1. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂。
即$(ab)^n=$（$n$为正整数）。
推广：$(abc)^n=$（$n$为正整数）。
2. $a^n b^n=$（$n$为正整数）。

1. 相乘 $a^n b^n$ $a^n b^n c^n$ 2. $(ab)^n$

【分析】
本题主要考查积的乘方的基本法则及其逆用，解题时直接对应积的乘方的概念内容填写即可：首先回忆积的乘方的文字表述，明确乘方后所得幂的运算方式；再根据文字法则推导基础公式和多因式的推广公式；最后根据积的乘方公式的逆变形，写出同指数幂相乘的化简结果。
【解析】
1. 根据积的乘方的定义：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
对$(ab)^n$展开，相当于$n$个$ab$相乘，即$\underbrace{ab× ab× \dots × ab}_{n个}$，拆分后为$\underbrace{a× a× \dots × a}_{n个} × \underbrace{b× b× \dots × b}_{n个}=a^n b^n$；
推广到三个因式的情况，$(abc)^n$同理可得$a^n b^n c^n$。
2. 该式为积的乘方法则的逆用：当两个幂的指数相同时，可将底数相乘后再乘方，因此$a^n b^n=(ab)^n$。
【答案】
1. 相乘 $a^n b^n$ $a^n b^n c^n$ 2. $(ab)^n$
【知识点】
积的乘方法则；积的乘方逆用；幂的运算推广
【点评】
本题属于基础概念考察题，直接对应积的乘方的核心内容，需要准确记忆法则的文字表述、公式正用及逆用形式，是后续整式混合运算的基础。
【难度系数】
0.9

例 $(-0.25)^{2026} × 4^{2027}$ 的结果是（）.
A. $-1$
B. $1$
C. $4$
D. $-4$
解 $(-0.25)^{2026} × 4^{2027} = (-0.25)^{2026} × 4^{2026} × 4 = [(-0.25) × 4]^{2026} × 4 = 1 × 4 = 4$.
故选 C.
方法感悟 积的乘方可以拆成多个数相乘；遇到底数可以凑整的情况，可以转化为指数相同的形式.

解：
$(-0.25)^{2026} × 4^{2027}$
$= (-0.25)^{2026} × 4^{2026} × 4$
$= [(-0.25) × 4]^{2026} × 4$
$= (-1)^{2026} × 4$
$= 1 × 4$
$= 4$
故选 C。

【分析】
本题考查幂的相关运算，观察算式可知，两个幂的底数-0.25和4相乘结果为-1，可凑整，且两个幂的指数仅相差1。解题时首先利用同底数幂乘法的逆运算，将$4^{2027}$拆分为$4^{2026}×4$，使两个幂的指数统一为2026；再利用积的乘方的逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，先计算底数的乘积，再计算乘方；最后乘剩余的4即可，计算时注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
$\begin{split}&(-0.25)^{2026} × 4^{2027}\\=& (-0.25)^{2026} × 4^{2026} × 4\\=& [(-0.25) × 4]^{2026} × 4\\=& (-1)^{2026} × 4\\=& 1 × 4\\=& 4\end{split}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方逆用，同底数幂乘法，有理数乘方
【点评】
本题是幂运算的常规题型，核心是灵活运用积的乘方的逆运算简化高次幂的计算，当遇到底数乘积可凑整的高次乘法时，优先将指数调整为相同再用积的乘方公式计算，同时要注意负数乘方的符号判断，避免符号出错。
【难度系数】
0.7

1. 计算$(xy^2)^3$的结果是（）.

A.$3xy^2$
B.$xy^6$
C.$x^3y^5$
D.$x^3y^6$

1. D

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路为先运用积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方，再对含有乘方的项运用幂的乘方法则计算，最后匹配对应选项即可。解题前需明确两个核心法则：1. 积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数）；2. 幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），按照法则逐步计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算法则分步计算：
1. 运用积的乘方法则，将$(xy^2)^3$中的两个因式$x$、$y^2$分别乘3次方：
$(xy^2)^3 = x^3 · (y^2)^3$
2. 运用幂的乘方法则计算$(y^2)^3$，底数不变，指数相乘：
$(y^2)^3 = y^{2×3}=y^6$
3. 合并结果得$(xy^2)^3=x^3y^6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础常规题，主要考查对幂运算相关法则的掌握程度，解题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现指数相加的错误。
【难度系数】
0.9

2. $(-2a^3)^2$等于（）.

