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16. 如图10，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG//AD，交AC于点F，交BA延长线于点G.
（1）求证：△AFG为等腰三角形.
（2）若CE=EF，∠BAC=82°，求∠B的度数.
（1）求证：△AFG为等腰三角形.
（2）若CE=EF，∠BAC=82°，求∠B的度数.
答案
（1）证明：
∵EG//AD，
∴∠G=∠BAD，∠AFG=∠CAD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠G=∠AFG，
∴AF=AG，
∴△AFG为等腰三角形
（2）
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=41°.
∵EG//AD，
∴∠EFC=∠CAD=41°.
∵CE=EF，
∴∠C=∠EFC=41°，
∴∠B=180°-（∠BAC+∠C）=57°
∵EG//AD，
∴∠G=∠BAD，∠AFG=∠CAD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠G=∠AFG，
∴AF=AG，
∴△AFG为等腰三角形
（2）
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=41°.
∵EG//AD，
∴∠EFC=∠CAD=41°.
∵CE=EF，
∴∠C=∠EFC=41°，
∴∠B=180°-（∠BAC+∠C）=57°
解析
【分析】
（1）要证明△AFG是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明该三角形有两个内角相等即可。已知EG//AD，可通过平行线的性质得到∠G=∠BAD、∠AFG=∠CAD；再结合AD平分∠BAC的条件，可得∠BAD=∠CAD，等量代换后就能得到∠G=∠AFG，进而证得结论。
（2）要求∠B的度数，已知△ABC中∠BAC=82°，根据三角形内角和为180°，只需求出∠C的度数即可计算。首先根据角平分线定义求出∠CAD的度数，再由EG//AD得到∠EFC=∠CAD；结合CE=EF的条件，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠C=∠EFC，求出∠C的度数后代入内角和公式即可算出∠B。
【解析】
（1）证明：
∵EG//AD，
∴∠G=∠BAD，∠AFG=∠CAD。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠G=∠AFG，
∴AF=AG，
∴△AFG为等腰三角形。
（2）解：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=82°，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=41°。
∵EG//AD，
∴∠EFC=∠CAD=41°。
∵CE=EF，
∴∠C=∠EFC=41°，
∴∠B=180°-（∠BAC+∠C）=180°-（82°+41°）=57°。
【答案】
（1）△AFG为等腰三角形，证明成立；（2）∠B=57°
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是利用平行线的性质完成角的等量转换，结合角平分线、等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，重点考察基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.75
（1）要证明△AFG是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明该三角形有两个内角相等即可。已知EG//AD，可通过平行线的性质得到∠G=∠BAD、∠AFG=∠CAD；再结合AD平分∠BAC的条件，可得∠BAD=∠CAD，等量代换后就能得到∠G=∠AFG，进而证得结论。
（2）要求∠B的度数，已知△ABC中∠BAC=82°，根据三角形内角和为180°，只需求出∠C的度数即可计算。首先根据角平分线定义求出∠CAD的度数，再由EG//AD得到∠EFC=∠CAD；结合CE=EF的条件，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠C=∠EFC，求出∠C的度数后代入内角和公式即可算出∠B。
【解析】
（1）证明：
∵EG//AD，
∴∠G=∠BAD，∠AFG=∠CAD。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠G=∠AFG，
∴AF=AG，
∴△AFG为等腰三角形。
（2）解：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=82°，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=41°。
∵EG//AD，
∴∠EFC=∠CAD=41°。
∵CE=EF，
∴∠C=∠EFC=41°，
∴∠B=180°-（∠BAC+∠C）=180°-（82°+41°）=57°。
【答案】
（1）△AFG为等腰三角形，证明成立；（2）∠B=57°
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是利用平行线的性质完成角的等量转换，结合角平分线、等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，重点考察基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.75
17. 如图11，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，分别在DE，BC的延长线上取点M，N，作$△ AMN$。已知$∠ MAN=60°$，AB=2。
（1）求边AC的长。
（2）当点C在$△ AMN$内部时，求证：$△ AMN$是等边三角形。
（3）连接MC，若MC垂直于$△ ANB$的某一边，则$△ AMN$的边长是
（1）求边AC的长。
（2）当点C在$△ AMN$内部时，求证：$△ AMN$是等边三角形。
（3）连接MC，若MC垂直于$△ ANB$的某一边，则$△ AMN$的边长是
√2或2
。（直接写出结果即可）答案
17. （1）
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC=1/2AB=1
（2）证明：由条件可知∠BAC=60°，AC=1/2AB，AD=BD=1/2AB，DE⊥AB，
∴AD=AC.
∵∠MAN=60°，∠BAC=60°，
∴∠MAN - ∠MAC = ∠CAB - ∠MAC，即∠NAC=∠MAD. 在△ACN和△ADM中，
$\begin{cases}∠NAC=∠MAD,\\AC=AD,\\∠NCA=∠MDA=90°,\end{cases}$
∴△ACN≌△ADM（ASA）.
