登录
9. 如图6，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止，当t为（
A.1 s
B.2 s
C.3 s
D.1 s或2 s
D
）时，△PBQ是直角三角形.A.1 s
B.2 s
C.3 s
D.1 s或2 s
答案
9. D
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：△ABC是边长为3cm的等边三角形，可得∠B=60°；动点P、Q速度均为1cm/s，运动时间为t时，可先表示出PB=(3-t)cm，BQ=t cm。△PBQ为直角三角形时，∠B不可能为直角，因此分两种情况讨论：①∠PQB=90°；②∠QPB=90°，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质列方程求解，最后验证解是否符合运动时间的取值范围即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=3cm。
由题意得，运动时间为t s时，AP=t cm，BQ=t cm，
∴PB=AB-AP=(3-t)cm，且t的取值范围为0≤t≤3。
△PBQ为直角三角形分两种情况：
1. 当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半，可得BQ=$\frac{1}{2}$PB，
即$t=\frac{1}{2}(3-t)$，
解得t=1，符合取值范围。
2. 当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
同理可得PB=$\frac{1}{2}$BQ，
即$3-t=\frac{1}{2}t$，
解得t=2，符合取值范围。
综上，t为1s或2s时，△PBQ是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与特殊三角形结合的基础题型，解题的核心是根据直角的不同位置进行分类讨论，避免漏解，同时要注意结合动点的运动范围验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
首先明确题目已知条件：△ABC是边长为3cm的等边三角形，可得∠B=60°；动点P、Q速度均为1cm/s，运动时间为t时，可先表示出PB=(3-t)cm，BQ=t cm。△PBQ为直角三角形时，∠B不可能为直角，因此分两种情况讨论：①∠PQB=90°；②∠QPB=90°，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质列方程求解，最后验证解是否符合运动时间的取值范围即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=3cm。
由题意得，运动时间为t s时，AP=t cm，BQ=t cm，
∴PB=AB-AP=(3-t)cm，且t的取值范围为0≤t≤3。
△PBQ为直角三角形分两种情况：
1. 当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半，可得BQ=$\frac{1}{2}$PB，
即$t=\frac{1}{2}(3-t)$，
解得t=1，符合取值范围。
2. 当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
同理可得PB=$\frac{1}{2}$BQ，
即$3-t=\frac{1}{2}t$，
解得t=2，符合取值范围。
综上，t为1s或2s时，△PBQ是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与特殊三角形结合的基础题型，解题的核心是根据直角的不同位置进行分类讨论，避免漏解，同时要注意结合动点的运动范围验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
10. 若某等腰三角形一内角为$50°$，则等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为（
A.$25°$或$30°$
B.$40°$或$35°$
C.$25°$或$40°$
D.$30°$或$50°$
C
）.A.$25°$或$30°$
B.$40°$或$35°$
C.$25°$或$40°$
D.$30°$或$50°$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先要明确等腰三角形的已知50°内角未说明是顶角还是底角，因此需分两种情况讨论：①该角为顶角；②该角为底角。再结合等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余的性质，分别计算腰上的高与底边的夹角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若50°是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$\frac{180° - 50°}{2}=65°$。
因为腰上的高与腰垂直，夹角为90°，在高、腰的一部分、底边围成的直角三角形中，两锐角互余，因此腰上的高与底边的夹角为$90° - 65°=25°$。
2. 若50°是等腰三角形的底角：
同理，在高、腰的一部分、底边围成的直角三角形中，腰上的高与底边的夹角为$90° - 50°=40°$。
综上，该夹角为25°或40°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略对已知内角的分类讨论，解题时需注意未明确说明的等腰三角形内角，既要考虑是顶角的情况，也要考虑是底角的情况，结合三角形角度的基本性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确等腰三角形的已知50°内角未说明是顶角还是底角，因此需分两种情况讨论：①该角为顶角；②该角为底角。再结合等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余的性质，分别计算腰上的高与底边的夹角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若50°是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$\frac{180° - 50°}{2}=65°$。
因为腰上的高与腰垂直，夹角为90°，在高、腰的一部分、底边围成的直角三角形中，两锐角互余，因此腰上的高与底边的夹角为$90° - 65°=25°$。
2. 若50°是等腰三角形的底角：
同理，在高、腰的一部分、底边围成的直角三角形中，腰上的高与底边的夹角为$90° - 50°=40°$。
综上，该夹角为25°或40°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略对已知内角的分类讨论，解题时需注意未明确说明的等腰三角形内角，既要考虑是顶角的情况，也要考虑是底角的情况，结合三角形角度的基本性质计算即可。
【难度系数】
0.7
11. 在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，－1）关于y轴对称，则a－b的值是
-2
.答案
11. -2
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。首先利用该规律结合点N的坐标求出a、b的值，再将a、b代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点M(a,b)与点N(3,-1)关于y轴对称，
根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，
可得：a = -3，b = -1，
