1.【例】先填表，然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：


观察图象填空：

思考:(1) 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向 平移 个单位长度,可得抛物线 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$;向 平移 个单位长度,可得抛物线$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$.
(2) 对于二次函数 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$,当 $x=$ 时,$y$取最 值为 .

1. 2 1/2 0 1/2 2 1/2 0 1/2 2 9/2 9/2 2 1/2 0 1/2 图象见 向上 y轴(x=0) (0,0) 向上 x=-1 (-1,0) 向上 x=1 (1,0) (1)左 1 右 1 (2)-1 小 0

【分析】
解决这道题首先回忆二次函数顶点式的相关性质和平移规律：第一，二次函数图象平移遵循“左加右减、上加下减”的规则，其中左右平移是针对自变量x的变化，上下平移是针对函数整体的变化；第二，对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，$a＞0$时抛物线开口向上，顶点坐标为$(h,k)$，顶点处函数取最小值$k$。解题时先对比三个抛物线的顶点坐标，即可判断平移方向和距离，再根据开口方向和顶点坐标确定最值即可。
【解析】
1. 填表：按照三个函数的解析式分别代入对应x值计算，可得数值依次为2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、2、$\frac{9}{2}$、$\frac{9}{2}$、2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$，描点画图可得题目给出的对应图象。
2. 图象性质观察：三个函数二次项系数均为$\frac{1}{2}＞0$，因此开口都向上；$y=\frac{1}{2}x^2$对称轴为y轴（$x=0$），顶点为$(0,0)$；$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$对称轴为$x=-1$，顶点为$(-1,0)$；$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$对称轴为$x=1$，顶点为$(1,0)$。
3. 思考问题解答：
(1) 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$顶点为$(0,0)$，$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$顶点为$(-1,0)$，横坐标从0变为-1，说明向左平移1个单位长度可得该抛物线；$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$顶点为$(1,0)$，横坐标从0变为1，说明向右平移1个单位长度可得该抛物线。
(2) 二次函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$开口向上，有最小值，顶点坐标为$(-1,0)$，因此当$x=-1$时，$y$取最小值为0。
【答案】
2 1/2 0 1/2 2 1/2 0 1/2 2 9/2 9/2 2 1/2 0 1/2 图象见 向上 y轴(x=0) (0,0) 向上 x=-1 (-1,0) 向上 x=1 (1,0) (1)左 1 右 1 (2)-1 小 0
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式性质；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数图象的平移规律和顶点式的相关性质，只要熟练掌握“左加右减”的平移规则，能通过顶点式快速判断抛物线的开口方向、顶点坐标和最值，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85

2.【变式】先填表，然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：


观察图象填空：

思考:(1)抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$向平移个单位长度，可得抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$；向平移个单位长度，可得抛物线$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$。
(2)对于二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$，当$x =$时，$y$取最值为。

2. -2 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2 0 -1/2 -2 -9/2 -9/2 -2 -1/2 0 -1/2 图象见 向下 y轴(x=0) (0,0) 向下 x=-1 (-1,0) 向下 x=1 (1,0) (1)左 1 右 1 (2)1 大 0

【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：①形状由$a$决定，本题三个函数$a$均为$-\frac{1}{2}$，仅顶点位置不同；②平移规律为“左加右减（针对自变量$x$）”，即顶点横坐标的变化对应图象的左右平移；③开口方向由$a$的符号决定，$a＜0$时抛物线开口向下，顶点处取得最大值。首先找三个抛物线的顶点坐标，对比顶点的位置变化即可得到平移方向和距离；再根据开口方向判断最值，结合顶点坐标得到最值对应的$x$值和最值大小。
【解析】
1. 平移规律分析：
二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，顶点从$(0,0)$向左移动1个单位得到$(-1,0)$，因此抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$向左平移1个单位长度可得$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$；
$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的顶点坐标为$(1,0)$，顶点从$(0,0)$向右移动1个单位得到$(1,0)$，因此抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位长度可得$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$。
2. 最值分析：
对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，其顶点坐标为$(1,0)$，因此当$x=1$时，$y$取最大值为$0$。
填表结果依次为：$-2,-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2},-2,-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2},-2,-\frac{9}{2},-\frac{9}{2},-2,-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}$，图象绘制符合题目给出的坐标系图象即可。
【答案】
填表：$-2$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-2$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-2$ $-\frac{9}{2}$ $-\frac{9}{2}$ $-2$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$
图象见
思考:(1)左 1 右 1
(2)1 大 0
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的基础性质展开，重点考查平移规律和最值判断，是二次函数图象性质的基础题型，熟练掌握“左加右减”的平移规则和顶点式的顶点坐标、开口方向判断方法，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8