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15. 如图11，将长方形纸片ABCD沿AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F。若∠FCE=42°，则∠CAB的度数是
$24°$
。答案
15. $24°$
解析
【分析】
解题时先回忆长方形与折叠的性质：首先长方形四个角都是直角、对边平行，折叠前后对应角、对应边相等。第一步先由折叠和长方形对边平行的性质，推导得出∠EAC=∠DCA，即△AFC为等腰三角形；第二步在Rt△EFC中利用直角三角形两锐角互余算出∠EFC的度数，进而得到邻补角∠AFC的度数；最后在等腰△AFC中利用三角形内角和算出底角∠FAC的度数，也就是所求的∠CAB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：△ABC≌△AEC，
∴∠E=∠B=90°，∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，即∠FAC=∠FCA，
∴△AFC为等腰三角形。
在Rt△EFC中，∠E=90°，∠FCE=42°，
∴∠EFC=90°-∠FCE=90°-42°=48°。
∵A、F、E三点共线，
∴∠AFC=180°-∠EFC=180°-48°=132°。
在△AFC中，由三角形内角和为180°得：
∠FAC+∠FCA+∠AFC=180°，
又
∵∠FAC=∠FCA，
∴2∠FAC=180°-132°=48°，
解得∠FAC=24°，
∴∠CAB=∠FAC=24°。
【答案】
$24°$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的常见几何题型，将折叠变换、平行线性质、等腰三角形判定与性质相结合，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，挖掘图中的等腰三角形，再结合三角形内角和公式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆长方形与折叠的性质：首先长方形四个角都是直角、对边平行，折叠前后对应角、对应边相等。第一步先由折叠和长方形对边平行的性质，推导得出∠EAC=∠DCA，即△AFC为等腰三角形；第二步在Rt△EFC中利用直角三角形两锐角互余算出∠EFC的度数，进而得到邻补角∠AFC的度数；最后在等腰△AFC中利用三角形内角和算出底角∠FAC的度数，也就是所求的∠CAB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：△ABC≌△AEC，
∴∠E=∠B=90°，∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，即∠FAC=∠FCA，
∴△AFC为等腰三角形。
在Rt△EFC中，∠E=90°，∠FCE=42°，
∴∠EFC=90°-∠FCE=90°-42°=48°。
∵A、F、E三点共线，
∴∠AFC=180°-∠EFC=180°-48°=132°。
在△AFC中，由三角形内角和为180°得：
∠FAC+∠FCA+∠AFC=180°，
又
∵∠FAC=∠FCA，
∴2∠FAC=180°-132°=48°，
解得∠FAC=24°，
∴∠CAB=∠FAC=24°。
【答案】
$24°$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的常见几何题型，将折叠变换、平行线性质、等腰三角形判定与性质相结合，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，挖掘图中的等腰三角形，再结合三角形内角和公式求解即可。
【难度系数】
0.7
16. 如图12，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC=16，BD=24，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动。假设移动时间为t s，当△DEG与△BFG全等时，t=
2，4或5
。答案
16. 2，4或5
解析
【分析】
首先由AD//BC可得∠EDG=∠FBG，即△DEG和△BFG有一组相等的对应角，要使两个三角形全等，根据SAS全等判定，需分两种对应边情况讨论：①DE=BF，DG=BG；②DE=BG，DG=BF。其次点F做往返运动，需分F沿C→B运动（去程）、沿B→C运动（返程）两个阶段分别表示BF的长度，列方程求解后检验t是否符合对应阶段的时间范围，舍去无效解即可。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠EDG=∠FBG
若△DEG≌△BFG，分两种对应情况，同时分F的两个运动阶段讨论：
已知DE=2t，BD=24，BC=16
1. 当$0≤ t≤\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\ \mathrm{s}$时，F沿C→B运动，$BF=16-6t$
情况1：$DE=BF$，$DG=BG$
∵$DG+BG=BD=24$，
∴$DG=BG=12$
列方程：$2t=16-6t$
解得$t=2$，符合$0≤ t≤\frac{8}{3}$，有效
情况2：$DE=BG$，$DG=BF$
则$DE+BF=BG+DG=24$
列方程：$2t + (16-6t)=24$
解得$t=-2$，不符合时间要求，舍去
2. 当$\frac{8}{3}＜ t≤\frac{32}{6}=\frac{16}{3}\ \mathrm{s}$时，F沿B→C返程运动，$BF=6t-16$
情况1：$DE=BF$，$DG=BG=12$
列方程：$2t=6t-16$
解得$t=4$，符合$\frac{8}{3}＜ t≤\frac{16}{3}$，有效
情况2：$DE=BG$，$DG=BF$
则$DE+BF=24$
列方程：$2t + (6t-16)=24$
解得$t=5$，符合$\frac{8}{3}＜ t≤\frac{16}{3}$，有效
综上，t的值为2，4或5
【答案】
2，4或5
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，动点分类讨论
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题型，解题关键是先确定两个三角形的相等对应角，再分全等对应边、点F运动阶段两种分类维度讨论，求解后要注意检验解的合理性，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.3
首先由AD//BC可得∠EDG=∠FBG，即△DEG和△BFG有一组相等的对应角，要使两个三角形全等，根据SAS全等判定，需分两种对应边情况讨论：①DE=BF，DG=BG；②DE=BG，DG=BF。其次点F做往返运动，需分F沿C→B运动（去程）、沿B→C运动（返程）两个阶段分别表示BF的长度，列方程求解后检验t是否符合对应阶段的时间范围，舍去无效解即可。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠EDG=∠FBG
若△DEG≌△BFG，分两种对应情况，同时分F的两个运动阶段讨论：
