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23. 综合与实践.
【探究课题】三角形重心的性质
【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上. 数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心. 某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图14，已知△ABC是一块匀质三角板，D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，CE，两条线段相交于点G. 小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点G处，三角板能保持水平平衡，从而确定点G即为三角板的重心.
【提出问题】探究图14中，$\frac{AG}{DG}$的值是多少？
为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务：
【知识技能】
（1）任务1：如图15，在△ABC中，AD是△ABC的中线，请用直尺和圆规作出△ABC的重心G.（不写作法，保留作图痕迹）
【解决问题】
（2）任务2：如图16，在△ABC中，点G是△ABC的重心，若△BGC的面积为$a\ \mathrm{cm}^2$，则△ABG的面积为
（3）任务3：在任务2的条件下，求$\frac{AG}{DG}$的值.
【拓展应用】
（4）如图17，在△ABC中，点G是△ABC的重心，连接BG，CG并延长，分别交边AC，AB于点D，E. 若BG⊥CG，BD=3，CE=6，直接利用上面的结论，求四边形AEGD的面积.
【探究课题】三角形重心的性质
【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上. 数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心. 某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图14，已知△ABC是一块匀质三角板，D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，CE，两条线段相交于点G. 小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点G处，三角板能保持水平平衡，从而确定点G即为三角板的重心.
【提出问题】探究图14中，$\frac{AG}{DG}$的值是多少？
为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务：
【知识技能】
（1）任务1：如图15，在△ABC中，AD是△ABC的中线，请用直尺和圆规作出△ABC的重心G.（不写作法，保留作图痕迹）
【解决问题】
（2）任务2：如图16，在△ABC中，点G是△ABC的重心，若△BGC的面积为$a\ \mathrm{cm}^2$，则△ABG的面积为
$a\ \mathrm{cm}^2$
.（3）任务3：在任务2的条件下，求$\frac{AG}{DG}$的值.
【拓展应用】
（4）如图17，在△ABC中，点G是△ABC的重心，连接BG，CG并延长，分别交边AC，AB于点D，E. 若BG⊥CG，BD=3，CE=6，直接利用上面的结论，求四边形AEGD的面积.
答案
23. (1) 如答图40，点G即为所求
(2) $\because$点G是$△ ABC$的重心，$\therefore BF$是AC边上的中线，$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ BCF}$，$S_{△ AGF}=S_{△ CGF}$，$\therefore S_{△ ABF}-S_{△ AGF}=S_{△ BCF}-S_{△ CGF}$，$\therefore S_{△ ABG}=S_{△ BGC}=a\ \mathrm{cm}^2$，故答案为：$a\ \mathrm{cm}^2$
(3) $\because$点G是$△ ABC$的重心，$\therefore AD$是BC边上的中线. 又$\because △ BGC$的面积为$a\ \mathrm{cm}^2$，$\therefore S_{△ CGD}=S_{△ BGD}=\dfrac{1}{2}a\ \mathrm{cm}^2$，$\therefore$由(2)可知，$S_{△ ABG}=S_{△ BGC}=a\ \mathrm{cm}^2$. $\because △ ABG$和$△ BGD$同高，$\therefore \dfrac{AG}{DG}=\dfrac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGD}}=\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}a}=2$
(4) 如答图41，连接AG. $\because$点G是$△ ABC$的重心，$\therefore BD$是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，$\therefore BG=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}×3=2$，$CG=\dfrac{2}{3}CE=\dfrac{2}{3}×6=4$. $\because BG⊥ CG$，$\therefore S_{△ BGC}=\dfrac{1}{2}× BG× CG=\dfrac{1}{2}×2×4=4$. 由(2)知$S_{△ ABG}=S_{△ BGC}=4$，$S_{△ AGC}=S_{△ BGC}=4$，$\therefore S_{△ ABC}=4+4+4=12$. $\because S_{△ BEG}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABG}=2$，$S_{△ CDG}=\dfrac{1}{2}S_{△ AGC}=2$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}AEGD}=S_{△ ABC}-S_{△ BGC}-S_{△ BEG}-S_{△ CDG}=12-4-2-2=4$
