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9. 已知 $ n $ 为正整数，且 $ x^{2n}=2 $，求 $ (3x^{3n})^2 -4(x^2)^{2n} $ 的值。
答案
9. 56
解析
【分析】
我们已知$x^{2n}=2$，要求代数式的值，首先需要运用幂的运算性质对待求式进行化简，将其转化为只含有$x^{2n}$的形式，再整体代入已知数值计算即可。具体思路：第一步利用积的乘方、幂的乘方法则展开化简待求式；第二步将$x^{6n}$变形为$(x^{2n})^3$，$x^{4n}$变形为$(x^{2n})^2$，统一为已知的$x^{2n}$的形式；第三步代入数值计算结果。
【解析】
解：先利用幂的运算法则化简原式：
$\begin{aligned}(3x^{3n})^2 -4(x^2)^{2n}&=3^2· (x^{3n})^2 - 4· x^{2×2n}\\&=9x^{6n} - 4x^{4n}\\&=9(x^{2n})^3 - 4(x^{2n})^2\end{aligned}$
将$x^{2n}=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=9×2^3 -4×2^2\\&=9×8 -4×4\\&=72 - 16\\&=56\end{aligned}$
【答案】
56
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的相关运算的应用，解题的核心是熟练掌握幂的运算法则，通过逆用幂的乘方法则将待求式转化为与已知条件相关的形式，再利用整体代入思想求解，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
我们已知$x^{2n}=2$，要求代数式的值，首先需要运用幂的运算性质对待求式进行化简，将其转化为只含有$x^{2n}$的形式，再整体代入已知数值计算即可。具体思路：第一步利用积的乘方、幂的乘方法则展开化简待求式；第二步将$x^{6n}$变形为$(x^{2n})^3$，$x^{4n}$变形为$(x^{2n})^2$，统一为已知的$x^{2n}$的形式；第三步代入数值计算结果。
【解析】
解：先利用幂的运算法则化简原式：
$\begin{aligned}(3x^{3n})^2 -4(x^2)^{2n}&=3^2· (x^{3n})^2 - 4· x^{2×2n}\\&=9x^{6n} - 4x^{4n}\\&=9(x^{2n})^3 - 4(x^{2n})^2\end{aligned}$
将$x^{2n}=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=9×2^3 -4×2^2\\&=9×8 -4×4\\&=72 - 16\\&=56\end{aligned}$
【答案】
56
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的相关运算的应用，解题的核心是熟练掌握幂的运算法则，通过逆用幂的乘方法则将待求式转化为与已知条件相关的形式，再利用整体代入思想求解，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
10. 阅读下列材料，解决问题.
材料一：比较 $3^{22}$ 和 $4^{11}$ 的大小.
解：∵ $4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22}$，且 $3＞2$，
∴ $3^{22}＞2^{22}$，即 $3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较 $2^8$ 和 $8^2$ 的大小.
解：∵ $8^2=(2^3)^2=2^6$，且 $8＞6$，
∴ $2^8＞2^6$，即 $2^8＞8^2$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
（1）已知 $a^2=2$，$b^3=3$，比较 $a$，$b$ 的大小.
（2）比较 $3^{12}×5^{10}$ 与 $3^{10}×5^{12}$ 的大小.
材料一：比较 $3^{22}$ 和 $4^{11}$ 的大小.
解：∵ $4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22}$，且 $3＞2$，
∴ $3^{22}＞2^{22}$，即 $3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较 $2^8$ 和 $8^2$ 的大小.
解：∵ $8^2=(2^3)^2=2^6$，且 $8＞6$，
∴ $2^8＞2^6$，即 $2^8＞8^2$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
（1）已知 $a^2=2$，$b^3=3$，比较 $a$，$b$ 的大小.
（2）比较 $3^{12}×5^{10}$ 与 $3^{10}×5^{12}$ 的大小.
