＞小结 1. 二次函数 $y=a(x-h)^2$ 的图象和性质
| $y=a(x-h)^2$ | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最值 | 增减性 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a＞0$ | 开口向 | $x=h$ | $(h,0)$ | 当 $x=$ 时，$y$ 有最 值 | 当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而 ；当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而 |
| $a＜0$ | 开口向 | $x=h$ | $(h,0)$ | 当 $x=$ 时，$y$ 有最 值 | 当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而 ；当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而 |

1. 上 h 小 0 增大 减小 下 h 大 0 减小 增大

【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，结合$a$的符号逐步推导：
1. 先判断开口方向：$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；
2. 再分析最值：开口向上时顶点是最低点，对应最小函数值；开口向下时顶点是最高点，对应最大函数值，顶点坐标为$(h,0)$，所以最值都在$x=h$处取得，值为0；
3. 最后分析增减性：根据开口方向，结合对称轴$x=h$判断左右两侧$y$随$x$的变化规律，开口向上时对称轴右侧递增左侧递减，开口向下时规律相反。
【解析】
当$a＞0$时：
开口方向：向上；
最值：当$x=h$时，$y$有最小值0；
增减性：当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$a＜0$时：
开口方向：向下；
最值：当$x=h$时，$y$有最大值0；
增减性：当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
上；h；小；0；增大；减小；下；h；大；0；减小；增大
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，熟练掌握参数$a$对抛物线开口、最值、增减性的影响是解题的核心，这类知识是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8

1. 二次函数$y=-5(x-1)^2$的图象大致是()

1. D

【分析】
解题时可按“判开口→找顶点→验特殊点”的思路逐步排除错误选项：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除不符合的选项；再结合顶点式的特点确定顶点坐标，进一步排除错误选项；若仍有不确定的可代入特殊点（如与y轴交点）验证即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=-5(x-1)^2$的二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、B选项。
2. 确定顶点坐标：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=1$，$k=0$，因此抛物线顶点坐标为$(1,0)$，即顶点在x轴正半轴。C选项顶点在原点$(0,0)$，不符合特征，排除C。
3. 验证特殊点：令$x=0$，代入函数得$y=-5×(0-1)^2=-5$，即抛物线与y轴交于$(0,-5)$，位于y轴负半轴，与D选项图象特征一致。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征；开口方向判断
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心考查顶点式中各参数对函数图象的影响，掌握开口方向、顶点坐标两个核心判断要素就能快速解题。
【难度系数】
0.8

2. (1)抛物线$y=-4x^2$向右平移4个单位长度后得到抛物线；
(2)抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-4)^2$向平移个单位长度后得到抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$。

2. (1) $y=-4(x-4)^2$ (2) 左 4

【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，需注意所有的加减变换都是针对自变量x本身进行的。
对于第(1)问，已知原抛物线解析式，向右平移属于沿x轴的平移，遵循“右减”规则，将原解析式中的x替换为(x-平移单位数)，即可得到平移后的解析式。
对于第(2)问，对比平移前后两个抛物线的解析式，二次项系数不变，仅自变量部分发生变化，根据变换规则反推平移方向和单位数即可。
【解析】
(1) 抛物线平移时二次项系数不变，根据“左加右减”的平移规则，抛物线$y=-4x^2$向右平移4个单位长度时，将解析式中的$x$替换为$x-4$，可得平移后的抛物线为：
$y=-4(x-4)^2$
(2) 对比两个抛物线解析式：$y=-\dfrac{1}{4}(x-4)^2$和$y=-\dfrac{1}{4}x^2$，自变量部分由$(x-4)$变为$x$，相当于给原自变量$x$加上了4，根据“左加右减”的规则，可知是向左平移了4个单位长度。
【答案】
(1) $y=-4(x-4)^2$；(2) 左，4
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，重点考查对“左加右减、上加下减”平移规则的理解和应用，解题时需注意平移变换仅针对自变量x本身操作，不要与二次项系数混淆，是后续解决复杂二次函数变换问题的基础。
【难度系数】
0.8

3. 如果二次函数$y=a(x-1)^2(a≠0)$的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是。

3. $a＞0$

【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的相关性质：首先明确二次函数$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，其次$a$的符号决定抛物线的开口方向，进而决定函数的增减性：当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大（图象上升）；当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小（图象下降）。本题已知对称轴右侧图象上升，因此可以通过增减性反推$a$的符号，得到取值范围。
【解析】
首先，二次函数$y=a(x-1)^2$是顶点式，其对称轴为直线$x=1$。
根据二次函数的性质：
若$a＞0$，抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而增大，对应图象是上升的，符合题意；
若$a＜0$，抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，对应图象是下降的，不符合题意。
因此$a$的取值范围是$a＞0$。
【答案】
$a＞0$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；开口方向与a的关系
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，重点考察顶点式中对称轴、$a$的符号与函数增减性的对应关系，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

4. 抛物线 $ y = 4(x - 5)^2 $ 的开口向，顶点坐标是，对称轴是；
当 $ x = $时，$ y $ 有最值；
当 $ x ＞ 5 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而。

