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18. 如果两个角之差的绝对值等于$60°$，则称这两个角互为“互优角”，即若$∠α＝30°$，$∠β＝90°$，$|∠α - ∠β|＝60°$，则称$∠α$和$∠β$互为“互优角”.（本题中所有角都是大于$0°$且小于$180°$的角）
（1）若$∠1$和$∠2$互为“互优角”，当$∠1＝65°$时，则$∠2＝$
（2）如图12，将一长方形纸片ABCD沿着MP翻折，点P在线段BC上，点M在线段AB上，点B落在点$B_1$处，若$∠ MPB_1$与$∠ CPB_1$互为“互优角”，则求$∠ MPB$的度数.
（3）如图13，点N在边AD上，点C和点D关于PN的对称点为点$C_1$和点$D_1$，且点M，点$C_1$和点P在同一直线上，则$∠ NPB_1$与$∠ MPB_1$是否可能互为“互优角”？若可能，请求出此时$∠ BPM$的大小；若不可能，请说明理由.
（1）若$∠1$和$∠2$互为“互优角”，当$∠1＝65°$时，则$∠2＝$
5°或125°
.（2）如图12，将一长方形纸片ABCD沿着MP翻折，点P在线段BC上，点M在线段AB上，点B落在点$B_1$处，若$∠ MPB_1$与$∠ CPB_1$互为“互优角”，则求$∠ MPB$的度数.
（3）如图13，点N在边AD上，点C和点D关于PN的对称点为点$C_1$和点$D_1$，且点M，点$C_1$和点P在同一直线上，则$∠ NPB_1$与$∠ MPB_1$是否可能互为“互优角”？若可能，请求出此时$∠ BPM$的大小；若不可能，请说明理由.
答案
18. （1）5°或125°
（2）
∵∠MPB₁与∠B₁PC互为“互优角”，当∠MPB₁＜∠B₁PC时，∠B₁PC - ∠MPB₁=60°，
∴∠B₁PC=∠MPB₁ + 60°.
∵△BMP翻折得△B₁MP，
∴∠MPB=∠MPB₁.
∵∠MPB + ∠MPB₁ + ∠B₁PC=180°，
∴∠MPB₁ + ∠MPB₁ + ∠MPB₁ + 60°=180°，解得∠MPB₁=40°.
∴∠MPB=40°. 当∠MPB₁＞∠B₁PC时，∠MPB₁ - ∠B₁PC=60°，可得∠MPB₁=80°，∠MPB=80°. 综上所述，∠MPB的度数为40°或80°
（3）可能互为“互优角”.
∵点M、点C₁和点P在同一直线上，且∠MPB₁与∠NPB₁互为“互优角”，设∠BPM=∠MPB₁=x，∠NPB₁=y，
∴∠B₁PC＜∠MPN. 根据折叠的性质，得出∠BPM=∠B₁PM，∠MPN=∠CPN，|∠MPB₁ - ∠NPB₁|=60°，∠BPC=180°，
∴|x - y|=60°，x + 2(x + y)=180°，即3x + 2y=180°，
∴y=90°-1.5x. 当x - y=60°时，即x - (90°-1.5x)=60°，解得x=60°. 当y - x=60°时，即90°-1.5x - x=60°，解得x=12°，
∴∠BPM=60°或12°
（2）
∵∠MPB₁与∠B₁PC互为“互优角”，当∠MPB₁＜∠B₁PC时，∠B₁PC - ∠MPB₁=60°，
∴∠B₁PC=∠MPB₁ + 60°.
∵△BMP翻折得△B₁MP，
∴∠MPB=∠MPB₁.
∵∠MPB + ∠MPB₁ + ∠B₁PC=180°，
∴∠MPB₁ + ∠MPB₁ + ∠MPB₁ + 60°=180°，解得∠MPB₁=40°.
