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三、解答题
17.（1）化简：$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2+(2m)^3÷(-8m)$。
（2）先化简，再求值：$(1-\dfrac{a}{a+2})÷\dfrac{a^2-4}{a^2+4a+4}$，其中$a=3$。
17.（1）化简：$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2+(2m)^3÷(-8m)$。
（2）先化简，再求值：$(1-\dfrac{a}{a+2})÷\dfrac{a^2-4}{a^2+4a+4}$，其中$a=3$。
答案
17. (1) $2m^2+2m-2$
(2) 原式$=\dfrac{2}{a-2}$. 把$a=3$代入，原式$=2$
(2) 原式$=\dfrac{2}{a-2}$. 把$a=3$代入，原式$=2$
解析
【分析】
（1）本题是整式的混合运算题，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后算加减”的运算顺序：首先利用平方差公式计算$(2m+1)(2m-1)$，用完全平方公式展开$(m-1)^2$，再计算单项式的除法$(2m)^3÷(-8m)$，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
（2）本题是分式的化简求值题，先计算括号内的分式减法，通分后合并，再将分式除法转化为乘法，对分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果，最后代入$a=3$计算即可，注意代入的值要保证原分式所有分母不为0。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式&=(4m^2-1)-(m^2-2m+1)+8m^3÷(-8m)\\&=4m^2-1 -m^2 +2m -1 -m^2\\&=(4m^2 -m^2 -m^2)+2m +(-1-1)\\&=2m^2+2m-2\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}原式&=(\frac{a+2}{a+2}-\frac{a}{a+2}) ÷ \frac{(a+2)(a-2)}{(a+2)^2}\\&=\frac{2}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2}{a-2}\end{aligned}$
将$a=3$代入化简结果，得：
原式$=\frac{2}{3-2}=2$
【答案】
(1) $2m^2+2m-2$
(2) 化简结果为$\dfrac{2}{a-2}$，求值结果为$2$
【知识点】
1. 整式混合运算
2. 分式化简求值
3. 乘法公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察代数运算的基本规则，解题时需注意整式运算中去括号的符号变化，分式运算中要先对多项式因式分解再约分，计算时细心即可避免失误。
【难度系数】
0.8
（1）本题是整式的混合运算题，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后算加减”的运算顺序：首先利用平方差公式计算$(2m+1)(2m-1)$，用完全平方公式展开$(m-1)^2$，再计算单项式的除法$(2m)^3÷(-8m)$，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
（2）本题是分式的化简求值题，先计算括号内的分式减法，通分后合并，再将分式除法转化为乘法，对分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果，最后代入$a=3$计算即可，注意代入的值要保证原分式所有分母不为0。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式&=(4m^2-1)-(m^2-2m+1)+8m^3÷(-8m)\\&=4m^2-1 -m^2 +2m -1 -m^2\\&=(4m^2 -m^2 -m^2)+2m +(-1-1)\\&=2m^2+2m-2\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}原式&=(\frac{a+2}{a+2}-\frac{a}{a+2}) ÷ \frac{(a+2)(a-2)}{(a+2)^2}\\&=\frac{2}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2}{a-2}\end{aligned}$
将$a=3$代入化简结果，得：
原式$=\frac{2}{3-2}=2$
【答案】
(1) $2m^2+2m-2$
(2) 化简结果为$\dfrac{2}{a-2}$，求值结果为$2$
【知识点】
1. 整式混合运算
2. 分式化简求值
3. 乘法公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察代数运算的基本规则，解题时需注意整式运算中去括号的符号变化，分式运算中要先对多项式因式分解再约分，计算时细心即可避免失误。
【难度系数】
0.8
18. 如图9，已知△ABC的顶点都在图中方格的格点上.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并直接写出A'，B'，C'三点的坐标.
（2）在y轴上找一点P使得PA+PB最小，请直接写出P点坐标.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并直接写出A'，B'，C'三点的坐标.
（2）在y轴上找一点P使得PA+PB最小，请直接写出P点坐标.