解析
【分析】
本题围绕三角形重心的性质展开分层探究，解题思路如下：
1. 任务1：三角形重心是三角形三条中线的交点，已知AD为BC边上的中线，只需再作出任意一条边上的中线，两条中线的交点即为重心G。
2. 任务2：利用"三角形中线可将三角形分成面积相等的两部分"的性质，通过两个等面积组作差，即可推导得到△ABG与△BGC的面积相等。
3. 任务3：先由中线性质得出△BGD和△CGD面积相等，再结合"同高的两个三角形面积之比等于对应底边长之比"的结论，即可求出AG与DG的比值。
4. 拓展应用：先利用重心分中线为2:1的性质求出BG、CG的长度，计算出△BGC的面积，再结合重心分原三角形为三个面积相等的小三角形的结论，用△ABC的总面积减去周围三个小三角形的面积，即可得到四边形AEGD的面积。
【解析】
(1) 作AB（或AC）边上的中线，与AD的交点即为重心G，作图如答图40所示。
(2) 作AC边上的中线BF交AD于G，
∵点G是△ABC的重心，
∴BF为AC中线，可得$S_{△ ABF}=S_{△ BCF}$，$S_{△ AGF}=S_{△ CGF}$，两式相减得$S_{△ ABG}=S_{△ BGC}=a\ \mathrm{cm}^2$。
(3)
∵G是重心，
∴AD是BC边上的中线，D为BC中点，
∴$S_{△ BGD}=S_{△ CGD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}^2$。由(2)知$S_{△ ABG}=a\ \mathrm{cm}^2$，△ABG与△BGD同高，面积比等于底之比，因此$\frac{AG}{DG}=\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGD}}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$。
(4) 连接AG，
∵G是重心，BD、CE为中线，
∴$BG=\frac{2}{3}BD=2$，$CG=\frac{2}{3}CE=4$。
∵$BG⊥ CG$，
∴$S_{△ BGC}=\frac{1}{2}×2×4=4$。由(2)得$S_{△ ABG}=S_{△ AGC}=S_{△ BGC}=4$，$S_{△ ABC}=12$。
∵E、D分别为AB、AC中点，
∴$S_{△ BEG}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}=2$，$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}=2$，因此四边形面积为$12-4-2-2=4$。
【答案】
(1) 如答图40，点G即为所求
(2) $a\ \mathrm{cm}^2$
(3) $\frac{AG}{DG}=2$
(4) 4
【知识点】
三角形重心的性质，三角形面积计算，尺规作图作中线
【点评】
本题梯度设置合理，从基础作图到性质推导再到综合应用，全面考查了对三角形中线、重心性质的理解，以及等积变换思想的运用能力，需要熟练掌握几何基础结论并灵活迁移才能顺利求解。
【难度系数】
0.6
本题围绕三角形重心的性质展开分层探究，解题思路如下：
1. 任务1：三角形重心是三角形三条中线的交点，已知AD为BC边上的中线，只需再作出任意一条边上的中线，两条中线的交点即为重心G。
2. 任务2：利用"三角形中线可将三角形分成面积相等的两部分"的性质，通过两个等面积组作差，即可推导得到△ABG与△BGC的面积相等。
3. 任务3：先由中线性质得出△BGD和△CGD面积相等，再结合"同高的两个三角形面积之比等于对应底边长之比"的结论，即可求出AG与DG的比值。
4. 拓展应用：先利用重心分中线为2:1的性质求出BG、CG的长度，计算出△BGC的面积，再结合重心分原三角形为三个面积相等的小三角形的结论，用△ABC的总面积减去周围三个小三角形的面积，即可得到四边形AEGD的面积。
【解析】
(1) 作AB（或AC）边上的中线，与AD的交点即为重心G，作图如答图40所示。
(2) 作AC边上的中线BF交AD于G，
∵点G是△ABC的重心，
∴BF为AC中线，可得$S_{△ ABF}=S_{△ BCF}$，$S_{△ AGF}=S_{△ CGF}$，两式相减得$S_{△ ABG}=S_{△ BGC}=a\ \mathrm{cm}^2$。
(3)
∵G是重心，
∴AD是BC边上的中线，D为BC中点，
∴$S_{△ BGD}=S_{△ CGD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}^2$。由(2)知$S_{△ ABG}=a\ \mathrm{cm}^2$，△ABG与△BGD同高，面积比等于底之比，因此$\frac{AG}{DG}=\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGD}}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$。
(4) 连接AG，
∵G是重心，BD、CE为中线，
∴$BG=\frac{2}{3}BD=2$，$CG=\frac{2}{3}CE=4$。
∵$BG⊥ CG$，
∴$S_{△ BGC}=\frac{1}{2}×2×4=4$。由(2)得$S_{△ ABG}=S_{△ AGC}=S_{△ BGC}=4$，$S_{△ ABC}=12$。
∵E、D分别为AB、AC中点，
∴$S_{△ BEG}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}=2$，$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}=2$，因此四边形面积为$12-4-2-2=4$。
【答案】
(1) 如答图40，点G即为所求
(2) $a\ \mathrm{cm}^2$
(3) $\frac{AG}{DG}=2$
(4) 4
【知识点】
三角形重心的性质，三角形面积计算，尺规作图作中线
【点评】
本题梯度设置合理，从基础作图到性质推导再到综合应用，全面考查了对三角形中线、重心性质的理解，以及等积变换思想的运用能力，需要熟练掌握几何基础结论并灵活迁移才能顺利求解。
【难度系数】
0.6