∴AN=AM.
∵∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形
（3）√2或2
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC=1/2AB=1
（2）证明：由条件可知∠BAC=60°，AC=1/2AB，AD=BD=1/2AB，DE⊥AB，
∴AD=AC.
∵∠MAN=60°，∠BAC=60°，
∴∠MAN - ∠MAC = ∠CAB - ∠MAC，即∠NAC=∠MAD. 在△ACN和△ADM中，
$\begin{cases}∠NAC=∠MAD,\\AC=AD,\\∠NCA=∠MDA=90°,\end{cases}$
∴△ACN≌△ADM（ASA）.
∴AN=AM.
∵∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形
（3）√2或2
解析
【分析】
（1）第一问已知△ABC为直角三角形，且∠B=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，直接代入AB的长度即可求出AC的长。
（2）要证△AMN是等边三角形，已知∠MAN=60°，只需证明AN=AM即可。首先根据已知条件推出AC=AD，再通过角的和差关系得到∠NAC=∠MAD，结合两个直角相等，用ASA判定△ACN≌△ADM，即可得到AN=AM，结合60°的夹角即可完成证明。
（3）需分三类讨论MC垂直于△ANB的三边的情况，结合“点C在△AMN内部”的条件排除不符合的情况，分别计算对应边长即可得到结果。
【解析】
（1）解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，$AB=2$，
根据直角三角形30°角的性质，得
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
（2）证明：
∵$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，
∴$∠BAC=180°-90°-30°=60°$，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴$DE⊥AB$，$AD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，
∴$AC=AD=1$，
∵$∠MAN=60°$，$∠BAC=60°$，
∴$∠MAN - ∠MAC = ∠BAC - ∠MAC$，即$∠NAC=∠MAD$，
在$△ACN$和$△ADM$中：
$\begin{cases}∠NAC=∠MAD\\AC=AD\\∠ACN=∠ADM=90°\end{cases}$
∴$△ACN≌△ADM$（ASA），
∴$AN=AM$，
又
∵$∠MAN=60°$，
∴$△AMN$是等边三角形。
（3）分情况讨论：
①当$MC⊥BN$时，计算得等边三角形边长为$\sqrt{2}$；
②当$MC⊥AB$时，不符合点C在$△AMN$内部的条件，舍去；
③当$MC⊥AN$时，计算得等边三角形边长为2；
综上，$△AMN$的边长为$\sqrt{2}$或2。
【答案】
（1）$AC=1$；
（2）$△AMN$是等边三角形，证明如上；
（3）$\sqrt{2}$或$2$
【知识点】
直角三角形30°角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查了三角形的多个基础知识点，前两问难度适中，第三问需要用到分类讨论思想，做题时要注意结合题干限定条件排除无效情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）第一问已知△ABC为直角三角形，且∠B=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，直接代入AB的长度即可求出AC的长。
（2）要证△AMN是等边三角形，已知∠MAN=60°，只需证明AN=AM即可。首先根据已知条件推出AC=AD，再通过角的和差关系得到∠NAC=∠MAD，结合两个直角相等，用ASA判定△ACN≌△ADM，即可得到AN=AM，结合60°的夹角即可完成证明。
（3）需分三类讨论MC垂直于△ANB的三边的情况，结合“点C在△AMN内部”的条件排除不符合的情况，分别计算对应边长即可得到结果。
【解析】
（1）解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，$AB=2$，
根据直角三角形30°角的性质，得
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
（2）证明：
∵$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，
∴$∠BAC=180°-90°-30°=60°$，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴$DE⊥AB$，$AD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，
∴$AC=AD=1$，
∵$∠MAN=60°$，$∠BAC=60°$，
∴$∠MAN - ∠MAC = ∠BAC - ∠MAC$，即$∠NAC=∠MAD$，
在$△ACN$和$△ADM$中：
$\begin{cases}∠NAC=∠MAD\\AC=AD\\∠ACN=∠ADM=90°\end{cases}$
∴$△ACN≌△ADM$（ASA），
∴$AN=AM$，
又
∵$∠MAN=60°$，
∴$△AMN$是等边三角形。
（3）分情况讨论：
①当$MC⊥BN$时，计算得等边三角形边长为$\sqrt{2}$；
②当$MC⊥AB$时，不符合点C在$△AMN$内部的条件，舍去；
③当$MC⊥AN$时，计算得等边三角形边长为2；
综上，$△AMN$的边长为$\sqrt{2}$或2。
【答案】
（1）$AC=1$；
（2）$△AMN$是等边三角形，证明如上；
（3）$\sqrt{2}$或$2$
【知识点】
直角三角形30°角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查了三角形的多个基础知识点，前两问难度适中，第三问需要用到分类讨论思想，做题时要注意结合题干限定条件排除无效情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
