22. 阅读以下材料，并解答相关问题.
【背景材料】一个容器装有1 L水，按照以下规则倒水：第1次倒出$\frac{1}{2}$ L水；第2次倒出的水量是$\frac{1}{2}$ L的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{2×3}$ L；第3次倒出的水量是$\frac{1}{3}$ L的$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{3×4}$ L；第4次倒出的水量是$\frac{1}{4}$ L的$\frac{1}{5}$，即$\frac{1}{4×5}$ L；……；第n次倒出的水量是$\frac{1}{n}$ L的$\frac{1}{n+1}$，即$\frac{1}{n(n+1)}$ L.按照这种倒水的方法，这1 L水经过多少次可以倒完？为什么？
数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决.
【规律探究】探索发现：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；…
（1）填空：$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{(\quad)}-\frac{1}{(\quad)}$；$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{(\quad)}-\frac{1}{(\quad)}$（n为正整数）.
【解决问题】
（2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？
（3）若倒出n次后，总共倒出的水量是多少？容器中的1 L水能否被倒完？请说明理由.
【拓展运用】
（4）运用（1）中得到的规律解方程：
$\frac{1}{x(x+1)} + $$ =1+\frac{1}{x}$

(1) 可得$\dfrac{1}{4×5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$（$n$为正整数）. 故答案为：4，5；$n$，$n+1$
(2) 根据倒出10次后，总倒水量是前10个分式的和可知，倒出10次后，总倒水量为$\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dots+\dfrac{1}{10×11}=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11})=1-\dfrac{1}{11}=\dfrac{10}{11}$ L
(3) 倒出$n$次后，总倒水量为$\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dots+\dfrac{1}{n\ (n+1)}=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})=(1-\dfrac{1}{n+1})$ L. $\because 1-\dfrac{1}{n+1}＜1$（$n$为正整数），即总倒出水量始终小于1 L，$\therefore$容器中的1 L水不能被倒完
(4) 原方程左边$=(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1})+(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2})+\dots+(\dfrac{1}{x+2\ 025}-\dfrac{1}{x+2\ 026})=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2\ 026}$，因此方程化为$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2\ 026}=1+\dfrac{1}{x}$，两边同时减去$\dfrac{1}{x}$，得$-\dfrac{1}{x+2\ 026}=1$，两边同乘$x+2\ 026$（$x≠-2\ 026$），得$-1=x+2\ 026$，解得$x=-2\ 027$. 检验：将$x=-2\ 027$代入分母，$x=-2\ 027≠0$，$x+1=-2\ 026≠0$，…，$x+2\ 026=-1≠0$，$\therefore x=-2\ 027$是原方程的解

【分析】
本题围绕分式裂项相消的规律展开，解题思路如下：1. 第（1）问根据给出的裂项示例，直接类比推导即可得到对应拆分结果；2. 第（2）（3）问求总倒水量，本质是求多个形如$\frac{1}{n(n+1)}$的分式的和，利用裂项规律拆分后，中间项会相互抵消，仅保留首尾两项即可快速求和，再根据求和结果判断水能否倒完；3. 第（4）问解方程时，先将左边的分式按照裂项规律拆分、抵消化简，再按照分式方程的求解步骤计算，最后注意检验根是否使原方程分母为0。
【解析】
(1) 根据给出的规律$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，可直接类比得到$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；推广到一般正整数$n$，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 倒出10次的总水量为前10个倒水量的和，代入裂项规律计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{10×11}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{10}-\frac{1}{11})\\=&1-\frac{1}{11}\\=&\frac{10}{11}\ \mathrm{L}\end{aligned}$
(3) 倒出$n$次的总水量同理用裂项相消计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\=&1-\frac{1}{n+1}\ \mathrm{L}\end{aligned}$
由于$n$是正整数，因此$\frac{1}{n+1}＞0$，即$1-\frac{1}{n+1}＜1$，总倒出水量始终小于1L，所以容器中的1L水不能被倒完。
(4) 先对原方程左边用裂项规律化简：
左边$=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\dots+(\frac{1}{x+2025}-\frac{1}{x+2026})=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2026}$
原方程化为$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2026}=1+\frac{1}{x}$，两边同时减去$\frac{1}{x}$得$-\frac{1}{x+2026}=1$，两边同乘$x+2026$（$x≠-2026$）得$-1=x+2026$，解得$x=-2027$。
检验：将$x=-2027$代入原方程所有分母，$x=-2027≠0$，$x+1=-2026≠0$，…，$x+2026=-1≠0$，所有分母均不为0，因此$x=-2027$是原方程的解。
【答案】
(1) 4，5；$n$，$n+1$
(2) $\frac{10}{11}$ L
(3) 倒出$n$次后总倒出水量为$(1-\frac{1}{n+1})$ L，1L水不能被倒完
(4) $x=-2027$
【知识点】
分式裂项相消，分式加减运算，分式方程求解
【点评】
本题将规律探究与实际问题、解方程相结合，既考查了归纳推理能力，又考查了裂项相消法的灵活运用，求解分式方程时需注意检验增根，对运算能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.7