A.$4a^5$
B.$4a^6$
C.$-4a^5$
D.$-4a^6$

2. B

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：第一步，识别算式属于积的乘方的形式，需运用积的乘方运算法则，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；第二步，针对底数含字母的幂的乘方部分，运用幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘；第三步，结合符号运算和指数计算结果，对应选项选出正确答案。计算时要注意负数的偶次幂为正，避免符号和指数运算出错。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$(-2a^3)^2=(-2)^2· (a^3)^2$
先计算常数项的乘方：$(-2)^2=4$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{m× n}$，计算字母部分：$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
将两部分结果合并得：$(-2a^3)^2=4a^6$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算模块的基础常考题，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的应用，易错点是容易误将幂的乘方的指数运算算成加法，或者对负数乘方的符号判断错误，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

3. 将$(2 × 10^2)^3$写成科学记数法的形式为（）.

A.$6 × 10^5$
B.$6 × 10^6$
C.$8 × 10^5$
D.$8 × 10^6$

3. D

【分析】
本题需要利用幂的运算规则计算式子结果，再判断是否符合科学记数法要求。解题思路如下：第一步，回忆积的乘方法则，将括号内的两个因式分别乘方；第二步，运用幂的乘方法则计算10的幂次部分；第三步，整理计算结果，对照科学记数法的定义匹配选项即可。
【解析】
根据幂的运算法则逐步计算：
1. 由积的乘方法则$\boldsymbol{(ab)^n=a^n b^n}$，可得：
$(2× 10^2)^3=2^3× (10^2)^3$
2. 分别计算两部分：
$2^3=8$；由幂的乘方法则$\boldsymbol{(a^m)^n=a^{mn}}$，可得$(10^2)^3=10^{2×3}=10^6$
3. 合并结果得$8× 10^6$，符合科学记数法形式，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；科学记数法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察幂的运算规则的应用，只要熟练掌握积的乘方、幂的乘方的运算规律，计算过程中避免指数计算错误、系数乘方错误，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

4.若$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{15}$，则$m$，$n$的值分别为（）.

A.9，5
B.5，3
C.3，5
D.6，12

4. C

【分析】
解决本题的核心是先运用幂的相关运算法则化简等式左侧的表达式，再利用“等式两边相同底数的幂相等时，对应指数相等”的规律列方程求解。具体思路为：第一步，根据积的乘方运算法则，将括号内的每个因式分别乘方；第二步，根据幂的乘方运算法则计算乘方后的结果，得到含m、n的指数式；第三步，让等式左右两边同底数幂的指数分别相等，得到关于m、n的一元一次方程，解方程即可得到m、n的值。
【解析】
首先化简等式左边的式子：
根据积的乘方运算法则$\boldsymbol{(ab)^n=a^n b^n}$，可得：
$(a^m b^n)^3=(a^m)^3 · (b^n)^3$
再根据幂的乘方运算法则$\boldsymbol{(a^p)^q=a^{pq}}$，可得：
$(a^m)^3 = a^{3m}$，$(b^n)^3 = b^{3n}$
因此等式左边化简为$a^{3m}b^{3n}$。
已知等式为$a^{3m}b^{3n}=a^9 b^{15}$，等式两边同底数幂的指数对应相等，因此可列方程：
$3m=9$，$3n=15$
分别解方程得：
$m=9÷3=3$，$n=15÷3=5$
因此m、n的值分别为3、5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂相等的条件
【点评】
本题属于幂的运算的基础考查题，重点考察对幂的运算法则的记忆与应用能力，解题关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方的运算规则，通过指数对应相等建立方程求解，是整式运算板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

5. 计算$(\dfrac{3}{2})^{2025} · (-\dfrac{2}{3})^{2026}$的结果是（）。

A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$

5. D

【分析】
首先观察算式特征，两个幂的底数互为倒数，指数仅相差1，解题思路如下：第一步先根据负数的偶次幂为正，去掉第二个幂的负号；第二步将指数较高的幂拆成和另一个幂同指数的部分乘底数的一次幂；第三步逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，将同指数的两个幂合并计算，最后化简得出结果即可。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=(\frac{3}{2})^{2025}×(\frac{2}{3})^{2026}\\&=(\frac{3}{2})^{2025}×(\frac{2}{3})^{2025}×\frac{2}{3}\\&=(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})^{2025}×\frac{2}{3}\\&=1^{2025}×\frac{2}{3}\\&=\frac{2}{3}\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运算、幂的符号法则
【点评】
本题属于幂的运算的常考基础题型，核心是利用底数互为倒数的特征，拆分高次幂后逆用积的乘方公式简化计算，解题时要注意准确判断负数幂的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