代入计算a-b得：
a - b = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2。
【答案】
-2
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查轴对称点的坐标变化规律，牢记不同对称轴对应的坐标变化特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。首先利用该规律结合点N的坐标求出a、b的值，再将a、b代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点M(a,b)与点N(3,-1)关于y轴对称，
根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，
可得：a = -3，b = -1，
代入计算a-b得：
a - b = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2。
【答案】
-2
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查轴对称点的坐标变化规律，牢记不同对称轴对应的坐标变化特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 已知等腰三角形的底角等于$50°$，则顶角等于________°。
答案
12. 80
解析
【分析】
拿到题目先明确已知条件：图形是等腰三角形，底角为50°，要求顶角的度数。首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角度数相等；再回忆三角形通用定理：任意三角形的内角和为180°。解题时先计算两个底角的总度数，再用三角形内角和减去两个底角的度数和，即可得到顶角的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰三角形的两个底角相等，已知底角为50°
∴ 两个底角的度数和为 $ 50° × 2 = 100° $
又
∵ 三角形的内角和为 $ 180° $
∴ 顶角的度数为 $ 180° - 100° = 80° $
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的角的性质以及三角形内角和的应用，熟练记忆基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
拿到题目先明确已知条件：图形是等腰三角形，底角为50°，要求顶角的度数。首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角度数相等；再回忆三角形通用定理：任意三角形的内角和为180°。解题时先计算两个底角的总度数，再用三角形内角和减去两个底角的度数和，即可得到顶角的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰三角形的两个底角相等，已知底角为50°
∴ 两个底角的度数和为 $ 50° × 2 = 100° $
又
∵ 三角形的内角和为 $ 180° $
∴ 顶角的度数为 $ 180° - 100° = 80° $
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的角的性质以及三角形内角和的应用，熟练记忆基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. 如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3，则AB=
12
。答案
13. 12
解析
【分析】
解题时先结合直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，再在Rt△BCD中推出∠BCD=30°，利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”求出BC的长度，最后在Rt△ABC中再次运用该性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=90°-∠A=60°，且BC=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC。
已知BD=3，代入得BC=2BD=2×3=6，
将BC=6代入BC=$\frac{1}{2}$AB，得AB=2BC=2×6=12。
【答案】
12
【知识点】
直角三角形30°角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的关键是找到两个含30°角的直角三角形，分步推导边长关系，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先结合直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，再在Rt△BCD中推出∠BCD=30°，利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”求出BC的长度，最后在Rt△ABC中再次运用该性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=90°-∠A=60°，且BC=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC。
已知BD=3，代入得BC=2BD=2×3=6，
将BC=6代入BC=$\frac{1}{2}$AB，得AB=2BC=2×6=12。
【答案】
12
【知识点】
直角三角形30°角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的关键是找到两个含30°角的直角三角形，分步推导边长关系，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
14. 如图8，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=
30
°。答案
14. 30
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和算出底角∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得到AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=70°-40°=30°。
【答案】
30
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是通过等腰三角形和垂直平分线的性质推导角的数量关系，计算难度低，是等腰三角形章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和算出底角∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得到AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=70°-40°=30°。
【答案】
30
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是通过等腰三角形和垂直平分线的性质推导角的数量关系，计算难度低，是等腰三角形章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 如图9，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上，且坐标分别为A(-1，1)，B(-2，4)，C(-4，3).
