5. 已知$A=x^2+3x-a$，$B=-x$，$C=x^3+3x^2+5$，若$A· B+C$的值与$x$的取值无关，当$x=-4$时，$A$的值为（）.


A.0
B.4
C.$-4$
D.2

5. B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确“代数式的值与x的取值无关”的含义：即化简该代数式后，所有含有x的项的系数都为0。解题分三步进行：第一步先计算$A·B+C$的表达式，第二步合并同类项化简，根据与x无关的条件求出a的值，第三步将$x=-4$和求得的a代入A中计算结果即可。
【解析】
首先计算$A·B + C$：
$\begin{aligned}A·B + C&=(x^2+3x-a)×(-x) + (x^3+3x^2+5)\\&=-x^3 -3x^2 +ax +x^3 +3x^2 +5\\&=ax +5\end{aligned}$
因为$A·B+C$的值与$x$的取值无关，所以含$x$的项的系数为0，即$a=0$。
将$a=0$代入$A$的表达式得：$A=x^2+3x$。
当$x=-4$时，代入计算：
$A=(-4)^2 +3×(-4)=16 -12=4$
【答案】
B
【知识点】
整式的乘法，多项式化简，代数式求值
【点评】
本题核心是掌握“代数式的值与x无关”的性质，即化简后所有含x的项系数为0，重点考察整式乘法运算和代入求值的能力，运算过程中需注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7

6. 如果$∠ y ∠ z$表示$3xyz$，$\boxed{b\ d}$表示$-2a^b c^d$，则$× \boxed{2\ 3}=$.

6. $-12m^3n^4$

【分析】
解题时首先需要准确理解题目给出的两个新定义运算的规则：第一步先根据三角形的运算规则，将三角形内的三个元素代入，算出三角形对应的代数式；第二步根据方框的运算规则，将方框内的元素对应代入，算出方框对应的代数式；最后将两个代数式按照单项式乘单项式的运算法则计算，系数相乘，同底数幂分别相乘，化简后得到最终结果。
【解析】
1. 计算三角形对应的代数式：
根据题意，三角形三个顶点的数为x、y、z时，结果为$3xyz$，本题三角形三个顶点的数为m、n、2，代入得：
$3× m× n× 2=6mn$
2. 计算方框对应的代数式：
根据题意，方框内上排两个数为底数$a$、$c$，对应下排的数为指数$b$、$d$时，结果为$-2a^b c^d$，本题方框上左为m对应下左指数2，上右为n对应下右指数3，代入得：
$-2× m^2× n^3=-2m^2n^3$
3. 计算两个代数式的乘积：
根据单项式乘单项式的运算法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加，可得：
$6mn×(-2m^2n^3)=[6×(-2)]×(m× m^2)×(n× n^3)=-12m^3n^4$
【答案】
$-12m^3n^4$
【知识点】
新定义运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和整式乘法的计算能力，只要准确对应新定义中的各个元素，计算时注意系数符号和指数的运算，就能正确解答。
【难度系数】
0.7

7. 如图16.2-11为小李家住房的户型图，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少应买木地板 m².

7. $12xy$

【分析】
要计算需要购买的木地板面积，本质是求卧室和客厅的面积之和。解题思路如下：第一步先确定客厅的长和宽，利用长方形面积公式计算客厅面积；第二步确定卧室的长和宽，计算卧室面积；第三步将两个面积相加，合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：首先计算客厅的面积：
客厅是长为$4y\ \mathrm{m}$、宽为$2x\ \mathrm{m}$的长方形，面积为：
$S_{\mathrm{客厅}} = 4y × 2x = 8xy\ (\mathrm{m}^2)$
再计算卧室的面积：
卧室的长为$2y\ \mathrm{m}$，宽为总高度减去客厅的高度，即$4x-2x=2x\ \mathrm{m}$，面积为：
$S_{\mathrm{卧室}} = 2y × 2x = 4xy\ (\mathrm{m}^2)$
需要购买的木地板总面积为：
$S_{\mathrm{总}} = 8xy + 4xy = 12xy\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$12xy$
【知识点】
长方形面积计算；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题结合生活中的装修场景，考查了几何面积计算和整式运算的综合应用，解题的核心是准确从户型图中读取各边的长度，再结合面积公式计算即可，注重对读图能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

8. 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽$a$ m，下底宽$(a + 2b)$ m，坝高$\frac{1}{2}a$ m.
（1）求防洪堤坝的横断面面积.
（2）如果防洪堤坝长100 m，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

（1）$(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab)\ \mathrm{m^2}$ （2）$(50a^2+50ab)\ \mathrm{m^3}$

【分析】
（1）求横断面梯形面积，首先回忆梯形面积公式：$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，将题目给出的上底$a$、下底$(a+2b)$、高$\frac{1}{2}a$代入公式，再按照整式乘法运算法则化简就能得到结果。
（2）防洪堤坝属于柱体，柱体体积公式为$V=\mathrm{横断面面积}×\mathrm{长度}$，把第（1）问求出的横断面面积和已知的堤坝长100m代入公式，通过整式乘法计算即可得到体积。
【解析】
（1）根据梯形面积公式计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×[a+(a+2b)]×\frac{1}{2}a\\&=\frac{1}{2}×(2a+2b)×\frac{1}{2}a\\&=(a+b)×\frac{1}{2}a\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab\end{aligned}$
（2）根据柱体体积公式计算：
$\begin{aligned}V&=S×100\\&=(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab)×100\\&=50a^2+50ab\end{aligned}$
【答案】
（1）$(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab)\ \mathrm{m^2}$
（2）$(50a^2+50ab)\ \mathrm{m^3}$
【知识点】
梯形面积计算、整式乘法运算、柱体体积计算
【点评】
本题是整式乘法的实际应用类题目，核心是牢记梯形面积、柱体体积的计算公式，代入数值后按照整式乘法的运算法则准确计算即可，解题时需注意运算顺序，不要漏乘项。
【难度系数】
0.8