已知DE=2t，BD=24，BC=16
1. 当$0≤ t≤\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\ \mathrm{s}$时，F沿C→B运动，$BF=16-6t$
情况1：$DE=BF$，$DG=BG$
∵$DG+BG=BD=24$，
∴$DG=BG=12$
列方程：$2t=16-6t$
解得$t=2$，符合$0≤ t≤\frac{8}{3}$，有效
情况2：$DE=BG$，$DG=BF$
则$DE+BF=BG+DG=24$
列方程：$2t + (16-6t)=24$
解得$t=-2$，不符合时间要求，舍去
2. 当$\frac{8}{3}＜ t≤\frac{32}{6}=\frac{16}{3}\ \mathrm{s}$时，F沿B→C返程运动，$BF=6t-16$
情况1：$DE=BF$，$DG=BG=12$
列方程：$2t=6t-16$
解得$t=4$，符合$\frac{8}{3}＜ t≤\frac{16}{3}$，有效
情况2：$DE=BG$，$DG=BF$
则$DE+BF=24$
列方程：$2t + (6t-16)=24$
解得$t=5$，符合$\frac{8}{3}＜ t≤\frac{16}{3}$，有效
综上，t的值为2，4或5
【答案】
2，4或5
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，动点分类讨论
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题型，解题关键是先确定两个三角形的相等对应角，再分全等对应边、点F运动阶段两种分类维度讨论，求解后要注意检验解的合理性，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.3
三、解答题
17. 如图 13，在$△ ABC$中，$AB=AC=4$.
（1）作 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 M，交 AB 于点 N.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接 BM，若$△ MBC$的周长是 6.5，求 BC 的长.
17. 如图 13，在$△ ABC$中，$AB=AC=4$.
（1）作 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 M，交 AB 于点 N.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接 BM，若$△ MBC$的周长是 6.5，求 BC 的长.
答案
17. （1）如答图29
（2）$\because MN$ 是 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AM = BM$，$\because△ MBC$ 的周长是 6.5，$AC=4$，$\therefore MB+MC+BC=AM+CM+BC=AC+BC=6.5$，$\therefore BC=2.5$
解析
【分析】
（1）作AB的垂直平分线时，只需分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，就是AB的垂直平分线，按要求保留作图痕迹即可。
（2）求BC的长时，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$AM=BM$。观察$△ MBC$的周长组成是$BM+MC+BC$，把$BM$替换为$AM$，周长就可以转化为$AM+MC+BC=AC+BC$，已知AC的长度和$△ MBC$的周长，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
（1）作图按尺规作图要求完成，痕迹如参考答图即可。
（2）解：$\because MN$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AM = BM$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
$\because △ MBC$的周长是6.5，
$\therefore MB+MC+BC=6.5$，
将$MB=AM$代入上式可得：$AM+CM+BC=6.5$，
又$\because AM+CM=AC=4$，
$\therefore 4+BC=6.5$，
解得$BC=6.5-4=2.5$。
【答案】
（1）如答图29
（2）$BC=2.5$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，将尺规作图和几何计算相结合，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，把未知三角形的周长转化为已知线段与待求边的和，进而求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
（1）作AB的垂直平分线时，只需分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，就是AB的垂直平分线，按要求保留作图痕迹即可。
（2）求BC的长时，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$AM=BM$。观察$△ MBC$的周长组成是$BM+MC+BC$，把$BM$替换为$AM$，周长就可以转化为$AM+MC+BC=AC+BC$，已知AC的长度和$△ MBC$的周长，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
（1）作图按尺规作图要求完成，痕迹如参考答图即可。
（2）解：$\because MN$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AM = BM$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
$\because △ MBC$的周长是6.5，
$\therefore MB+MC+BC=6.5$，
将$MB=AM$代入上式可得：$AM+CM+BC=6.5$，
又$\because AM+CM=AC=4$，
$\therefore 4+BC=6.5$，
解得$BC=6.5-4=2.5$。
【答案】
（1）如答图29
（2）$BC=2.5$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，将尺规作图和几何计算相结合，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，把未知三角形的周长转化为已知线段与待求边的和，进而求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
18. 小明利用一根长2 m的竹竿来测量垂直于地面的路灯AB的高度. 他的方法如下：如图14, 在路灯前选一点P, 使BP=2 m, 并测得∠APB=77°, 然后把竖直的竹竿CD（CD=2 m）在BP的延长线上左右移动, 使∠CPD=13°, 此时测得BD=8.5 m. 请根据这些数据, 计算出路灯AB的高度.
