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1. 平方差公式：两个数的
和
与这两个数的差
的积，等于这两个数的平方差
.即$(a+b)(a-b)=$$a^2 - b^2$
.答案
1. 和 差 平方差 $a^2 - b^2$
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的基础定义，解题时只需回忆课本中平方差公式的内容即可。首先明确平方差公式描述的是两个数的和与差相乘的运算规律，运算结果是这两个数的平方作差，再对应写出代数形式就能完成填空。
【解析】
根据平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，对应的代数表达式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，因此四个空依次填写和、差、平方差、$a^2 - b^2$。
【答案】
和 差 平方差 $a^2 - b^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法基础
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平方差公式内容的记忆，熟练掌握公式的文字表述和代数形式是解决此类题型的核心，也是后续运用平方差公式进行简便运算、因式分解的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的基础定义，解题时只需回忆课本中平方差公式的内容即可。首先明确平方差公式描述的是两个数的和与差相乘的运算规律，运算结果是这两个数的平方作差，再对应写出代数形式就能完成填空。
【解析】
根据平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，对应的代数表达式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，因此四个空依次填写和、差、平方差、$a^2 - b^2$。
【答案】
和 差 平方差 $a^2 - b^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法基础
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平方差公式内容的记忆，熟练掌握公式的文字表述和代数形式是解决此类题型的核心，也是后续运用平方差公式进行简便运算、因式分解的前提。
【难度系数】
0.9
例 如图16.3-1，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的两个梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是$x\ \mathrm{m}$，下底都是$y\ \mathrm{m}$，高都是$(y-x)\mathrm{m}$.
（1）这块菜地的面积是多少平方米？
（2）当$x=20$，$y=30$时，菜地的面积是多少平方米？
解 （1）由题意，得菜地的面积是$2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x)=(y^2 - x^2)(\mathrm{m}^2)$.
（2）当$x=20$，$y=30$时，$y^2 - x^2=30^2 -20^2=900 -400=500$.
故当$x=20$，$y=30$时，菜地的面积是$500\ \mathrm{m}^2$.
（1）这块菜地的面积是多少平方米？
（2）当$x=20$，$y=30$时，菜地的面积是多少平方米？
解 （1）由题意，得菜地的面积是$2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x)=(y^2 - x^2)(\mathrm{m}^2)$.
（2）当$x=20$，$y=30$时，$y^2 - x^2=30^2 -20^2=900 -400=500$.
故当$x=20$，$y=30$时，菜地的面积是$500\ \mathrm{m}^2$.
答案
解：
（1）由题意，这块菜地的面积为两个梯形的面积之和，计算得：
$2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x)=(x+y)(y-x)=y^2-x^2$
答：这块菜地的面积是$(y^2 - x^2)$平方米。
（2）当$x=20$，$y=30$时，代入$y^2-x^2$计算：
$y^2-x^2=30^2-20^2=900-400=500$
答：菜地的面积是500平方米。
（1）由题意，这块菜地的面积为两个梯形的面积之和，计算得：
$2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x)=(x+y)(y-x)=y^2-x^2$
答：这块菜地的面积是$(y^2 - x^2)$平方米。
（2）当$x=20$，$y=30$时，代入$y^2-x^2$计算：
$y^2-x^2=30^2-20^2=900-400=500$
答：菜地的面积是500平方米。
解析
【分析】
（1）求菜地总面积时，首先明确菜地由2个完全相同的梯形组成，因此总面积等于2倍的单个梯形面积。先回忆梯形面积公式：$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，已知梯形的上底为$x$、下底为$y$、高为$(y-x)$，代入公式计算单个梯形面积后乘2，再利用平方差公式化简即可得到总面积的表达式。
（2）第二问属于代数式求值问题，只需将$x=20$、$y=30$代入第一问得到的面积表达式中，按照运算顺序计算即可得到具体面积值。
【解析】
（1）单个梯形的面积为$\frac{1}{2}(x+y)(y-x)$，菜地总面积为2个梯形的面积和，因此：
$\begin{aligned}S &= 2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x) \\&=(x+y)(y-x) \\&=y^2 - x^2\end{aligned}$
