登录
10.(1) 已知 $a^m = 3$，$a^n = 4$，求 $a^{2m+3n}$ 的值.
(2) 已知 $(9^n)^2 = 3^{12}$，求 $n$ 的值.
(2) 已知 $(9^n)^2 = 3^{12}$，求 $n$ 的值.
答案
10. （1）576 （2）3
解析
【分析】
（1）计算$a^{2m+3n}$时，先观察指数为“和”的形式，可逆用同底数幂的乘法法则，将其拆分为$a^{2m}· a^{3n}$；再观察两个因式的指数为“乘积”形式，可逆用幂的乘方法则，转化为$(a^m)^2·(a^n)^3$，最后代入已知数值计算即可。
（2）等式左右两边底数不同，先将左边底数9转化为$3^2$，再根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”化简左边，得到底数为3的幂；根据“同底数幂相等时指数相等”列方程，即可求出n的值。
【解析】
（1）逆用幂的运算性质：
$a^{2m+3n}=a^{2m}· a^{3n}=(a^m)^2·(a^n)^3$
将$a^m=3$，$a^n=4$代入上式：
原式$=3^2×4^3=9×64=576$
（2）先统一等式两边的底数：
$\because(9^n)^2=[(3^2)^n]^2=3^{4n}$
已知$(9^n)^2=3^{12}$，可得$3^{4n}=3^{12}$
由同底数幂相等则指数相等，得：$4n=12$
解得：$n=3$
【答案】
（1）$\boxed{576}$；（2）$\boxed{3}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，重点考查幂的运算性质的灵活运用，统一底数是解决底数不同的幂等式的常用技巧，熟练掌握运算性质的正用和逆用是解题核心。
【难度系数】
0.8
（1）计算$a^{2m+3n}$时，先观察指数为“和”的形式，可逆用同底数幂的乘法法则，将其拆分为$a^{2m}· a^{3n}$；再观察两个因式的指数为“乘积”形式，可逆用幂的乘方法则，转化为$(a^m)^2·(a^n)^3$，最后代入已知数值计算即可。
（2）等式左右两边底数不同，先将左边底数9转化为$3^2$，再根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”化简左边，得到底数为3的幂；根据“同底数幂相等时指数相等”列方程，即可求出n的值。
【解析】
（1）逆用幂的运算性质：
$a^{2m+3n}=a^{2m}· a^{3n}=(a^m)^2·(a^n)^3$
将$a^m=3$，$a^n=4$代入上式：
原式$=3^2×4^3=9×64=576$
（2）先统一等式两边的底数：
$\because(9^n)^2=[(3^2)^n]^2=3^{4n}$
已知$(9^n)^2=3^{12}$，可得$3^{4n}=3^{12}$
由同底数幂相等则指数相等，得：$4n=12$
解得：$n=3$
【答案】
（1）$\boxed{576}$；（2）$\boxed{3}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，重点考查幂的运算性质的灵活运用，统一底数是解决底数不同的幂等式的常用技巧，熟练掌握运算性质的正用和逆用是解题核心。
【难度系数】
0.8
11. 阅读探究题：
【阅读材料】比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：
$2^5＞2^3$，$5^5＞4^5$。
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，再进行比较，如：$27^{10}$与$3^{25}$。
解：$27^{10}=(3^3)^{10}=3^{30}$，
$\because 30＞25$，
$\therefore 3^{30}＞3^{25}$。
$\therefore 27^{10}＞3^{25}$。
（1）上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质？（
A.同底数幂的乘法
B.同底数幂的除法
C.幂的乘方
D.积的乘方
【类比解答】（2）比较$25^4$，$125^3$的大小。
【拓展提高】（3）比较$3^{555}$，$4^{444}$，$5^{333}$的大小。
【阅读材料】比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：
$2^5＞2^3$，$5^5＞4^5$。
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，再进行比较，如：$27^{10}$与$3^{25}$。
解：$27^{10}=(3^3)^{10}=3^{30}$，
$\because 30＞25$，
$\therefore 3^{30}＞3^{25}$。
$\therefore 27^{10}＞3^{25}$。
（1）上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质？（
C
）A.同底数幂的乘法
B.同底数幂的除法
C.幂的乘方
D.积的乘方
【类比解答】（2）比较$25^4$，$125^3$的大小。
【拓展提高】（3）比较$3^{555}$，$4^{444}$，$5^{333}$的大小。
答案
11. （1）C （2）$\because 25^4=(5^2)^4=5^8$，$125^3=(5^3)^3=5^9$，$5^8＜5^9$，$\therefore 25^4＜125^3$ （3）$\because 3^{555}=(3^5)^{111}=243^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}=256^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}=125^{111}$，$125^{111}＜243^{111}＜256^{111}$，$\therefore 5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$
解析
【分析】
（1）首先看题干中的变形过程：将$27^{10}$转化为$(3^3)^{10}$再得到$3^{30}$，符合幂的乘方“底数不变，指数相乘”的运算特征，对应选项即可。