答案
18. $\because CD ⊥ BP$，$AB ⊥ BP$，$\therefore ∠ CDP = ∠ PBA = 90°$. $\therefore ∠ C = 90° - ∠ CPD = 77°$，$\therefore ∠ C = ∠ APB$. 又 $\because CD = PB = 2\ \mathrm{m}$，$\therefore △ CDP ≌ △ PBA$（ASA）. $\therefore AB = PD$. $\because BD = 8.5\ \mathrm{m}$，$BP = 2\ \mathrm{m}$，$\therefore AB = PD = BD - BP = 6.5\ (\mathrm{m})$. $\therefore$ 路灯 $AB$ 的高度为 $6.5\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知CD、AB均垂直于地面，可得△CDP和△PBA都是直角三角形。首先利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠C的度数，可发现∠C与已知的∠APB相等，再结合已知CD=PB=2m、两个三角形的直角相等，即可利用ASA判定两个三角形全等，随后根据全等三角形对应边相等的性质，将求AB高度的问题转化为求PD长度的问题，最后结合BD、BP的长度计算PD即可得到结果。
【解析】
$\because CD ⊥ BP$，$AB ⊥ BP$，
$\therefore ∠ CDP = ∠ PBA = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDP$中，$∠ C = 90° - ∠ CPD = 90°-13°=77°$，
$\therefore ∠ C = ∠ APB$，
在$△ CDP$和$△ PBA$中：
$\begin{cases}∠C=∠APB \\CD=PB=2\ \mathrm{m} \\∠CDP=∠PBA\end{cases}$
$\therefore △ CDP ≌ △ PBA$（ASA），
$\therefore AB = PD$，
$\because BD = 8.5\ \mathrm{m}$，$BP = 2\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB = PD = BD - BP = 8.5-2=6.5\ (\mathrm{m})$。
【答案】
路灯$AB$的高度为$6.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中测量高度的实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过角度推导找到全等三角形的判定条件，将未知线段转化为已知线段的差求解，很好地体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，已知CD、AB均垂直于地面，可得△CDP和△PBA都是直角三角形。首先利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠C的度数，可发现∠C与已知的∠APB相等，再结合已知CD=PB=2m、两个三角形的直角相等，即可利用ASA判定两个三角形全等，随后根据全等三角形对应边相等的性质，将求AB高度的问题转化为求PD长度的问题，最后结合BD、BP的长度计算PD即可得到结果。
【解析】
$\because CD ⊥ BP$，$AB ⊥ BP$，
$\therefore ∠ CDP = ∠ PBA = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDP$中，$∠ C = 90° - ∠ CPD = 90°-13°=77°$，
$\therefore ∠ C = ∠ APB$，
在$△ CDP$和$△ PBA$中：
$\begin{cases}∠C=∠APB \\CD=PB=2\ \mathrm{m} \\∠CDP=∠PBA\end{cases}$
$\therefore △ CDP ≌ △ PBA$（ASA），
$\therefore AB = PD$，
$\because BD = 8.5\ \mathrm{m}$，$BP = 2\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB = PD = BD - BP = 8.5-2=6.5\ (\mathrm{m})$。
【答案】
路灯$AB$的高度为$6.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中测量高度的实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过角度推导找到全等三角形的判定条件，将未知线段转化为已知线段的差求解，很好地体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.7
