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20. 为了落实“惠民工程”，某街道计划对某小区的居民自来水管道进行改造. 该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍. 如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天.
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5 500元，乙队每天的施工费用为4 500元. 为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成.则该工程施工总费用是多少元？
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5 500元，乙队每天的施工费用为4 500元. 为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成.则该工程施工总费用是多少元？
答案
20. (1) 设该项工程的规定时间是$x$天，由题意得$(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1.5x})×15+\dfrac{1}{x}×10=1$，方程两边同乘$1.5x$，得$2.5×15+1.5×10=1.5x$，解得$x=35$. 检验：将$x=35$代入$1.5x≠0$，所以$x=35$是原分式方程的解
(2) 甲、乙队合做完成所需的天数为$1÷(\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{1.5×35})=21$（天），则该工程施工总费用$=21×(5\ 500+4\ 500)=210\ 000$（元）
(2) 甲、乙队合做完成所需的天数为$1÷(\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{1.5×35})=21$（天），则该工程施工总费用$=21×(5\ 500+4\ 500)=210\ 000$（元）
解析
【分析】
这是工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系推导。（1）问中，先设规定时间为x天，分别表示出甲、乙两队的工作效率：甲队单独x天完成，效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需1.5x天，效率为$\frac{1}{1.5x}$。题目等量关系为：甲乙合作15天的工作量+甲单独做10天的工作量=总工作量1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。（2）问中，先计算甲乙合作的总工作效率，用总工作量1除以合作效率得到合作施工天数，再用每天两队的施工费用总和乘施工天数，即可得到总施工费用。
【解析】
（1）设这项工程的规定时间是$x$天，将总工作量看作单位“1”，则甲队工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队工作效率为$\frac{1}{1.5x}$。
根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1.5x})×15+\dfrac{1}{x}×10=1$
方程两边同乘$1.5x$去分母得：
$2.5×15+1.5×10=1.5x$
计算得$37.5+15=1.5x$，即$52.5=1.5x$，解得$x=35$。
检验：当$x=35$时，$1.5x=52.5≠0$，所以$x=35$是原分式方程的解，且符合实际意义。
（2）甲乙两队合作的工作效率为：$\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{1.5×35}=\dfrac{1}{21}$
甲乙合作完成工程需要的天数为：$1÷\dfrac{1}{21}=21$（天）
总施工费用为：$21×(5500+4500)=210000$（元）
【答案】
（1）35天；（2）210000元
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理工作效率、工作时间、工作量三者的数量关系，找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须检验根的合理性。题目结合实际施工费用计算，考查学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系推导。（1）问中，先设规定时间为x天，分别表示出甲、乙两队的工作效率：甲队单独x天完成，效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需1.5x天，效率为$\frac{1}{1.5x}$。题目等量关系为：甲乙合作15天的工作量+甲单独做10天的工作量=总工作量1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。（2）问中，先计算甲乙合作的总工作效率，用总工作量1除以合作效率得到合作施工天数，再用每天两队的施工费用总和乘施工天数，即可得到总施工费用。
【解析】
（1）设这项工程的规定时间是$x$天，将总工作量看作单位“1”，则甲队工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队工作效率为$\frac{1}{1.5x}$。
根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1.5x})×15+\dfrac{1}{x}×10=1$
方程两边同乘$1.5x$去分母得：
$2.5×15+1.5×10=1.5x$
计算得$37.5+15=1.5x$，即$52.5=1.5x$，解得$x=35$。
检验：当$x=35$时，$1.5x=52.5≠0$，所以$x=35$是原分式方程的解，且符合实际意义。
（2）甲乙两队合作的工作效率为：$\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{1.5×35}=\dfrac{1}{21}$
甲乙合作完成工程需要的天数为：$1÷\dfrac{1}{21}=21$（天）
总施工费用为：$21×(5500+4500)=210000$（元）
【答案】
（1）35天；（2）210000元
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理工作效率、工作时间、工作量三者的数量关系，找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须检验根的合理性。题目结合实际施工费用计算，考查学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
21.【操作发现】（1）如图 11 是一个长为 4b，宽为 a 的长方形，沿图 11 中的虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图 12），那么图 12 中的阴影部分的面积为 ______（用 a，b 的代数式表示）；观察图 12，请你写出$(a+b)^2$，$(a-b)^2$，$ab$之间的等量关系是 ______。
【灵活应用】（2）运用你所得到的公式计算：若 $x$，$y$ 为实数，且 $x-y=7$，$xy=\frac{15}{4}$，求 $x+y$ 的值。
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板$△ AOB$，$△ COD$（$∠ AOB=∠ COD=90°$）按如图 13 所示的方式放置，$A$，$O$，$D$ 在同一直线上，连接 $AC$，$BD$。若 $AD=14$，$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=50$，求阴影部分的面积。
【灵活应用】（2）运用你所得到的公式计算：若 $x$，$y$ 为实数，且 $x-y=7$，$xy=\frac{15}{4}$，求 $x+y$ 的值。
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板$△ AOB$，$△ COD$（$∠ AOB=∠ COD=90°$）按如图 13 所示的方式放置，$A$，$O$，$D$ 在同一直线上，连接 $AC$，$BD$。若 $AD=14$，$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=50$，求阴影部分的面积。
答案
(1) $(a-b)^2$ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) 由(1)得$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$. $\because x-y=7$，$xy=\dfrac{15}{4}$，$\therefore (x+y)^2=49+15=64$，$\therefore x+y=\pm8$