（2）比较$25^4$和$125^3$时，观察到两个底数25、125都可以写成以5为底的幂，因此先统一底数为5，再利用幂的乘方法则计算指数，最后根据“底数大于1的同底数幂，指数越大幂越大”的规则判断大小即可。
（3）比较$3^{555}$、$4^{444}$、$5^{333}$时，观察到三个指数555、444、333的最大公因数是111，因此可以利用幂的乘方法则，将三个幂的指数都统一为111，计算对应的底数，再根据“同指数幂，底数越大幂越大”的规则判断大小即可。
【解析】
（1）题干中$27^{10}=(3^3)^{10}=3^{3×10}=3^{30}$，运用的是幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），故选C。
（2）将两个幂统一为以5为底数的幂：
$25^4=(5^2)^4=5^{2×4}=5^8$，
$125^3=(5^3)^3=5^{3×3}=5^9$，
$\because$ 底数$5＞1$，指数$8＜9$，
$\therefore 5^8＜5^9$，即$25^4＜125^3$。
（3）将三个幂的指数统一为111：
$3^{555}=3^{5×111}=(3^5)^{111}=243^{111}$，
$4^{444}=4^{4×111}=(4^4)^{111}=256^{111}$，
$5^{333}=5^{3×111}=(5^3)^{111}=125^{111}$，
$\because$ 指数都为111，底数$125＜243＜256$，
$\therefore 125^{111}＜243^{111}＜256^{111}$，即$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{C}$
（2）$\boldsymbol{25^4＜125^3}$
（3）$\boldsymbol{5^{333}＜3^{555}＜4^{444}}$
【知识点】
幂的乘方运算、幂的大小比较、有理数大小比较
【点评】
本题是幂运算的典型应用题型，核心解题思路是将不同底数、不同指数的幂通过幂的乘方法则，转化为同底数或同指数的幂再进行大小比较，要求熟练掌握幂的运算性质，学会观察底数或指数的特征进行变形。
【难度系数】
0.7
（1）首先看题干中的变形过程：将$27^{10}$转化为$(3^3)^{10}$再得到$3^{30}$，符合幂的乘方“底数不变，指数相乘”的运算特征，对应选项即可。
（2）比较$25^4$和$125^3$时，观察到两个底数25、125都可以写成以5为底的幂，因此先统一底数为5，再利用幂的乘方法则计算指数，最后根据“底数大于1的同底数幂，指数越大幂越大”的规则判断大小即可。
（3）比较$3^{555}$、$4^{444}$、$5^{333}$时，观察到三个指数555、444、333的最大公因数是111，因此可以利用幂的乘方法则，将三个幂的指数都统一为111，计算对应的底数，再根据“同指数幂，底数越大幂越大”的规则判断大小即可。
【解析】
（1）题干中$27^{10}=(3^3)^{10}=3^{3×10}=3^{30}$，运用的是幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），故选C。
（2）将两个幂统一为以5为底数的幂：
$25^4=(5^2)^4=5^{2×4}=5^8$，
$125^3=(5^3)^3=5^{3×3}=5^9$，
$\because$ 底数$5＞1$，指数$8＜9$，
$\therefore 5^8＜5^9$，即$25^4＜125^3$。
（3）将三个幂的指数统一为111：
$3^{555}=3^{5×111}=(3^5)^{111}=243^{111}$，
$4^{444}=4^{4×111}=(4^4)^{111}=256^{111}$，
$5^{333}=5^{3×111}=(5^3)^{111}=125^{111}$，
$\because$ 指数都为111，底数$125＜243＜256$，
$\therefore 125^{111}＜243^{111}＜256^{111}$，即$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{C}$
（2）$\boldsymbol{25^4＜125^3}$
（3）$\boldsymbol{5^{333}＜3^{555}＜4^{444}}$
【知识点】
幂的乘方运算、幂的大小比较、有理数大小比较
【点评】
本题是幂运算的典型应用题型，核心解题思路是将不同底数、不同指数的幂通过幂的乘方法则，转化为同底数或同指数的幂再进行大小比较，要求熟练掌握幂的运算性质，学会观察底数或指数的特征进行变形。
【难度系数】
0.7
12. 下列运算中，正确的是（
A.$m^3 + m^3 = 2m^3$
B.$m^3 + m^3 = m^6$
C.$m^3 · m^3 = m^9$
D.$(m^3)^3 = m^6$
A
）.A.$m^3 + m^3 = 2m^3$
B.$m^3 + m^3 = m^6$
C.$m^3 · m^3 = m^9$
D.$(m^3)^3 = m^6$
答案
12. A
解析
【分析】
本题考查整式加减及幂的相关运算，解题思路是先回忆合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，再逐一验证每个选项的运算是否符合对应法则，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析A、B选项：$m^3$和$m^3$是同类项，合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，因此$m^3 + m^3=(1+1)m^3=2m^3$，故A选项运算正确，B选项运算错误。
2. 分析C选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$m^3· m^3=m^{3+3}=m^6≠ m^9$，故C选项运算错误。
