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7. (★)2024年5月3日，嫦娥六号任务探测器搭乘长征五号运载火箭奔赴与地球相距约为384 400 km的月球，首次执行月球背面采样任务，标志着我国探月工程进入了一个新阶段. 将384 400用科学记数法表示应为【 】
A.$0.3844× 10^{6}$
B.$3.844× 10^{5}$
C.$3.844× 10^{4}$
D.$3844× 10^{2}$
A.$0.3844× 10^{6}$
B.$3.844× 10^{5}$
C.$3.844× 10^{4}$
D.$3844× 10^{2}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时我们分两步走：第一步确定$a$的值，把原数的小数点移动到第一个非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，数小数点移动的位数，原数绝对值大于1时，$n$等于小数点向左移动的位数。也可以通过排除不符合规则的选项快速选出答案。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
对于384400：
1. 确定$a$：将小数点向左移动，直到最高位数字3的后面，得到$a=3.844$，满足$1≤3.844＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了5位，且原数大于1，因此$n=5$。
所以384400用科学记数法表示为$3.844×10^5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，解题核心是准确确定$a$的取值范围和$n$的数值，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时我们分两步走：第一步确定$a$的值，把原数的小数点移动到第一个非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，数小数点移动的位数，原数绝对值大于1时，$n$等于小数点向左移动的位数。也可以通过排除不符合规则的选项快速选出答案。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
对于384400：
1. 确定$a$：将小数点向左移动，直到最高位数字3的后面，得到$a=3.844$，满足$1≤3.844＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了5位，且原数大于1，因此$n=5$。
所以384400用科学记数法表示为$3.844×10^5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，解题核心是准确确定$a$的取值范围和$n$的数值，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.9
8. (★★)对于由四舍五入法得到的近似数$8.8×10^{4}$，下列说法正确的是 【 】
A.精确到十分位
B.精确到个位
C.精确到千位
D.精确到万位
A.精确到十分位
B.精确到个位
C.精确到千位
D.精确到万位
答案
C
解析
【分析】
要判断科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先需要将科学记数法还原为普通整数，再找到近似数的最后一位有效数字在原数中对应的数位，该数位就是这个近似数的精确数位。本题中先把$8.8×10^{4}$还原，再定位最后一位数字的位置即可。
【解析】
第一步，将科学记数法表示的数还原：$8.8×10^{4}=88000$。
第二步，观察$8.8$的最后一位数字是8，对应到原数88000中，这个8处于千位的位置，因此近似数$8.8×10^{4}$精确到千位。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题核心考查用科学记数法表示的近似数的精确度判断，易错点是未还原原数，直接按照$8.8$判断为精确到十分位，解题时牢记先还原再定位数位即可规避错误。
【难度系数】
0.7
要判断科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先需要将科学记数法还原为普通整数，再找到近似数的最后一位有效数字在原数中对应的数位，该数位就是这个近似数的精确数位。本题中先把$8.8×10^{4}$还原，再定位最后一位数字的位置即可。
【解析】
第一步，将科学记数法表示的数还原：$8.8×10^{4}=88000$。
第二步，观察$8.8$的最后一位数字是8，对应到原数88000中，这个8处于千位的位置，因此近似数$8.8×10^{4}$精确到千位。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题核心考查用科学记数法表示的近似数的精确度判断，易错点是未还原原数，直接按照$8.8$判断为精确到十分位，解题时牢记先还原再定位数位即可规避错误。
【难度系数】
0.7
9. (★★)计算：$(5 \frac{1}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) ÷ (-1 \frac{3}{4})$
答案
解：
原式$=(5\frac{1}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) ÷ (-\frac{7}{4})$
$=(\frac{21}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) × (-\frac{4}{7})$
$=\frac{21}{4} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{8} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{12} × (-\frac{4}{7})$
$=-3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
$=-\frac{18}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
$=-\frac{13}{6}$
原式$=(5\frac{1}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) ÷ (-\frac{7}{4})$
$=(\frac{21}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) × (-\frac{4}{7})$
$=\frac{21}{4} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{8} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{12} × (-\frac{4}{7})$
$=-3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
$=-\frac{18}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
$=-\frac{13}{6}$
解析
【分析】
这是一道有理数混合运算题，解题思路如下：1. 先将算式中的带分数转化为假分数，再根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”，将除法运算转化为乘法运算；2. 观察转化后的算式，括号内各项的分子都和后续乘式的分母存在公因数，因此选择用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的和更简便，能降低计算量；3. 展开后分别计算每一组乘法的结果，最后通分计算加减得到最终结果，计算过程中要注意符号的变化。
【解析】
解：
原式$=(5\frac{1}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) ÷ (-\frac{7}{4})$
$=(\frac{21}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) × (-\frac{4}{7})$
根据乘法分配律展开得：
$=\frac{21}{4} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{8} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{12} × (-\frac{4}{7})$
分别计算每一项乘积：
$=-3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
通分后计算加减：
$=-\frac{18}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
$=-\frac{13}{6}$
【答案】
$-\frac{13}{6}$
【知识点】
有理数除法法则，乘法分配律，分数加减运算
【点评】
本题考查有理数混合运算的简便计算，解题时要先观察算式结构，合理运用运算律可大幅简化计算步骤，减少出错概率；计算过程中要注意带分数化假分数、除法转乘法时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
这是一道有理数混合运算题，解题思路如下：1. 先将算式中的带分数转化为假分数，再根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”，将除法运算转化为乘法运算；2. 观察转化后的算式，括号内各项的分子都和后续乘式的分母存在公因数，因此选择用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的和更简便，能降低计算量；3. 展开后分别计算每一组乘法的结果，最后通分计算加减得到最终结果，计算过程中要注意符号的变化。
【解析】
解：
原式$=(5\frac{1}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) ÷ (-\frac{7}{4})$
$=(\frac{21}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) × (-\frac{4}{7})$
根据乘法分配律展开得：
$=\frac{21}{4} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{8} × (-\frac{4}{7}) - \frac{7}{12} × (-\frac{4}{7})$
分别计算每一项乘积：
$=-3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
通分后计算加减：
$=-\frac{18}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
$=-\frac{13}{6}$
【答案】
$-\frac{13}{6}$
【知识点】
有理数除法法则，乘法分配律，分数加减运算
【点评】
本题考查有理数混合运算的简便计算，解题时要先观察算式结构，合理运用运算律可大幅简化计算步骤，减少出错概率；计算过程中要注意带分数化假分数、除法转乘法时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
10. (★★★)计算：
$1^3 = \_\_\_\_\_\_$.