(3) 设$OA=m$，$OB=n$，由于$AD=14$，$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=50$，即$m+n=14$，$\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{1}{2}n^2=50$，$\therefore m^2+n^2=100$，$\therefore$阴影部分面积为$mn=\dfrac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}=48$
(2) 由(1)得$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$. $\because x-y=7$，$xy=\dfrac{15}{4}$，$\therefore (x+y)^2=49+15=64$，$\therefore x+y=\pm8$
(3) 设$OA=m$，$OB=n$，由于$AD=14$，$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=50$，即$m+n=14$，$\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{1}{2}n^2=50$，$\therefore m^2+n^2=100$，$\therefore$阴影部分面积为$mn=\dfrac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}=48$
解析
【分析】
（1）先观察图12：阴影部分为正方形，边长是$(a-b)$，可直接表示其面积；再从整体看，大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$，减去4个小长方形的总面积$4ab$也等于阴影面积，由此可推出三个代数式的等量关系。
（2）第（2）问直接套用第（1）问得到的完全平方变形公式，将已知的$x-y$和$xy$的值代入求出$(x+y)^2$，再开平方即可，注意平方根有正负两个结果。
（3）第（3）问先设$OA=OC=m$，$OB=OD=n$（由三角板全等可得对应边相等），根据A、O、D共线得$m+n=14$；再结合两个三角形的面积和推出$m^2+n^2=100$；阴影部分面积为两个直角三角形的面积和，即$mn$，最后用完全平方公式的变形计算$mn$即可。
【解析】
（1）图12中阴影部分是边长为$a-b$的正方形，因此面积为$(a-b)^2$；
大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影面积也可表示为$(a+b)^2-4ab$，由此可得等量关系：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
（2）由（1）的结论可得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，
将$x-y=7$，$xy=\dfrac{15}{4}$代入得：
$(x+y)^2=7^2+4×\dfrac{15}{4}=49+15=64$，
开平方得$x+y=\pm8$。
（3）设$OA=OC=m$，$OB=OD=n$，
$\because$A、O、D在同一直线上，$AD=14$，$\therefore m+n=14$，
$\because ∠ AOB=∠ COD=90°$，$\therefore ∠ AOC=90°$，
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}m^2$，$S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}n^2$，
由$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=50$得：$\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{1}{2}n^2=50$，即$m^2+n^2=100$，
阴影部分面积为$S_{△ AOB}+S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}mn+\dfrac{1}{2}mn=mn$，
根据完全平方公式变形得：$mn=\dfrac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}=\dfrac{14^2-100}{2}=48$。
【答案】
(1) $(a-b)^2$；$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) $x+y=\pm8$
(3) $48$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；三角形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的推导与应用，渗透数形结合思想，题目梯度设置合理，既需要掌握从图形中提炼代数关系的能力，也需要熟练运用完全平方公式的变形解决问题。
【难度系数】
0.65
（1）先观察图12：阴影部分为正方形，边长是$(a-b)$，可直接表示其面积；再从整体看，大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$，减去4个小长方形的总面积$4ab$也等于阴影面积，由此可推出三个代数式的等量关系。
（2）第（2）问直接套用第（1）问得到的完全平方变形公式，将已知的$x-y$和$xy$的值代入求出$(x+y)^2$，再开平方即可，注意平方根有正负两个结果。
（3）第（3）问先设$OA=OC=m$，$OB=OD=n$（由三角板全等可得对应边相等），根据A、O、D共线得$m+n=14$；再结合两个三角形的面积和推出$m^2+n^2=100$；阴影部分面积为两个直角三角形的面积和，即$mn$，最后用完全平方公式的变形计算$mn$即可。
【解析】
（1）图12中阴影部分是边长为$a-b$的正方形，因此面积为$(a-b)^2$；
大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影面积也可表示为$(a+b)^2-4ab$，由此可得等量关系：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
（2）由（1）的结论可得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，
将$x-y=7$，$xy=\dfrac{15}{4}$代入得：
$(x+y)^2=7^2+4×\dfrac{15}{4}=49+15=64$，
开平方得$x+y=\pm8$。
（3）设$OA=OC=m$，$OB=OD=n$，
$\because$A、O、D在同一直线上，$AD=14$，$\therefore m+n=14$，
$\because ∠ AOB=∠ COD=90°$，$\therefore ∠ AOC=90°$，
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}m^2$，$S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}n^2$，
由$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=50$得：$\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{1}{2}n^2=50$，即$m^2+n^2=100$，
阴影部分面积为$S_{△ AOB}+S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}mn+\dfrac{1}{2}mn=mn$，
根据完全平方公式变形得：$mn=\dfrac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}=\dfrac{14^2-100}{2}=48$。
【答案】
(1) $(a-b)^2$；$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) $x+y=\pm8$
(3) $48$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；三角形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的推导与应用，渗透数形结合思想，题目梯度设置合理，既需要掌握从图形中提炼代数关系的能力，也需要熟练运用完全平方公式的变形解决问题。
【难度系数】
0.65
