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8. 如图4，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（3a，4b＋2），则a与b的数量关系为（
A.$3a - 2b = 2$
B.$3a + 2b = -2$
C.$3a - 4b = 2$
D.$3a + 4b = -2$
D
）.A.$3a - 2b = 2$
B.$3a + 2b = -2$
C.$3a - 4b = 2$
D.$3a + 4b = -2$
答案
8. D
解析
【分析】
首先识别题中的作图操作：这是尺规作角平分线的标准步骤，由此可知点P在第二象限的角平分线上。接下来回忆第二象限角平分线上点的坐标特征：第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，角平分线上的点到x轴、y轴的距离相等，因此横纵坐标互为相反数，即横纵坐标之和为0。最后将点P的坐标代入这个特征关系，整理等式就能得到a和b的数量关系。
【解析】
解：由题意可知，题中的作图方法是作第二象限的角平分线，因此点P在第二象限的角平分线上。
第二象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，即横坐标 + 纵坐标 = 0。
将点P的坐标$(3a, 4b+2)$代入得：
$3a + (4b + 2) = 0$
移项整理可得：$3a + 4b = -2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题将尺规作图和平面直角坐标系的知识结合考查，解题的关键是准确识别作图类型，熟记特殊位置点的坐标特征，再通过简单的代数变形得到结果。
【难度系数】
0.7
首先识别题中的作图操作：这是尺规作角平分线的标准步骤，由此可知点P在第二象限的角平分线上。接下来回忆第二象限角平分线上点的坐标特征：第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，角平分线上的点到x轴、y轴的距离相等，因此横纵坐标互为相反数，即横纵坐标之和为0。最后将点P的坐标代入这个特征关系，整理等式就能得到a和b的数量关系。
【解析】
解：由题意可知，题中的作图方法是作第二象限的角平分线，因此点P在第二象限的角平分线上。
第二象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，即横坐标 + 纵坐标 = 0。
将点P的坐标$(3a, 4b+2)$代入得：
$3a + (4b + 2) = 0$
移项整理可得：$3a + 4b = -2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题将尺规作图和平面直角坐标系的知识结合考查，解题的关键是准确识别作图类型，熟记特殊位置点的坐标特征，再通过简单的代数变形得到结果。
【难度系数】
0.7
9. 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角. 这就是光的反射定律. 如图5，两平面镜AB与BC的夹角为$α$，一条光线经过两次反射后，$∠ AEF = ∠ GEB$，$∠ BGE = ∠ CGH$，可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反，则$α$的度数为（
A.$60°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
C
）.A.$60°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先利用入射光线EF和反射光线GH平行且反向的条件，结合平行线的性质得到两个同旁内角的和为180°；再根据平角为180°、题目给出的反射角等于入射角的等角关系，推导出△BEG中两个锐角的和；最后利用三角形内角和定理即可求出夹角α的度数。
【解析】
∵ 光线EF与GH平行且方向相反
∴ ∠FEG + ∠EGH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ 平角的度数为180°
∴ ∠AEF + ∠GEB + ∠FEG = 180°，∠CGH + ∠BGE + ∠EGH = 180°
将两式相加得：∠AEF + ∠GEB + ∠FEG + ∠CGH + ∠BGE + ∠EGH = 360°
又
∵ ∠AEF = ∠GEB，∠BGE = ∠CGH，且∠FEG + ∠EGH = 180°
代入得：$2∠GEB + 2∠BGE + 180° = 360°$
化简得：$∠GEB + ∠BGE = 90°$
在△BEG中，根据三角形内角和为180°可得：
$α + ∠GEB + ∠BGE = 180°$
∴ $α = 180° - (∠GEB + ∠BGE) = 180° - 90° = 90°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题是跨学科的基础题型，结合了光的反射规律和几何角度计算，重点考查角的等量关系转化能力，只要理清各个角之间的联系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用入射光线EF和反射光线GH平行且反向的条件，结合平行线的性质得到两个同旁内角的和为180°；再根据平角为180°、题目给出的反射角等于入射角的等角关系，推导出△BEG中两个锐角的和；最后利用三角形内角和定理即可求出夹角α的度数。
【解析】
∵ 光线EF与GH平行且方向相反
∴ ∠FEG + ∠EGH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ 平角的度数为180°
∴ ∠AEF + ∠GEB + ∠FEG = 180°，∠CGH + ∠BGE + ∠EGH = 180°
将两式相加得：∠AEF + ∠GEB + ∠FEG + ∠CGH + ∠BGE + ∠EGH = 360°
又
∵ ∠AEF = ∠GEB，∠BGE = ∠CGH，且∠FEG + ∠EGH = 180°
代入得：$2∠GEB + 2∠BGE + 180° = 360°$
化简得：$∠GEB + ∠BGE = 90°$
在△BEG中，根据三角形内角和为180°可得：
$α + ∠GEB + ∠BGE = 180°$
∴ $α = 180° - (∠GEB + ∠BGE) = 180° - 90° = 90°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题是跨学科的基础题型，结合了光的反射规律和几何角度计算，重点考查角的等量关系转化能力，只要理清各个角之间的联系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图6，$△ ABC$的三条角平分线交于点O，若$AB=50$，$BC=60$，$CA=70$，则$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=$（
A.$1:1:1$
B.$7:6:5$
C.$6:5:7$
D.$5:6:7$
D
）.A.$1:1:1$
B.$7:6:5$
C.$6:5:7$
D.$5:6:7$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是三条角平分线的交点，因此O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，这个距离就是三个小三角形对应底边的高。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，代入三边长度化简比即可得到结果。