（1）在网格中建立平面直角坐标系.
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁.
（3）点P为y轴上一点，且△A₁OP的面积为2，则点P的坐标为
15. 如图9，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上，且坐标分别为A(-1，1)，B(-2，4)，C(-4，3).
（1）在网格中建立平面直角坐标系.
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁.
（3）点P为y轴上一点，且△A₁OP的面积为2，则点P的坐标为
(0，4)或(0，-4)
.答案
15. （1）在网格中建立平面直角坐标系如答图26
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，如答图27
，△A₁B₁C₁即为所作（3）(0，4)或(0，-4)
解析
【分析】
（1）建立平面直角坐标系可根据已知点A的坐标(-1,1)确定原点位置：原点在A点右侧1个单位、下方1个单位的格点处，再画出x轴、y轴即可。
（2）画关于x轴对称的三角形，需先掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点连线即可。
（3）求y轴上点P的坐标，先确定A₁的坐标，△A₁OP以OP为底，高为A₁到y轴的距离，结合三角形面积公式列方程求解，注意y轴上的点纵坐标有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
（1）已知点A坐标为(-1,1)，将点A向右平移1个单位、向下平移1个单位得到坐标原点O，过O作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的建立，如答图26所示。
（2）关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此：
A(-1,1)的对称点为A₁(-1,-1)，B(-2,4)的对称点为B₁(-2,-4)，C(-4,3)的对称点为C₁(-4,-3)；
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接三点得到△A₁B₁C₁，如答图27所示。
（3）设点P的坐标为(0,y)，由A₁(-1,-1)可知，A₁到y轴的距离为1（即△A₁OP的高为1），OP的长度为|y|（即△A₁OP的底边长为|y|）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知面积为2可得：
$\frac{1}{2}×|y|×1=2$
解得$|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$，因此点P的坐标为(0,4)或(0,-4)。
【答案】
（1）在网格中建立平面直角坐标系如答图26
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，如答图27，△A₁B₁C₁即为所作
（3）(0，4)或(0，-4)
【知识点】
平面直角坐标系建立；坐标与轴对称变化；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，难度适中，前两问考查作图能力，第三问结合面积求点坐标，需要注意y轴上的点有正负两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）建立平面直角坐标系可根据已知点A的坐标(-1,1)确定原点位置：原点在A点右侧1个单位、下方1个单位的格点处，再画出x轴、y轴即可。
（2）画关于x轴对称的三角形，需先掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点连线即可。
（3）求y轴上点P的坐标，先确定A₁的坐标，△A₁OP以OP为底，高为A₁到y轴的距离，结合三角形面积公式列方程求解，注意y轴上的点纵坐标有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
（1）已知点A坐标为(-1,1)，将点A向右平移1个单位、向下平移1个单位得到坐标原点O，过O作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的建立，如答图26所示。
（2）关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此：
A(-1,1)的对称点为A₁(-1,-1)，B(-2,4)的对称点为B₁(-2,-4)，C(-4,3)的对称点为C₁(-4,-3)；
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接三点得到△A₁B₁C₁，如答图27所示。
（3）设点P的坐标为(0,y)，由A₁(-1,-1)可知，A₁到y轴的距离为1（即△A₁OP的高为1），OP的长度为|y|（即△A₁OP的底边长为|y|）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知面积为2可得：
$\frac{1}{2}×|y|×1=2$
解得$|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$，因此点P的坐标为(0,4)或(0,-4)。
【答案】
（1）在网格中建立平面直角坐标系如答图26
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，如答图27
，△A₁B₁C₁即为所作（3）(0，4)或(0，-4)
【知识点】
平面直角坐标系建立；坐标与轴对称变化；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，难度适中，前两问考查作图能力，第三问结合面积求点坐标，需要注意y轴上的点有正负两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