（2）当$x=20$，$y=30$时，代入$y^2 - x^2$计算：
$\begin{aligned}y^2 - x^2 &= 30^2 - 20^2 \\&=900 - 400 \\&=500\end{aligned}$
【答案】
（1）$(y^2 - x^2)$平方米；
（2）$500$平方米
【知识点】
梯形面积计算；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景，将几何面积计算与整式运算相结合，既考查了基础图形面积公式的应用，又检验了平方差公式化简、代数式代入求值的能力，解题核心是熟练掌握相关基础公式。
【难度系数】
0.8
（1）求菜地总面积时，首先明确菜地由2个完全相同的梯形组成，因此总面积等于2倍的单个梯形面积。先回忆梯形面积公式：$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，已知梯形的上底为$x$、下底为$y$、高为$(y-x)$，代入公式计算单个梯形面积后乘2，再利用平方差公式化简即可得到总面积的表达式。
（2）第二问属于代数式求值问题，只需将$x=20$、$y=30$代入第一问得到的面积表达式中，按照运算顺序计算即可得到具体面积值。
【解析】
（1）单个梯形的面积为$\frac{1}{2}(x+y)(y-x)$，菜地总面积为2个梯形的面积和，因此：
$\begin{aligned}S &= 2×\frac{1}{2}(x+y)(y-x) \\&=(x+y)(y-x) \\&=y^2 - x^2\end{aligned}$
（2）当$x=20$，$y=30$时，代入$y^2 - x^2$计算：
$\begin{aligned}y^2 - x^2 &= 30^2 - 20^2 \\&=900 - 400 \\&=500\end{aligned}$
【答案】
（1）$(y^2 - x^2)$平方米；
（2）$500$平方米
【知识点】
梯形面积计算；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景，将几何面积计算与整式运算相结合，既考查了基础图形面积公式的应用，又检验了平方差公式化简、代数式代入求值的能力，解题核心是熟练掌握相关基础公式。
【难度系数】
0.8
1. $(1+y)(1-y)=(\quad)$.
A.$1+y^2$
B.$-1-y^2$
C.$1-y^2$
D.$-1+y^2$
A.$1+y^2$
B.$-1-y^2$
C.$1-y^2$
D.$-1+y^2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题时先观察算式结构：两个二项式相乘，其中一项1完全相同，另一项y和-y互为相反数，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以直接套用公式计算，先确定公式中的a对应1、b对应y，再代入公式化简即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，本题中$a=1$，$b=y$，代入可得：
$(1+y)(1-y)=1^2 - y^2 = 1 - y^2$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心是识别平方差公式的结构特征，掌握公式的应用规则即可快速求解，是乘法公式部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查平方差公式的应用，解题时先观察算式结构：两个二项式相乘，其中一项1完全相同，另一项y和-y互为相反数，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以直接套用公式计算，先确定公式中的a对应1、b对应y，再代入公式化简即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，本题中$a=1$，$b=y$，代入可得：
$(1+y)(1-y)=1^2 - y^2 = 1 - y^2$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心是识别平方差公式的结构特征，掌握公式的应用规则即可快速求解，是乘法公式部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 下列能用平方差公式计算的是（
A.$(a-2)(2+a)$
B.$(a-2)(2-a)$
C.$(-a-2)(a+2)$
D.$(a+2)(2+a)$
A
）。A.$(a-2)(2+a)$
B.$(a-2)(2-a)$
C.$(-a-2)(a+2)$
D.$(a+2)(2+a)$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆平方差公式的适用条件：两个二项式相乘，且两个二项式中存在一组完全相同的项，剩下的一组项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式计算。接下来只需逐一验证每个选项是否符合上述结构特征，就能得到正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boldsymbol{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，核心判断特征为：两个二项式相乘，有一组项完全相同，另一组项互为相反数。我们对各选项逐一分析：
选项A：$(a-2)(2+a)=(a-2)(a+2)$，相同项为$a$，相反项为$-2$和$+2$，符合平方差公式的特征，可使用平方差公式计算。
选项B：$(a-2)(2-a)=-(a-2)(a-2)=-(a-2)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，属于完全平方公式的变形，不可用平方差公式。