【解析】
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、CA三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × BC × h$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2} × CA × h$
因此面积比为：
$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA$
代入$AB=50,BC=60,CA=70$，得$50:60:70=5:6:7$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相等，从而将面积比转化为对应边长的比，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是三条角平分线的交点，因此O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，这个距离就是三个小三角形对应底边的高。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，代入三边长度化简比即可得到结果。
【解析】
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、CA三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × BC × h$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2} × CA × h$
因此面积比为：
$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA$
代入$AB=50,BC=60,CA=70$，得$50:60:70=5:6:7$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相等，从而将面积比转化为对应边长的比，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
11. 如图7，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，E是AB上一点，且$BE=BC$，过点E作$DE⊥ AB$交AC于点D，连接BD. 如果$AC=3\ \mathrm{cm}$，则$AD+DE$等于（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
B
）.A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
11. B
解析
【分析】
要计算AD+DE的长度，观察图形可尝试通过全等三角形转化线段。首先发现图中有两个直角三角形Rt△BCD和Rt△BED，已知BE=BC，且BD是两个三角形的公共斜边，可通过HL判定两三角形全等，利用全等性质得到DE=CD，即可将AD+DE转化为AC的长度，直接代入已知条件求解。
【解析】
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\quad (\mathrm{公共边})\\BC=BE\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴CD=DE（全等三角形对应边相等），
∴AD+DE=AD+CD=AC，
∵AC=3cm，
∴AD+DE=3cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
HL全等判定；全等三角形的性质；线段和差转化
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过全等三角形实现未知线段的转化，将所求两条线段的和转化为已知长度的线段，降低计算难度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算AD+DE的长度，观察图形可尝试通过全等三角形转化线段。首先发现图中有两个直角三角形Rt△BCD和Rt△BED，已知BE=BC，且BD是两个三角形的公共斜边，可通过HL判定两三角形全等，利用全等性质得到DE=CD，即可将AD+DE转化为AC的长度，直接代入已知条件求解。
【解析】
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\quad (\mathrm{公共边})\\BC=BE\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴CD=DE（全等三角形对应边相等），
∴AD+DE=AD+CD=AC，
∵AC=3cm，
∴AD+DE=3cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
HL全等判定；全等三角形的性质；线段和差转化
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过全等三角形实现未知线段的转化，将所求两条线段的和转化为已知长度的线段，降低计算难度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 如图8，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转$60°$得到BN，连接HN。则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（
A.$\frac{1}{2}a$
B.$a$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
D.$\sqrt{3}a$
A
）。A.$\frac{1}{2}a$
B.$a$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
D.$\sqrt{3}a$
答案
12. A
解析
【分析】
解题时先结合等边三角形和旋转的性质找全等关系，确定动点N的运动轨迹：①由旋转性质得BM=BN、∠MBN=60°，结合等边三角形∠ABC=60°，可证△CBM≌△ABN；②由全等得∠BAN=∠BCM=30°，可知N始终在与AB成30°角的固定射线AN上运动；③求HN的最小值即求定点H到射线AN的最短距离，根据垂线段最短，结合直角三角形30°角的性质即可求出最小值。
【解析】
1. 连接AN，
∵△ABC是边长为2a的等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CH是等边△ABC的高，
∴CH平分∠ACB，H是AB中点，
∴∠BCM=30°，AH=BH=a。
2. 由旋转的性质可得：BM=BN，∠MBN=60°，
∴∠ABC - ∠ABM = ∠MBN - ∠ABM，即∠CBM=∠ABN。
3. 在△CBM和△ABN中：
$\{\begin{array}{l}BC=BA\\ ∠ CBM=∠ ABN\\ BM=BN\end{array} $
∴△CBM≌△ABN（SAS），
∴∠BAN=∠BCM=30°，即射线AN为固定射线，与AB的夹角恒为30°。
4. 根据垂线段最短，当HN⊥AN时，HN的长度最小，
在Rt△AHN中，∠HAN=30°，AH=a，
∴HN=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}a$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短