6. 计算：$(-0.25)^{11} · 4^{11} = ( \_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_ )^{11} = \_\_\_\_\_\_$

6. $-0.25$ 4 $-1$

【分析】
解题时先观察式子特征，可发现两个相乘的幂的指数均为11，符合积的乘方逆运算的适用条件。回忆积的乘方公式：$(ab)^n=a^n·b^n$，反过来当两个幂的指数相同时，可将公式逆用为$a^n·b^n=(ab)^n$，先把两个底数相乘再计算乘方，就能简化计算，无需分别求解两个高次幂的结果，计算时注意不要遗漏第一个底数的负号。
【解析】
根据积的乘方的逆运算公式$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：
$(-0.25)^{11} · 4^{11} = ( -0.25 × 4 )^{11}$
先计算括号内的乘法：$-0.25×4=-1$
再计算乘方：$(-1)^{11}=-1$
【答案】
$-0.25$；$4$；$-1$
【知识点】
积的乘方逆运算；有理数乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算中积的乘方的逆运用，解题核心是识别同指数幂相乘的结构特征，逆用公式简化运算，注意底数的符号是避免出错的关键，属于幂运算的基础应用型题目。
【难度系数】
0.8

7.若$2^{x+1} · 3^{x+1} = 6^{2x-1}$，则$x$的值为

7. 2

【分析】
观察等式左边的两个幂，发现指数相同，可逆用积的乘方运算公式，将左边合并为底数为6的幂，此时等式两边底数相同，根据“底数不为0且不为1时，若两个同底数幂相等，则指数相等”的性质，可将幂的方程转化为一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
解：逆用积的乘方运算法则，对等式左边变形：
$2^{x+1} · 3^{x+1} = (2×3)^{x+1} = 6^{x+1}$
则原方程可化为：
$6^{x+1} = 6^{2x-1}$
由于底数$6≠0$且$6≠1$，因此等式两边幂相等时指数相等，可得：
$x+1 = 2x - 1$
移项计算：
$2x - x = 1 + 1$
$x = 2$
【答案】
2
【知识点】
积的乘方逆运算，同底数幂的性质，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活运用，逆用积的乘方公式将等式两边转化为同底数幂是解题的切入点，整体难度较低，熟练掌握幂的相关运算性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8. 计算：
(1) $(xy)^5$；
(2) $(3m^2n)^3$；
(3) $(-2×10^3)^3$；
(4) $(-\dfrac{2}{3}x^2y)^4$。

（1）$x^5 y^5$ （2）$27 m^6 n^3$ （3）$-8×10^9$ （4）$\dfrac{16}{81}x^8 y^4$

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题核心是运用积的乘方法则：积的乘方，要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；遇到幂的乘方时，遵循底数不变、指数相乘的规则，同时注意系数（含负号）的乘方运算，步骤上先拆分积的各个因式，再分别计算各因式的乘方，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则计算：
$\begin{aligned}(xy)^5&=x^5· y^5\\&=x^5y^5\end{aligned}$
(2) 拆分因式分别乘方，结合幂的乘方法则计算：
$\begin{aligned}(3m^2n)^3&=3^3· (m^2)^3· n^3\\&=27· m^{2×3}· n^3\\&=27m^6n^3\end{aligned}$
(3) 注意负号的乘方和10的幂的乘方运算：
$\begin{aligned}(-2×10^3)^3&=(-2)^3· (10^3)^3\\&=-8· 10^{3×3}\\&=-8×10^9\end{aligned}$
(4) 注意负因数的偶次幂为正，分数乘方时分子分母分别乘方：
$\begin{aligned}(-\dfrac{2}{3}x^2y)^4&=(-\dfrac{2}{3})^4· (x^2)^4· y^4\\&=\dfrac{16}{81}· x^{2×4}· y^4\\&=\dfrac{16}{81}x^8y^4\end{aligned}$
【答案】
（1）$x^5 y^5$ （2）$27 m^6 n^3$ （3）$-8×10^9$ （4）$\dfrac{16}{81}x^8 y^4$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；有理数乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础常规题，核心考察对积的乘方、幂的乘方法则的应用，解题时需注意负号的奇偶次幂符号变化、系数的乘方运算不要和指数运算混淆，熟练掌握法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8