选项C：$(-a-2)(a+2)=-(a+2)(a+2)=-(a+2)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，属于完全平方公式的变形，不可用平方差公式。
选项D：$(a+2)(2+a)=(a+2)^2$，两组项均完全相同，属于完全平方公式，不可用平方差公式。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式特征、整式乘法变形、完全平方公式
【点评】
本题属于乘法公式的基础考查题型，重点区分平方差公式与完全平方公式的适用结构，只要牢记平方差公式“一项相同、一项相反”的判断原则，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方差公式的适用条件：两个二项式相乘，且两个二项式中存在一组完全相同的项，剩下的一组项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式计算。接下来只需逐一验证每个选项是否符合上述结构特征，就能得到正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boldsymbol{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，核心判断特征为：两个二项式相乘，有一组项完全相同，另一组项互为相反数。我们对各选项逐一分析：
选项A：$(a-2)(2+a)=(a-2)(a+2)$，相同项为$a$，相反项为$-2$和$+2$，符合平方差公式的特征，可使用平方差公式计算。
选项B：$(a-2)(2-a)=-(a-2)(a-2)=-(a-2)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，属于完全平方公式的变形，不可用平方差公式。
选项C：$(-a-2)(a+2)=-(a+2)(a+2)=-(a+2)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，属于完全平方公式的变形，不可用平方差公式。
选项D：$(a+2)(2+a)=(a+2)^2$，两组项均完全相同，属于完全平方公式，不可用平方差公式。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式特征、整式乘法变形、完全平方公式
【点评】
本题属于乘法公式的基础考查题型，重点区分平方差公式与完全平方公式的适用结构，只要牢记平方差公式“一项相同、一项相反”的判断原则，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 将一个长方形按如图16.3-2所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图16.3-3所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为（
A.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
B.$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
C.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D
）。A.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
B.$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
C.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
答案
3. D
解析
【分析】
解题的核心思路是利用剪拼前后图形的面积不变这一性质，分别计算两个图形的面积，再根据面积相等推导对应的乘法公式。首先先明确左图长方形的长和宽，计算其面积；再分析右图的构成，计算右图的面积，最后令两个面积相等，对照选项即可得到答案。
【解析】
首先计算左图的面积：左图是长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，因此面积$S_1=(a+b)(a-b)$。
再计算右图的面积：右图可看作边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形，因此面积$S_2=a^2 - b^2$。
由于两个图形均由两个完全相同的梯形拼接而成，剪拼前后面积不变，故$S_1=S_2$，即$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，面积法验证公式，图形剪拼
【点评】
本题借助几何图形的剪拼验证代数公式，体现了数形结合的思想，解题时只要抓住面积不变的核心，分别正确计算两个图形的面积即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心思路是利用剪拼前后图形的面积不变这一性质，分别计算两个图形的面积，再根据面积相等推导对应的乘法公式。首先先明确左图长方形的长和宽，计算其面积；再分析右图的构成，计算右图的面积，最后令两个面积相等，对照选项即可得到答案。
【解析】
首先计算左图的面积：左图是长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，因此面积$S_1=(a+b)(a-b)$。
再计算右图的面积：右图可看作边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形，因此面积$S_2=a^2 - b^2$。
由于两个图形均由两个完全相同的梯形拼接而成，剪拼前后面积不变，故$S_1=S_2$，即$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，面积法验证公式，图形剪拼
【点评】