【点评】
本题属于几何动态最值问题，解题核心是通过全等三角形将未知动点的轨迹转化为固定射线，再利用点到直线的距离最短的性质求解，能有效考查对图形变换和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
解题时先结合等边三角形和旋转的性质找全等关系，确定动点N的运动轨迹：①由旋转性质得BM=BN、∠MBN=60°，结合等边三角形∠ABC=60°，可证△CBM≌△ABN；②由全等得∠BAN=∠BCM=30°，可知N始终在与AB成30°角的固定射线AN上运动；③求HN的最小值即求定点H到射线AN的最短距离，根据垂线段最短，结合直角三角形30°角的性质即可求出最小值。
【解析】
1. 连接AN，
∵△ABC是边长为2a的等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CH是等边△ABC的高，
∴CH平分∠ACB，H是AB中点，
∴∠BCM=30°，AH=BH=a。
2. 由旋转的性质可得：BM=BN，∠MBN=60°，
∴∠ABC - ∠ABM = ∠MBN - ∠ABM，即∠CBM=∠ABN。
3. 在△CBM和△ABN中：
$\{\begin{array}{l}BC=BA\\ ∠ CBM=∠ ABN\\ BM=BN\end{array} $
∴△CBM≌△ABN（SAS），
∴∠BAN=∠BCM=30°，即射线AN为固定射线，与AB的夹角恒为30°。
4. 根据垂线段最短，当HN⊥AN时，HN的长度最小，
在Rt△AHN中，∠HAN=30°，AH=a，
∴HN=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}a$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短
【点评】
本题属于几何动态最值问题，解题核心是通过全等三角形将未知动点的轨迹转化为固定射线，再利用点到直线的距离最短的性质求解，能有效考查对图形变换和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
二、填空题
13. 如图9，已知$AB=AC$，$∠ B=∠ C$，$∠ AEB=120°$，则$∠ BDC=$
13. 如图9，已知$AB=AC$，$∠ B=∠ C$，$∠ AEB=120°$，则$∠ BDC=$
$60°$
。答案
13. $60°$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，寻找全等三角形的判定条件：已知AB=AC、∠B=∠C，还有公共角∠A，可先证明△ABE和△ACD全等，得到∠ADC的度数，再利用邻补角的和为180°的性质，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角相等})\\AB=AC \quad (\mathrm{已知})\\∠B=∠C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$
$\therefore ∠ADC=∠AEB=120° \ (\mathrm{全等三角形对应角相等})$
$\because ∠BDC$与$∠ADC$是邻补角，$∠ BDC + ∠ ADC = 180°$
$\therefore ∠BDC=180° - 120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是挖掘图形中的公共角这一隐含条件，先证明三角形全等，再结合邻补角的性质计算角度，是全等三角形应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，寻找全等三角形的判定条件：已知AB=AC、∠B=∠C，还有公共角∠A，可先证明△ABE和△ACD全等，得到∠ADC的度数，再利用邻补角的和为180°的性质，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角相等})\\AB=AC \quad (\mathrm{已知})\\∠B=∠C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$
$\therefore ∠ADC=∠AEB=120° \ (\mathrm{全等三角形对应角相等})$
$\because ∠BDC$与$∠ADC$是邻补角，$∠ BDC + ∠ ADC = 180°$
$\therefore ∠BDC=180° - 120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是挖掘图形中的公共角这一隐含条件，先证明三角形全等，再结合邻补角的性质计算角度，是全等三角形应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 如图10，BD是$△ ABC$的中线，$AB=16$，$BC=10$，$△ ABD$和$△ BCD$的周长的差是
6
。答案
14. 6
解析
【分析】
要计算△ABD和△BCD的周长差，首先根据三角形中线的定义，可知BD是中线时AD=CD。分别写出两个三角形的周长表达式后，会发现两个周长中都包含公共边BD，且AD=CD，因此二者的周长差实际就是AB与BC的长度差，代入数值计算即可。
【解析】
∵ BD是△ABC的中线
∴ AD = CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△BCD的周长 = BC + BD + CD
两个三角形的周长差为：
$\begin{split}&(AB + BD + AD) - (BC + BD + CD)\\=&AB + BD + AD - BC - BD - CD\end{split}$
∵ AD=CD，BD为公共边
∴ 上式化简为 $AB - BC$
代入$AB=16$，$BC=10$得：$16 - 10 = 6$
【答案】
6
【知识点】
1. 三角形中线的定义
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用三角形中线的性质消去两个周长表达式中的相同项，简化计算过程，熟练掌握三角形中线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算△ABD和△BCD的周长差，首先根据三角形中线的定义，可知BD是中线时AD=CD。分别写出两个三角形的周长表达式后，会发现两个周长中都包含公共边BD，且AD=CD，因此二者的周长差实际就是AB与BC的长度差，代入数值计算即可。
【解析】
∵ BD是△ABC的中线
∴ AD = CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△BCD的周长 = BC + BD + CD
两个三角形的周长差为：
$\begin{split}&(AB + BD + AD) - (BC + BD + CD)\\=&AB + BD + AD - BC - BD - CD\end{split}$
∵ AD=CD，BD为公共边
∴ 上式化简为 $AB - BC$
代入$AB=16$，$BC=10$得：$16 - 10 = 6$
【答案】
6
【知识点】
1. 三角形中线的定义
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用三角形中线的性质消去两个周长表达式中的相同项，简化计算过程，熟练掌握三角形中线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