∴∠MPB=40°. 当∠MPB₁＞∠B₁PC时，∠MPB₁ - ∠B₁PC=60°，可得∠MPB₁=80°，∠MPB=80°. 综上所述，∠MPB的度数为40°或80°
（3）可能互为“互优角”.
∵点M、点C₁和点P在同一直线上，且∠MPB₁与∠NPB₁互为“互优角”，设∠BPM=∠MPB₁=x，∠NPB₁=y，
∴∠B₁PC＜∠MPN. 根据折叠的性质，得出∠BPM=∠B₁PM，∠MPN=∠CPN，|∠MPB₁ - ∠NPB₁|=60°，∠BPC=180°，
∴|x - y|=60°，x + 2(x + y)=180°，即3x + 2y=180°，
∴y=90°-1.5x. 当x - y=60°时，即x - (90°-1.5x)=60°，解得x=60°. 当y - x=60°时，即90°-1.5x - x=60°，解得x=12°，
∴∠BPM=60°或12°
解析
【分析】
本题是结合新定义“互优角”的几何综合题，解题思路如下：
（1）根据“互优角”的定义，两个角差的绝对值为60°，已知∠1的度数，分∠2比∠1大60°、∠2比∠1小60°两种情况计算，验证结果在0°~180°范围内即可。
（2）先利用折叠的性质得∠MPB=∠MPB₁，结合平角为180°可知∠MPB+∠MPB₁+∠CPB₁=180°，再根据“互优角”的定义，分∠MPB₁＜∠CPB₁、∠MPB₁＞∠CPB₁两种情况列方程求解。
（3）先设∠BPM=∠MPB₁=x，∠NPB₁=y，根据折叠性质可得∠MPN=∠CPN，结合平角为180°列出关于x、y的方程，再结合“互优角”的绝对值关系联立求解，验证结果符合角度范围即可判断是否存在。
【解析】
（1）
∵∠1和∠2互为“互优角”，
∴$|∠1 - ∠2|=60°$，
∵∠1=65°，
∴$∠2=65°+60°=125°$，或$∠2=65°-60°=5°$，两个结果都在0°~180°范围内。
（2）
∵△BMP翻折得△B₁MP，
∴$∠MPB=∠MPB₁$，
已知∠MPB₁与∠CPB₁互为“互优角”，分两种情况讨论：
①当$∠MPB₁＜∠CPB₁$时，$∠CPB₁ - ∠MPB₁=60°$，即$∠CPB₁=∠MPB₁ + 60°$，
∵$∠MPB + ∠MPB₁ + ∠CPB₁=180°$，代入得：$∠MPB₁ + ∠MPB₁ + ∠MPB₁ + 60°=180°$，
解得$∠MPB₁=40°$，
∴$∠MPB=40°$；
②当$∠MPB₁＞∠CPB₁$时，$∠MPB₁ - ∠CPB₁=60°$，即$∠CPB₁=∠MPB₁ - 60°$，
代入平角关系得：$∠MPB₁ + ∠MPB₁ + ∠MPB₁ - 60°=180°$，解得$∠MPB₁=80°$，
∴$∠MPB=80°$。
（3）可能互为“互优角”，求解如下：
设$∠BPM=∠MPB₁=x$，$∠NPB₁=y$，
根据折叠的性质，$∠BPM=∠B₁PM=x$，且点C、C₁关于PN对称，点C₁在MP上，故$∠MPN=∠CPN$，
∵$∠BPC=180°$，
∴$∠BPM + ∠MPN + ∠CPN =180°$，即$x + 2(x+y)=180°$，化简得$3x+2y=180°$，即$y=90°-1.5x$，
∵∠MPB₁与∠NPB₁互为“互优角”，
∴$|x - y|=60°$，分两种情况讨论：
①当$x - y=60°$时，代入$y=90°-1.5x$得：$x - (90°-1.5x)=60°$，解得$x=60°$，符合角度范围；
②当$y - x=60°$时，代入得：$90°-1.5x - x=60°$，解得$x=12°$，符合角度范围。
【答案】
（1）$5°$或$125°$；（2）$40°$或$80°$；（3）可能，$∠BPM$为$60°$或$12°$