$1^3 + 2^3 = \_\_\_\_\_\_$.
$1^3 + 2^3 + 3^3 = \_\_\_\_\_\_$.
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = \_\_\_\_\_\_$.
利用以上规律，计算：$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ··· + 99^3 + 100^3$.
$1^3 = \_\_\_\_\_\_$.
$1^3 + 2^3 = \_\_\_\_\_\_$.
$1^3 + 2^3 + 3^3 = \_\_\_\_\_\_$.
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = \_\_\_\_\_\_$.
利用以上规律，计算：$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ··· + 99^3 + 100^3$.
答案
解：
$1^3 = \boldsymbol{1}$
$1^3+2^3 = 1+8 = \boldsymbol{9}$
$1^3+2^3+3^3 = 1+8+27 = \boldsymbol{36}$
$1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = \boldsymbol{100}$
观察可得规律：$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$
因此：
$\begin{aligned}1^3+2^3+3^3+\dots+99^3+100^3&=(1+2+3+\dots+100)^2\\&=(\frac{100×(100+1)}{2})^2\\&=5050^2\\&=25502500\end{aligned}$
$1^3 = \boldsymbol{1}$
$1^3+2^3 = 1+8 = \boldsymbol{9}$
$1^3+2^3+3^3 = 1+8+27 = \boldsymbol{36}$
$1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = \boldsymbol{100}$
观察可得规律：$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$
因此：
$\begin{aligned}1^3+2^3+3^3+\dots+99^3+100^3&=(1+2+3+\dots+100)^2\\&=(\frac{100×(100+1)}{2})^2\\&=5050^2\\&=25502500\end{aligned}$
解析
【分析】
解题时先按乘方定义计算前4个简单式子的结果，再观察结果与式子中各底数之和的关系，归纳出通用规律，最后利用规律计算1到100的立方和。第一步：先分别计算1个、2个、3个、4个连续正整数的立方和；第二步：对比结果发现规律：连续正整数的立方和等于这些数的和的平方；第三步：先按等差数列求和方法算出1到100的和，再平方即可得到最终结果。
【解析】
首先计算前4个式子的结果：
$1^3 = 1$
$1^3+2^3 = 1+8 = 9$
$1^3+2^3+3^3 = 1+8+27 = 36$
$1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100$
观察可得规律：$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$
当$n=100$时，代入规律计算：
$\begin{aligned}1^3+2^3+3^3+\dots+99^3+100^3&=(1+2+3+\dots+100)^2\\&=(\frac{100×(100+1)}{2})^2\\&=5050^2\\&=25502500\end{aligned}$
【答案】
1；9；36；100；25502500
【知识点】
有理数乘方运算；数字规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的规律探究题，既考查基础的乘方、加法运算能力，也锻炼观察归纳的逻辑思维能力，掌握立方和的通用规律可以大幅简化同类复杂计算。
【难度系数】
0.7
解题时先按乘方定义计算前4个简单式子的结果，再观察结果与式子中各底数之和的关系，归纳出通用规律，最后利用规律计算1到100的立方和。第一步：先分别计算1个、2个、3个、4个连续正整数的立方和；第二步：对比结果发现规律：连续正整数的立方和等于这些数的和的平方；第三步：先按等差数列求和方法算出1到100的和，再平方即可得到最终结果。
【解析】
首先计算前4个式子的结果：
$1^3 = 1$
$1^3+2^3 = 1+8 = 9$
$1^3+2^3+3^3 = 1+8+27 = 36$
$1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100$
观察可得规律：$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$
当$n=100$时，代入规律计算：
$\begin{aligned}1^3+2^3+3^3+\dots+99^3+100^3&=(1+2+3+\dots+100)^2\\&=(\frac{100×(100+1)}{2})^2\\&=5050^2\\&=25502500\end{aligned}$
【答案】
1；9；36；100；25502500
【知识点】
有理数乘方运算；数字规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的规律探究题，既考查基础的乘方、加法运算能力，也锻炼观察归纳的逻辑思维能力，掌握立方和的通用规律可以大幅简化同类复杂计算。
【难度系数】
0.7