答案
18. (1) 如答图38，$△ A'B'C'$即为所求，则$A'(-2,-4)$，$B'(-4,-1)$，$C'(1,2)$
(2) 如答图39，点P即为所求，则$P(0,3)$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标保持不变，纵坐标变为原坐标的相反数。首先确定△ABC三个顶点的原始坐标，再根据规律求出对称点的坐标，最后描点、顺次连接即可得到对称后的三角形。
（2）求解第二问时属于最短路径问题，利用“两点之间线段最短”的原理：作其中一个点关于y轴的对称点，连接对称点与另一个点，该线段与y轴的交点即为所求的P点，此时PA+PB的和最小，再通过求直线解析式即可得到P点坐标。
【解析】
（1）首先观察平面直角坐标系，得到△ABC三个顶点的坐标为：$A(-2,4)$，$B(-4,1)$，$C(1,-2)$。
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得对称点坐标：
$A'$的横坐标与A相同为$-2$，纵坐标为$4$的相反数$-4$，即$A'(-2,-4)$；
$B'$的横坐标与B相同为$-4$，纵坐标为$1$的相反数$-1$，即$B'(-4,-1)$；
$C'$的横坐标与C相同为$1$，纵坐标为$-2$的相反数$2$，即$C'(1,2)$。
在坐标系中依次描出$A'$、$B'$、$C'$三点，顺次连接得到$△ A'B'C'$。
（2）作点A关于y轴的对称点$A''$，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得$A''(2,4)$。
根据轴对称的性质，$PA=PA''$，因此$PA+PB=PA''+PB$，根据两点之间线段最短，当$A''$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$取得最小值，即线段$A''B$与y轴的交点就是所求的P点。
设直线$A''B$的解析式为$y=kx+b$，将$A''(2,4)$、$B(-4,1)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=4\\-4k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$2k+b=4$，得$1+b=4$，解得$b=3$。
因此直线$A''B$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入解析式，得$y=3$，因此P点坐标为$(0,3)$。
【答案】
(1) 如答图38，$△ A'B'C'$即为所求，则$A'(-2,-4)$，$B'(-4,-1)$，$C'(1,2)$
(2) 如答图39，点P即为所求，则$P(0,3)$
【知识点】
轴对称的坐标变换，最短路径问题，一次函数解析式求解
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了轴对称的性质与最短路径的应用，既考查了基础的坐标变换规则，也考查了利用几何性质解决最值问题的能力，是坐标系与几何综合的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标保持不变，纵坐标变为原坐标的相反数。首先确定△ABC三个顶点的原始坐标，再根据规律求出对称点的坐标，最后描点、顺次连接即可得到对称后的三角形。
（2）求解第二问时属于最短路径问题，利用“两点之间线段最短”的原理：作其中一个点关于y轴的对称点，连接对称点与另一个点，该线段与y轴的交点即为所求的P点，此时PA+PB的和最小，再通过求直线解析式即可得到P点坐标。
【解析】
（1）首先观察平面直角坐标系，得到△ABC三个顶点的坐标为：$A(-2,4)$，$B(-4,1)$，$C(1,-2)$。
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得对称点坐标：
$A'$的横坐标与A相同为$-2$，纵坐标为$4$的相反数$-4$，即$A'(-2,-4)$；
$B'$的横坐标与B相同为$-4$，纵坐标为$1$的相反数$-1$，即$B'(-4,-1)$；
$C'$的横坐标与C相同为$1$，纵坐标为$-2$的相反数$2$，即$C'(1,2)$。
在坐标系中依次描出$A'$、$B'$、$C'$三点，顺次连接得到$△ A'B'C'$。
（2）作点A关于y轴的对称点$A''$，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得$A''(2,4)$。
根据轴对称的性质，$PA=PA''$，因此$PA+PB=PA''+PB$，根据两点之间线段最短，当$A''$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$取得最小值，即线段$A''B$与y轴的交点就是所求的P点。
设直线$A''B$的解析式为$y=kx+b$，将$A''(2,4)$、$B(-4,1)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=4\\-4k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$2k+b=4$，得$1+b=4$，解得$b=3$。
因此直线$A''B$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入解析式，得$y=3$，因此P点坐标为$(0,3)$。
【答案】
(1) 如答图38，$△ A'B'C'$即为所求，则$A'(-2,-4)$，$B'(-4,-1)$，$C'(1,2)$
(2) 如答图39，点P即为所求，则$P(0,3)$
【知识点】
轴对称的坐标变换，最短路径问题，一次函数解析式求解
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了轴对称的性质与最短路径的应用，既考查了基础的坐标变换规则，也考查了利用几何性质解决最值问题的能力，是坐标系与几何综合的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
19. 如图10，点C为AB的中点，$CD=BE$，$CD// BE$. 求证：$AD=CE$.
答案
证明：$\because CD// BE$，$\therefore ∠ ACD=∠ B$. $\because$点C为AB中点，$\therefore AC=CB$. 又$\because CD=BE$，$\therefore △ ACD≌△ CBE$（SAS）. $\therefore AD=CE$
解析
【分析】
要证明线段$AD=CE$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先观察图形，$AD$在$△ ACD$中，$CE$在$△ CBE$中，我们只需推导这两个三角形全等即可。第一步先利用平行线的性质得到一组对应角相等，第二步根据中点定义得到一组对应边相等，结合题目给出的$CD=BE$的条件，刚好满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后即可推出对应边相等。
【解析】
证明：$\because CD// BE$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
$\because$点$C$为$AB$中点，
$\therefore AC=CB$（中点的定义）。
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC=CB\\∠ ACD=∠ B\\CD=BE\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=CE$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明：$\because CD// BE$，$\therefore ∠ ACD=∠ B$. $\because$点C为AB中点，$\therefore AC=CB$. 又$\because CD=BE$，$\therefore △ ACD≌△ CBE$（SAS）. $\therefore AD=CE$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；中点的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察全等三角形的判定与性质的应用，解题时只需结合已知条件梳理出全等所需的对应边、对应角关系即可，是几何模块的常规基础考法。
【难度系数】
0.8
要证明线段$AD=CE$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先观察图形，$AD$在$△ ACD$中，$CE$在$△ CBE$中，我们只需推导这两个三角形全等即可。第一步先利用平行线的性质得到一组对应角相等，第二步根据中点定义得到一组对应边相等，结合题目给出的$CD=BE$的条件，刚好满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后即可推出对应边相等。
【解析】
证明：$\because CD// BE$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
$\because$点$C$为$AB$中点，
$\therefore AC=CB$（中点的定义）。
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC=CB\\∠ ACD=∠ B\\CD=BE\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=CE$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明：$\because CD// BE$，$\therefore ∠ ACD=∠ B$. $\because$点C为AB中点，$\therefore AC=CB$. 又$\because CD=BE$，$\therefore △ ACD≌△ CBE$（SAS）. $\therefore AD=CE$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；中点的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察全等三角形的判定与性质的应用，解题时只需结合已知条件梳理出全等所需的对应边、对应角关系即可，是几何模块的常规基础考法。
【难度系数】
0.8