【知识点】
新定义理解，翻折的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合自定义概念考查几何折叠问题，解题时需要紧扣定义，灵活运用分类讨论思想分析不同情况，结合平角的性质列方程求解，能有效提升阅读理解能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题是结合新定义“互优角”的几何综合题，解题思路如下：
（1）根据“互优角”的定义，两个角差的绝对值为60°，已知∠1的度数，分∠2比∠1大60°、∠2比∠1小60°两种情况计算，验证结果在0°~180°范围内即可。
（2）先利用折叠的性质得∠MPB=∠MPB₁，结合平角为180°可知∠MPB+∠MPB₁+∠CPB₁=180°，再根据“互优角”的定义，分∠MPB₁＜∠CPB₁、∠MPB₁＞∠CPB₁两种情况列方程求解。
（3）先设∠BPM=∠MPB₁=x，∠NPB₁=y，根据折叠性质可得∠MPN=∠CPN，结合平角为180°列出关于x、y的方程，再结合“互优角”的绝对值关系联立求解，验证结果符合角度范围即可判断是否存在。
【解析】
（1）
∵∠1和∠2互为“互优角”，
∴$|∠1 - ∠2|=60°$，
∵∠1=65°，
∴$∠2=65°+60°=125°$，或$∠2=65°-60°=5°$，两个结果都在0°~180°范围内。
（2）
∵△BMP翻折得△B₁MP，
∴$∠MPB=∠MPB₁$，
已知∠MPB₁与∠CPB₁互为“互优角”，分两种情况讨论：
①当$∠MPB₁＜∠CPB₁$时，$∠CPB₁ - ∠MPB₁=60°$，即$∠CPB₁=∠MPB₁ + 60°$，
∵$∠MPB + ∠MPB₁ + ∠CPB₁=180°$，代入得：$∠MPB₁ + ∠MPB₁ + ∠MPB₁ + 60°=180°$，
解得$∠MPB₁=40°$，
∴$∠MPB=40°$；
②当$∠MPB₁＞∠CPB₁$时，$∠MPB₁ - ∠CPB₁=60°$，即$∠CPB₁=∠MPB₁ - 60°$，
代入平角关系得：$∠MPB₁ + ∠MPB₁ + ∠MPB₁ - 60°=180°$，解得$∠MPB₁=80°$，
∴$∠MPB=80°$。
（3）可能互为“互优角”，求解如下：
设$∠BPM=∠MPB₁=x$，$∠NPB₁=y$，
根据折叠的性质，$∠BPM=∠B₁PM=x$，且点C、C₁关于PN对称，点C₁在MP上，故$∠MPN=∠CPN$，
∵$∠BPC=180°$，
∴$∠BPM + ∠MPN + ∠CPN =180°$，即$x + 2(x+y)=180°$，化简得$3x+2y=180°$，即$y=90°-1.5x$，
∵∠MPB₁与∠NPB₁互为“互优角”，
∴$|x - y|=60°$，分两种情况讨论：
①当$x - y=60°$时，代入$y=90°-1.5x$得：$x - (90°-1.5x)=60°$，解得$x=60°$，符合角度范围；
②当$y - x=60°$时，代入得：$90°-1.5x - x=60°$，解得$x=12°$，符合角度范围。
【答案】
（1）$5°$或$125°$；（2）$40°$或$80°$；（3）可能，$∠BPM$为$60°$或$12°$
【知识点】
新定义理解，翻折的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合自定义概念考查几何折叠问题，解题时需要紧扣定义，灵活运用分类讨论思想分析不同情况，结合平角的性质列方程求解，能有效提升阅读理解能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