本题借助几何图形的剪拼验证代数公式，体现了数形结合的思想，解题时只要抓住面积不变的核心，分别正确计算两个图形的面积即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
4. $(-5a^2 + 4b^2)(\quad)=25a^4 - 16b^4$，括号内应填（
A.$5a^2 + 4b^2$
B.$5a^2 - 4b^2$
C.$-5a^2 - 4b^2$
D.$-5a^2 + 4b^2$
C
）.A.$5a^2 + 4b^2$
B.$5a^2 - 4b^2$
C.$-5a^2 - 4b^2$
D.$-5a^2 + 4b^2$
答案
4. C
解析
【分析】
观察题目可知，等式右侧是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的展开结果，解题时可以从两个方向思考：一是逆用平方差公式，将右侧的多项式分解为两个因式相乘的形式，再和左侧已知的因式对比，得到括号内的式子；二是利用除法是乘法的逆运算，用右侧的乘积除以左侧已知的因式，计算得到未知因式；也可以将选项逐一代入左侧计算，和右侧对比排除错误选项。解题过程中要特别注意符号的变化，避免因符号出错失分。
【解析】
方法一：逆用平方差公式求解
根据平方差公式：$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$，反过来可得$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$。
首先对等式右侧变形：$25a^4 - 16b^4 = (5a^2)^2 - (4b^2)^2$，逆用平方差公式分解得：
$25a^4 - 16b^4 = (5a^2 + 4b^2)(5a^2 - 4b^2)$
将左侧已知因式变形：$-5a^2 + 4b^2 = -(5a^2 - 4b^2)$
因此括号内的因式为：
$\frac{(5a^2 + 4b^2)(5a^2 - 4b^2)}{-(5a^2 - 4b^2)} = -(5a^2 + 4b^2) = -5a^2 - 4b^2$
方法二：代入验证法
将四个选项分别代入左侧计算，对比右侧结果：
A选项：$(-5a^2 + 4b^2)(5a^2 + 4b^2) = (4b^2)^2 - (5a^2)^2 = 16b^4 - 25a^4 ≠ 25a^4 - 16b^4$，排除；
B选项：$(-5a^2 + 4b^2)(5a^2 - 4b^2) = -(5a^2 - 4b^2)^2$，展开为三项式，和右侧两项式不符，排除；
C选项：$(-5a^2 + 4b^2)(-5a^2 - 4b^2) = (-5a^2)^2 - (4b^2)^2 = 25a^4 - 16b^4$，和右侧相等，符合要求；
D选项：$(-5a^2 + 4b^2)(-5a^2 + 4b^2) = (-5a^2 + 4b^2)^2$，展开为三项式，和右侧两项式不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式乘除运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，需要熟练掌握平方差公式“两个数的和乘两个数的差等于平方差”的结构特征，解题时注意符号的处理，避免因符号判断错误丢分，也可以通过代入验证的方法降低解题难度。
【难度系数】
0.8
观察题目可知，等式右侧是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的展开结果，解题时可以从两个方向思考：一是逆用平方差公式，将右侧的多项式分解为两个因式相乘的形式，再和左侧已知的因式对比，得到括号内的式子；二是利用除法是乘法的逆运算，用右侧的乘积除以左侧已知的因式，计算得到未知因式；也可以将选项逐一代入左侧计算，和右侧对比排除错误选项。解题过程中要特别注意符号的变化，避免因符号出错失分。
【解析】
方法一：逆用平方差公式求解
根据平方差公式：$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$，反过来可得$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$。
首先对等式右侧变形：$25a^4 - 16b^4 = (5a^2)^2 - (4b^2)^2$，逆用平方差公式分解得：
$25a^4 - 16b^4 = (5a^2 + 4b^2)(5a^2 - 4b^2)$
将左侧已知因式变形：$-5a^2 + 4b^2 = -(5a^2 - 4b^2)$
因此括号内的因式为：
$\frac{(5a^2 + 4b^2)(5a^2 - 4b^2)}{-(5a^2 - 4b^2)} = -(5a^2 + 4b^2) = -5a^2 - 4b^2$
方法二：代入验证法
将四个选项分别代入左侧计算，对比右侧结果：
A选项：$(-5a^2 + 4b^2)(5a^2 + 4b^2) = (4b^2)^2 - (5a^2)^2 = 16b^4 - 25a^4 ≠ 25a^4 - 16b^4$，排除；
B选项：$(-5a^2 + 4b^2)(5a^2 - 4b^2) = -(5a^2 - 4b^2)^2$，展开为三项式，和右侧两项式不符，排除；
C选项：$(-5a^2 + 4b^2)(-5a^2 - 4b^2) = (-5a^2)^2 - (4b^2)^2 = 25a^4 - 16b^4$，和右侧相等，符合要求；
D选项：$(-5a^2 + 4b^2)(-5a^2 + 4b^2) = (-5a^2 + 4b^2)^2$，展开为三项式，和右侧两项式不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式乘除运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，需要熟练掌握平方差公式“两个数的和乘两个数的差等于平方差”的结构特征，解题时注意符号的处理，避免因符号判断错误丢分，也可以通过代入验证的方法降低解题难度。
【难度系数】
0.8
