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19. 我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这样的三角形称为“美好三角形”. 如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“美好三角形”. 如图15，∠AOB=40°，点C在边OA上，过点C作EC⊥OA交OB于点E，以C为端点作射线CD，交线段OE于点F（点F不与O，E重合）.
【概念理解】（1）∠CEO=
【应用拓展】（2）若∠CFE=75°，试说明：△OCF是“美好三角形”.
【概念理解】（1）∠CEO=
$50°$
，△OCE 不是
“美好三角形”（填“是”或“不是”）.【应用拓展】（2）若∠CFE=75°，试说明：△OCF是“美好三角形”.
答案
19. （1）$50°$ 不是
（2）$\because ∠ CFE = 75°$，$\therefore ∠ CFO = 180° - ∠ CFE = 105°$. $\because ∠ COF = 40°$，$\therefore ∠ OCF = ∠ CFE - ∠ COF = 35°$. $\because 3∠ OCF = 105° = ∠ CFO$，$\therefore △ OCF$ 是 “美好三角形”
（2）$\because ∠ CFE = 75°$，$\therefore ∠ CFO = 180° - ∠ CFE = 105°$. $\because ∠ COF = 40°$，$\therefore ∠ OCF = ∠ CFE - ∠ COF = 35°$. $\because 3∠ OCF = 105° = ∠ CFO$，$\therefore △ OCF$ 是 “美好三角形”
解析
【分析】
（1）首先根据垂直的定义可得△OCE中∠OCE=90°，结合已知∠AOB=40°，利用三角形内角和为180°即可求出∠CEO的度数；再对比△OCE三个内角的度数，判断是否存在一个角是另一个角的3倍，即可确定它是不是“美好三角形”。
（2）先利用邻补角互补的性质，由∠CFE的度数求出∠CFO的度数，再结合△OCF中已知的∠COF=40°，利用三角形外角的性质求出∠OCF的度数，最后验证三个角中是否存在3倍关系，即可证明△OCF是“美好三角形”。
【解析】
（1）
∵EC⊥OA，
∴∠OCE=90°，
在△OCE中，∠COE=40°，
∴∠CEO=180°-∠OCE-∠COE=180°-90°-40°=50°。
△OCE的三个内角度数为90°、40°、50°，不存在一个角的度数是另一个角的3倍，因此△OCE不是“美好三角形”。
（2）
∵∠CFE=75°，∠CFO与∠CFE互为邻补角，
∴∠CFO=180°-∠CFE=180°-75°=105°。
∵∠CFE是△OCF的外角，∠COF=40°，
∴∠OCF=∠CFE-∠COF=75°-40°=35°。
∵3∠OCF=3×35°=105°=∠CFO，符合“美好三角形”的定义，
∴△OCF是“美好三角形”。
【答案】
（1）$\boldsymbol{50°}$，$\boldsymbol{不是}$
（2）△OCF是“美好三角形”，证明过程如上。
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角的性质，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查三角形角度的相关计算，解题核心是准确理解“美好三角形”的定义，熟练运用三角形角度相关性质求出对应角的度数，再对照定义判断即可，解题时注意不要遗漏角度之间的倍数关系验证。
【难度系数】
0.8
（1）首先根据垂直的定义可得△OCE中∠OCE=90°，结合已知∠AOB=40°，利用三角形内角和为180°即可求出∠CEO的度数；再对比△OCE三个内角的度数，判断是否存在一个角是另一个角的3倍，即可确定它是不是“美好三角形”。
（2）先利用邻补角互补的性质，由∠CFE的度数求出∠CFO的度数，再结合△OCF中已知的∠COF=40°，利用三角形外角的性质求出∠OCF的度数，最后验证三个角中是否存在3倍关系，即可证明△OCF是“美好三角形”。
【解析】
（1）
∵EC⊥OA，
∴∠OCE=90°，
在△OCE中，∠COE=40°，
∴∠CEO=180°-∠OCE-∠COE=180°-90°-40°=50°。
△OCE的三个内角度数为90°、40°、50°，不存在一个角的度数是另一个角的3倍，因此△OCE不是“美好三角形”。
（2）
∵∠CFE=75°，∠CFO与∠CFE互为邻补角，
∴∠CFO=180°-∠CFE=180°-75°=105°。
∵∠CFE是△OCF的外角，∠COF=40°，
∴∠OCF=∠CFE-∠COF=75°-40°=35°。
∵3∠OCF=3×35°=105°=∠CFO，符合“美好三角形”的定义，
∴△OCF是“美好三角形”。
【答案】
（1）$\boldsymbol{50°}$，$\boldsymbol{不是}$
（2）△OCF是“美好三角形”，证明过程如上。
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角的性质，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查三角形角度的相关计算，解题核心是准确理解“美好三角形”的定义，熟练运用三角形角度相关性质求出对应角的度数，再对照定义判断即可，解题时注意不要遗漏角度之间的倍数关系验证。
【难度系数】
0.8
20. 在如图16所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，已知点A，B均在格点上，且A，B两点的坐标分别为（3，4），（-1，-2），点C与点B关于x轴对称.