3. 分析D选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(m^3)^3=m^{3×3}=m^9≠ m^6$，故D选项运算错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对不同运算法则的区分，解题时要注意不要混淆合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则，记准对应法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式加减及幂的相关运算，解题思路是先回忆合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，再逐一验证每个选项的运算是否符合对应法则，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析A、B选项：$m^3$和$m^3$是同类项，合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，因此$m^3 + m^3=(1+1)m^3=2m^3$，故A选项运算正确，B选项运算错误。
2. 分析C选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$m^3· m^3=m^{3+3}=m^6≠ m^9$，故C选项运算错误。
3. 分析D选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(m^3)^3=m^{3×3}=m^9≠ m^6$，故D选项运算错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对不同运算法则的区分，解题时要注意不要混淆合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则，记准对应法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 计算$($
$)^3$的结果是（
A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^a + 3$
D.$a^{3a}$
$)^3$的结果是（D
）.A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^a + 3$
D.$a^{3a}$
答案
13. D
解析
【分析】
解题首先要明确图示的含义：图中表示的是a个a相乘，根据乘方的定义可先将括号内的部分转化为幂的形式，再利用幂的乘方运算法则计算其三次方即可。第一步先将多个相同因数相乘的形式转化为乘方形式，第二步套用幂的乘方法则，底数不变指数相乘，即可算出结果。
【解析】
根据乘方的定义，a个a相乘可表示为$a^a$，即括号内的式子为$a^a$。
再根据幂的乘方运算规则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），计算$(a^a)^3$可得：
$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义、幂的乘方运算
【点评】
本题重点考查乘方的含义和幂的乘方法则的应用，准确理解图示对应的乘方形式是解题的前提，熟记幂运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确图示的含义：图中表示的是a个a相乘，根据乘方的定义可先将括号内的部分转化为幂的形式，再利用幂的乘方运算法则计算其三次方即可。第一步先将多个相同因数相乘的形式转化为乘方形式，第二步套用幂的乘方法则，底数不变指数相乘，即可算出结果。
【解析】
根据乘方的定义，a个a相乘可表示为$a^a$，即括号内的式子为$a^a$。
再根据幂的乘方运算规则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），计算$(a^a)^3$可得：
$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义、幂的乘方运算
【点评】
本题重点考查乘方的含义和幂的乘方法则的应用，准确理解图示对应的乘方形式是解题的前提，熟记幂运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
14. 计算$(a^2)^3=$
$a^6$
.答案
14. $a^6$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方运算，解题时首先识别运算类型：本题属于幂的乘方运算，即一个幂再次进行乘方运算，对应的核心规则是幂的乘方法则，运算时底数保持不变，仅需将两个指数相乘，我们只要确定底数和对应的两个指数，代入法则计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（其中$m、n$均为正整数）。
本题中底数为$a$，两个指数分别为$m=2$、$n=3$，代入法则计算：
$(a^2)^3 = a^{2×3} = a^6$
【答案】
$a^6$
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂的乘方法则的记忆与应用，解题时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算规则，避免混淆指数相加、指数相乘的适用场景，属于基础必得分题目。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的乘方运算，解题时首先识别运算类型：本题属于幂的乘方运算，即一个幂再次进行乘方运算，对应的核心规则是幂的乘方法则，运算时底数保持不变，仅需将两个指数相乘，我们只要确定底数和对应的两个指数，代入法则计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（其中$m、n$均为正整数）。
本题中底数为$a$，两个指数分别为$m=2$、$n=3$，代入法则计算：
$(a^2)^3 = a^{2×3} = a^6$
【答案】
$a^6$
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂的乘方法则的记忆与应用，解题时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算规则，避免混淆指数相加、指数相乘的适用场景，属于基础必得分题目。
【难度系数】
0.9
