的关系，代入数值计算即可。
【解析】
（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG。
∵∠B=∠ADG=90°，AB=AD，DG=BE，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=60°=∠EAF，
又
∵AF=AF，AE=AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF=GD+DF=BE+DF。
（2）如答图32
，延长 $CD$ 至点 $H$，使 $DH=BE$，连接 $AH$.$\because ∠ B + ∠ ADC = 180°$，$∠ ADH + ∠ ADC = 180°$，$\therefore ∠ B = ∠ ADH$.
在$△ ABE$ 和$△ ADH$ 中，
$\begin{cases} BE = DH, \\ ∠ B = ∠ ADH, \\ AB = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADH$（SAS）.
$\therefore AE = AH$，$∠ BAE = ∠ DAH$.
$\because ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ BAD$，
$\therefore ∠ HAF = ∠ DAH + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD - ∠ EAF = ∠ EAF$.
在$△ AEF$ 和$△ AHF$ 中，
$\begin{cases} AE = AH, \\ ∠ EAF = ∠ HAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AHF$（SAS）.
$\therefore EF = HF$.
$\because FH = DH + DF = BE + DF$，
$\therefore EF = BE + DF$.
$\because BE = 10\ \mathrm{m}$，$DF = 15\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF = 10 + 15 = 25\ (\mathrm{m})$
【答案】
（1）$EF=BE+DF$
（2）两个凉亭之间的距离EF为25m，辅助线图：
【知识点】
全等三角形的判定与性质，截长补短法，补角的性质
【点评】
本题是“半角模型”的典型考查，第一问给出解题思路降低了难度，第二问需要将第一问的方法进行迁移，核心是通过补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上，进而得到线段和差关系，解决此类问题的关键是熟悉全等三角形的构造方法，学会将几何模型应用到实际问题中。
【难度系数】
0.65