（1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标为
（2）已知点P在y轴上，且PA＝PC，则点P的坐标为
（3）已知点D(1，0)，若Q为y轴上一点，且使得QA＋QD最小，则点Q的坐标为
（1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标为
$(-1,2)$
.（2）已知点P在y轴上，且PA＝PC，则点P的坐标为
$(0,5)$
.（3）已知点D(1，0)，若Q为y轴上一点，且使得QA＋QD最小，则点Q的坐标为
$(0,1)$
.答案
20. （1）由题意，根据点的坐标确定原点的位置，画出坐标系，确定点 $C$ 的坐标，作图如答图30
. 由图可知，$C(-1,2)$（2）如答图30
，点 $P$ 即为所求. 由图可知 $P(0,5)$（3）如答图30
，点 $Q$ 即为所求. 由图可知 $Q(0,1)$解析
【分析】
首先解决第(1)问：已知点A(3,4)、B(-1,-2)，先根据坐标定位原点：从A点向左平移3个单位、向下平移4个单位即可得到坐标原点，画出x轴和y轴；点C与B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数即可求出C的坐标。
第(2)问：点P在y轴上，可设P的坐标为(0,y)，根据PA=PC，利用两点间距离公式列方程求解，也可利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，找AC的垂直平分线与y轴的交点。
第(3)问：属于将军饮马最短路径问题，要使y轴上的Q满足QA+QD最小，先作A关于y轴的对称点A'，根据轴对称性质QA=QA'，则QA+QD=QA'+QD，当A'、Q、D三点共线时和最小，求直线A'D与y轴的交点即为Q点坐标。
【解析】
（1）根据点A(3,4)，向左数3格、向下数4格确定坐标原点O，画出水平向右的x轴和竖直向上的y轴，即得到平面直角坐标系。
因为点C与B(-1,-2)关于x轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以C点横坐标为-1，纵坐标为-(-2)=2，即C(-1,2)。
（2）设点P的坐标为(0,y)（P在y轴上，横坐标为0），由PA=PC，根据两点间距离公式：
$PA=\sqrt{(3-0)^2+(4-y)^2}$，$PC=\sqrt{(-1-0)^2+(2-y)^2}$
两边平方得：$3^2+(4-y)^2=(-1)^2+(2-y)^2$
展开计算：$9 + 16 - 8y + y^2 = 1 + 4 - 4y + y^2$
消去$y^2$后整理得：$25 - 8y = 5 - 4y$
移项解得：$4y=20，y=5$
所以P点坐标为(0,5)。
（3）作点A关于y轴的对称点A'，A(3,4)关于y轴对称的点A'坐标为(-3,4)。根据轴对称性质，$QA=QA'$，因此$QA+QD=QA'+QD$，根据两点之间线段最短，当A'、Q、D三点共线时，$QA'+QD$最小，即$QA+QD$最小。
设直线A'D的解析式为$y=kx+b$，将A'(-3,4)、D(1,0)代入得：
$\begin{cases}4=-3k+b\\0=k+b\end{cases}$
用第一个式子减第二个式子得：$4=-4k$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$0=k+b$得$b=1$，所以直线A'D的解析式为$y=-x+1$。
Q在y轴上，即$x=0$，代入解析式得$y=1$，所以Q点坐标为(0,1)。
【答案】
（1）作图如答图30，$C(-1,2)$
（2）作图如答图30，$P(0,5)$
（3）作图如答图30，$Q(0,1)$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 两点间距离公式
3. 最短路径问题
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质结合的基础综合题，既考察了坐标系的基本应用、轴对称的坐标规律，也结合了最短路径的经典模型，解题时注意将几何性质与坐标运算结合，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：已知点A(3,4)、B(-1,-2)，先根据坐标定位原点：从A点向左平移3个单位、向下平移4个单位即可得到坐标原点，画出x轴和y轴；点C与B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数即可求出C的坐标。
第(2)问：点P在y轴上，可设P的坐标为(0,y)，根据PA=PC，利用两点间距离公式列方程求解，也可利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，找AC的垂直平分线与y轴的交点。
第(3)问：属于将军饮马最短路径问题，要使y轴上的Q满足QA+QD最小，先作A关于y轴的对称点A'，根据轴对称性质QA=QA'，则QA+QD=QA'+QD，当A'、Q、D三点共线时和最小，求直线A'D与y轴的交点即为Q点坐标。
【解析】
（1）根据点A(3,4)，向左数3格、向下数4格确定坐标原点O，画出水平向右的x轴和竖直向上的y轴，即得到平面直角坐标系。
因为点C与B(-1,-2)关于x轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以C点横坐标为-1，纵坐标为-(-2)=2，即C(-1,2)。
（2）设点P的坐标为(0,y)（P在y轴上，横坐标为0），由PA=PC，根据两点间距离公式：
$PA=\sqrt{(3-0)^2+(4-y)^2}$，$PC=\sqrt{(-1-0)^2+(2-y)^2}$
两边平方得：$3^2+(4-y)^2=(-1)^2+(2-y)^2$
展开计算：$9 + 16 - 8y + y^2 = 1 + 4 - 4y + y^2$
消去$y^2$后整理得：$25 - 8y = 5 - 4y$
移项解得：$4y=20，y=5$
所以P点坐标为(0,5)。
（3）作点A关于y轴的对称点A'，A(3,4)关于y轴对称的点A'坐标为(-3,4)。根据轴对称性质，$QA=QA'$，因此$QA+QD=QA'+QD$，根据两点之间线段最短，当A'、Q、D三点共线时，$QA'+QD$最小，即$QA+QD$最小。
设直线A'D的解析式为$y=kx+b$，将A'(-3,4)、D(1,0)代入得：
$\begin{cases}4=-3k+b\\0=k+b\end{cases}$
用第一个式子减第二个式子得：$4=-4k$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$0=k+b$得$b=1$，所以直线A'D的解析式为$y=-x+1$。
Q在y轴上，即$x=0$，代入解析式得$y=1$，所以Q点坐标为(0,1)。
【答案】
（1）作图如答图30
，$C(-1,2)$（2）作图如答图30
，$P(0,5)$（3）作图如答图30
，$Q(0,1)$【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 两点间距离公式
3. 最短路径问题
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质结合的基础综合题，既考察了坐标系的基本应用、轴对称的坐标规律，也结合了最短路径的经典模型，解题时注意将几何性质与坐标运算结合，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