答案
（1）$\because a^2=2$，$b^3=3$，$\therefore a^6=8$，$b^6=9$。$\because 8＜9$，$\therefore a^6＜b^6$，$\therefore a＜b$ （2）$\because 3^{12}×5^{10}=(3×5)^{10}×3^2$，$3^{10}×5^{12}=(3×5)^{10}×5^2$。又$\because 3^2＜5^2$，$\therefore 3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$
解析
【分析】
（1）要比较a、b的大小，已知$a^2=2$、$b^3=3$，可将两个式子转化为指数相同的幂，2和3的最小公倍数是6，因此分别对$a^2$乘方3次、$b^3$乘方2次得到$a^6$和$b^6$，指数相同的情况下比较幂的大小，即可推出a、b的大小关系。
（2）观察两个待比较的式子，均含有$3^{10}$和$5^{10}$的公因式，可逆用积的乘方运算法则，提取公共部分$(3×5)^{10}$，仅比较剩余部分的大小，即可判断两个式子的大小。
【解析】
（1）$\because a^2=2$，$b^3=3$，
$\therefore (a^2)^3=2^3=8$，$(b^3)^2=3^2=9$，即$a^6=8$，$b^6=9$，
$\because 8＜9$，$\therefore a^6＜b^6$，
又$\because a$、$b$均为正数，$\therefore a＜b$。
（2）$\because 3^{12}×5^{10}=3^{10+2}×5^{10}=3^{10}×3^2×5^{10}=(3×5)^{10}×3^2$，
$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10+2}=3^{10}×5^{10}×5^2=(3×5)^{10}×5^2$，
又$\because 3^2=9$，$5^2=25$，$9＜25$，
$\therefore (3×5)^{10}×3^2＜(3×5)^{10}×5^2$，即$3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$。
【答案】
（1）$a＜b$；（2）$3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，幂的大小比较
【点评】
本题核心是灵活运用幂的运算性质，将待比较的幂或含幂的乘积转化为有公共部分的形式，通过比较剩余部分的大小得到最终结果，能有效考查对幂的运算法则的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要比较a、b的大小，已知$a^2=2$、$b^3=3$，可将两个式子转化为指数相同的幂，2和3的最小公倍数是6，因此分别对$a^2$乘方3次、$b^3$乘方2次得到$a^6$和$b^6$，指数相同的情况下比较幂的大小，即可推出a、b的大小关系。
（2）观察两个待比较的式子，均含有$3^{10}$和$5^{10}$的公因式，可逆用积的乘方运算法则，提取公共部分$(3×5)^{10}$，仅比较剩余部分的大小，即可判断两个式子的大小。
【解析】
（1）$\because a^2=2$，$b^3=3$，
$\therefore (a^2)^3=2^3=8$，$(b^3)^2=3^2=9$，即$a^6=8$，$b^6=9$，
$\because 8＜9$，$\therefore a^6＜b^6$，
又$\because a$、$b$均为正数，$\therefore a＜b$。
（2）$\because 3^{12}×5^{10}=3^{10+2}×5^{10}=3^{10}×3^2×5^{10}=(3×5)^{10}×3^2$，
$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10+2}=3^{10}×5^{10}×5^2=(3×5)^{10}×5^2$，
又$\because 3^2=9$，$5^2=25$，$9＜25$，
$\therefore (3×5)^{10}×3^2＜(3×5)^{10}×5^2$，即$3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$。
【答案】
（1）$a＜b$；（2）$3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，幂的大小比较
【点评】
本题核心是灵活运用幂的运算性质，将待比较的幂或含幂的乘积转化为有公共部分的形式，通过比较剩余部分的大小得到最终结果，能有效考查对幂的运算法则的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 计算$(2a^2)^3$的结果为（
A.$2a^5$
B.$2a^6$
C.$8a^5$
D.$8a^6$
D
）.A.$2a^5$
B.$2a^6$
C.$8a^5$
D.$8a^6$
答案
11. D
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需先回忆积的乘方、幂的乘方的运算法则：第一步，根据积的乘方法则，要把积里的每一个因式分别乘方，也就是把系数2和因式$a^2$分别做3次方运算；第二步，计算系数的乘方，再根据幂的乘方“底数不变，指数相乘”计算含字母的幂的结果，最后合并结果对应选项即可。
【解析】
根据幂的运算法则逐步计算：
1. 运用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(2a^2)^3 = 2^3 × (a^2)^3$
2. 计算系数的乘方：$2^3=8$
3. 运用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
4. 合并结果得：$(2a^2)^3=8a^6$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的应用，易错点是容易遗漏系数的乘方运算，或者混淆幂的乘方、同底数幂乘法的指数运算规则，做题时注意区分对应法则即可。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题时需先回忆积的乘方、幂的乘方的运算法则：第一步，根据积的乘方法则，要把积里的每一个因式分别乘方，也就是把系数2和因式$a^2$分别做3次方运算；第二步，计算系数的乘方，再根据幂的乘方“底数不变，指数相乘”计算含字母的幂的结果，最后合并结果对应选项即可。
【解析】
根据幂的运算法则逐步计算：
1. 运用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(2a^2)^3 = 2^3 × (a^2)^3$
2. 计算系数的乘方：$2^3=8$
3. 运用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
4. 合并结果得：$(2a^2)^3=8a^6$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的应用，易错点是容易遗漏系数的乘方运算，或者混淆幂的乘方、同底数幂乘法的指数运算规则，做题时注意区分对应法则即可。
【难度系数】
0.8
12. 下列运算正确的是（
A.$3a^2 - 2a^2 = 1$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$(3a)^2 = 6a^2$
D.$a^2 · a^4 = a^6$
D
）.A.$3a^2 - 2a^2 = 1$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$(3a)^2 = 6a^2$
D.$a^2 · a^4 = a^6$
答案
12. D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题时先回忆合并同类项法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则，再逐一计算每个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 合并同类项时，同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，因此$3a^2 - 2a^2 = (3-2)a^2 = a^2 ≠ 1$，A选项错误；
B. 幂的乘方法则为底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6 ≠ a^5$，B选项错误；
C. 积的乘方法则为把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3a)^2 = 3^2 · a^2 =9a^2 ≠ 6a^2$，C选项错误；
D. 同底数幂的乘法法则为底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^4 = a^{2+4}=a^6$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是准确区分不同运算法则中指数的变化规律，避免因混淆法则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题时先回忆合并同类项法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则，再逐一计算每个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 合并同类项时，同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，因此$3a^2 - 2a^2 = (3-2)a^2 = a^2 ≠ 1$，A选项错误；
B. 幂的乘方法则为底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6 ≠ a^5$，B选项错误；
C. 积的乘方法则为把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3a)^2 = 3^2 · a^2 =9a^2 ≠ 6a^2$，C选项错误；
D. 同底数幂的乘法法则为底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^4 = a^{2+4}=a^6$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是准确区分不同运算法则中指数的变化规律，避免因混淆法则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