9. 学习代数式求值时，遇到这样的题，即“代数式$2y - mx + 5 + 3x + y - 8$的值与$x$的取值无关，求$m$的值”，通常的解法是：把$x$，$y$看作字母，$m$看作系数，合并同类项，因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$的系数为0，即原式$=(3 - m)x + 3y - 3$，所以$3 - m = 0$，则$m = 3$。
（1）若多项式$(3x - 2)a - 2x + a^2$的值与$x$的取值无关，求$a$的值。
（2）5张如图16.2 - 12所示的小长方形纸片，长为$a$，宽为$b$，按照图16.2 - 13所示的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角部分的面积为$S_1$，右下角部分的面积为$S_2$，当$AB$的长变化时，$S_1 - 2S_2$的值始终保持不变，请求出$a$与$b$的数量关系。

（1）$(3x-2)a-2x+a^2=3ax-2a-2x+a^2=(3a-2)x-2a+a^2$，$\because$多项式$(3x-2)a-2x+a^2$的值与$x$的取值无关，$\therefore 3a-2=0$，$\therefore a=\frac{2}{3}$ （2）设$AB=x$，由题意得$S_1=a(x-3b)=ax-3ab$，$S_2=b(x-2a)=bx-2ab$，$\therefore S_1-2S_2=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ab$.$\because S_1-2S_2$的值与$x$无关，$\therefore a-2b=0$，$\therefore a=2b$

【分析】
（1）参照题干给出的解题思路，先将多项式展开，合并关于$x$的同类项，由于多项式的值与$x$的取值无关，说明含$x$项的系数为0，据此列方程即可求出$a$的值；
（2）先设$AB$的长度为$x$，结合图形分别用含$a$、$b$、$x$的代数式表示$S_1$和$S_2$，再代入$S_1-2S_2$化简，合并关于$x$的同类项，根据$S_1-2S_2$的值与$x$无关，可得$x$项的系数为0，即可得到$a$与$b$的数量关系。
【解析】
（1）展开并整理多项式：
$(3x-2)a-2x+a^2=3ax-2a-2x+a^2=(3a-2)x-2a+a^2$
$\because$多项式的值与$x$的取值无关，$\therefore$含$x$项的系数为0，即：
$3a-2=0$
解得$a=\frac{2}{3}$
（2）设$AB$的长为$x$，由图可得：
左上角阴影的长为$a$，宽为$x-3b$，因此$S_1=a(x-3b)=ax-3ab$
右下角阴影的长为$b$，宽为$x-2a$，因此$S_2=b(x-2a)=bx-2ab$
代入$S_1-2S_2$化简：
$S_1-2S_2=ax-3ab-2(bx-2ab)=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ab$
$\because S_1-2S_2$的值与$x$的取值无关，$\therefore x$项的系数为0，即：
$a-2b=0$
可得$a=2b$
【答案】
（1）$a=\frac{2}{3}$；（2）$a=2b$
【知识点】
合并同类项；整式的乘法；代数式与字母无关的条件
【点评】
本题核心考查“代数式的值与某字母取值无关时，该字母的所有项的系数均为0”这一结论的应用，解题的关键是正确对整式进行化简，找准对应字母的系数列方程求解，是整式运算章节的典型考法。
【难度系数】
0.7

10. 下列运算正确的是（）.

A.$a^4 + a^2 = a^6$
B.$(2a)^5 = 2a^5$
C.$a^8 ÷ a^4 = a^2$
D.$(a^4)^2 = a^8$

10. D

【分析】
本题考查整式乘除相关的运算法则，解题思路为逐一分析每个选项对应的运算规则，判断其运算是否正确，最终选出符合要求的选项。首先需要明确合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则，再对应验证每个选项。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$a^4$与$a^2$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此$a^4+a^2≠ a^6$，A错误；
B选项：根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n· b^n$，可得$(2a)^5=2^5· a^5=32a^5≠2a^5$，B错误；
C选项：根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$），可得$a^8÷ a^4=a^{8-4}=a^4≠ a^2$，C错误；
D选项：根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），可得$(a^4)^2=a^{4×2}=a^8$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方运算；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查各类幂运算法则的识记与应用，解题的关键是准确区分不同法则中指数的运算规则，避免混淆加减、乘的适用场景。
【难度系数】
0.8

11. 定义新运算：$a※b=ab+b^2$，则$(2m)※m$的运算结果是。

11. $3m^2$

【分析】
解题时首先要明确新运算“※”的运算规则：a※b等于a与b的乘积加上b的平方。接下来找到本题中对应规则里的a为2m，b为m，将二者代入运算公式后，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
根据新运算规则$a※b=ab+b^2$，可知本题中$a=2m$，$b=m$，代入得：
$\begin{aligned}(2m)※m&=2m· m + m^2\\&=2m^2 + m^2\\&=3m^2\end{aligned}$
【答案】
$3m^2$
【知识点】
定义新运算、单项式乘单项式、合并同类项
【点评】
本题考查新定义运算与整式乘法的结合，属于基础题型，只要准确理解新运算的规则，熟练掌握整式的基础运算即可轻松解答。
【难度系数】
0.8