4. 上 $(5,0)$ $x=5$ 5 小 0 增大

【分析】
拿到本题首先识别给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的形式，解题思路如下：第一步，先确定参数$a$、$h$、$k$的取值；第二步，根据$a$的正负判断开口方向；第三步，根据$h$、$k$直接写出顶点坐标和对称轴；第四步，结合开口方向判断最值情况以及对应$x$的取值和最值大小；第五步，结合开口方向和对称轴，判断$x＞5$时的增减性。
【解析】
本题中抛物线解析式可写成$y=4(x-5)^2+0$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），可得$a=4$，$h=5$，$k=0$。
1. 开口方向：$\because a=4＞0$，$\therefore$抛物线开口向上；
2. 顶点坐标与对称轴：顶点坐标为$(h,k)=(5,0)$，对称轴为直线$x=5$；
3. 最值：由于抛物线开口向上，顶点处$y$取最小值，即当$x=5$时，$y$有最小值，最小值为$k=0$；
4. 增减性：抛物线开口向上时，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
上；$(5,0)$；$x=5$；5；小；0；增大
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点检验对顶点式各参数对应性质的掌握程度，牢记相关规律即可快速作答，是后续解决复杂二次函数问题的基础。
【难度系数】
0.9

5. 老师让写出一个二次函数,满足以下三个性质:
(1)函数图象的顶点在$x$轴上;
(2)当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小;
(3)该函数图象的形状与函数$y=x^2$的相同.
甲同学写出几个二次函数表达式:
①$y=-(x-1)^2$;②$y=(x-1)^2$;
③$y=(x+1)^2$;④$y=(x-2)^2$.
请问甲同学写出的二次函数表达式中哪些符合上述三个性质:.(填序号)

5. ②④

【分析】
解题时先把题干的三个性质转化为对二次函数参数的要求：1. 函数图象形状与$y=x^2$相同，说明二次项系数的绝对值为1；2. 顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，函数可写为顶点式$y=a(x-h)^2$的形式；3. 当$x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，说明二次函数开口向上（开口向上时对称轴左侧函数递减），且对称轴$x=h≥1$（保证$x＜1$的区间都在对称轴左侧）。接下来对照四个表达式逐一判断是否符合上述参数要求即可。
【解析】
首先根据三个性质推导二次函数的特征：
1. 图象形状与$y=x^2$相同，故二次项系数$|a|=1$；
2. 顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，函数形式为$y=a(x-h)^2$；
3. 当$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，可得：①开口向上，即$a＞0$，故$a=1$；②对称轴$x=h≥1$（保证$x＜1$的区间在对称轴左侧，满足递减规律）。
逐一判断四个表达式：
①$y=-(x-1)^2$：$a=-1＜0$，开口向下，不符合要求；
②$y=(x-1)^2$：$a=1$，对称轴$x=1≥1$，符合所有要求；
③$y=(x+1)^2$：对称轴$x=-1＜1$，当$-1＜x＜1$时$y$随$x$增大而增大，不符合要求；
④$y=(x-2)^2$：$a=1$，对称轴$x=2≥1$，$x＜1$时在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，符合所有要求。
综上，符合条件的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；二次函数图像与系数关系
【点评】
本题属于二次函数性质的基础综合题，解题的关键是将题干给出的文字性质转化为对函数系数、对称轴等参数的具体要求，再逐一验证即可，掌握二次函数顶点式的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7

6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=a(x+c)^2$的图象大致为（）

6. B

【分析】
这是一次函数与二次函数图象共存的判断类题目，解题思路是抓住两个函数中公共参数a、c的符号一致性来逐一排除错误选项：①参数a决定一次函数的增减性和二次函数的开口方向：a＞0时一次函数图象上升、二次函数开口向上；a＜0时一次函数图象下降、二次函数开口向下，可先通过a的特征排除矛盾选项；②参数c决定一次函数与y轴交点的位置（交点坐标为(0,c)），也决定二次函数顶点的横坐标（二次函数顶点式为$y=a(x+c)^2$，顶点坐标为$(-c,0)$），再通过c的特征验证剩余选项即可。
【解析】
我们分情况逐一分析选项：
1. 当$a＞0$时：一次函数$y=ax+c$图象上升，二次函数$y=a(x+c)^2$开口向上。
选项A中二次函数开口向下（$a＜0$），与一次函数上升（$a＞0$）矛盾，排除A；
选项C中一次函数与y轴交于负半轴，说明$c＜0$，则二次函数顶点横坐标$-c＞0$，顶点应在x轴正半轴，但选项C的二次函数顶点在x轴负半轴，矛盾，排除C。
2. 当$a＜0$时：一次函数$y=ax+c$图象下降，二次函数$y=a(x+c)^2$开口向下。
选项D中二次函数开口向上（$a＞0$），与一次函数下降（$a＜0$）矛盾，排除D；
选项B中一次函数下降（$a＜0$）、二次函数开口向下（$a＜0$），a的符号一致；一次函数与y轴交于正半轴，说明$c＞0$，则二次函数顶点横坐标$-c＜0$，顶点在x轴负半轴，与图象特征完全匹配。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，函数图象判断
【点评】
本题是函数图象共存类的典型题型，核心解题方法是通过共有的参数符号一致性排查选项，先排查易判断的参数特征，再验证剩余参数的匹配度，不需要计算具体数值即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7

7.已知二次函数$y=-2(x-a)^2$（$a$为常数），当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，则$a$的取值范围是。

7. $a≤3$

【分析】
首先观察二次函数的解析式为顶点式，先确定其开口方向、对称轴，再结合二次函数的增减性规律分析：二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x增大而减小。题目要求x＞3时y随x增大而减小，说明x＞3的区间需完全落在对称轴右侧，由此推导a的取值范围，注意不要遗漏a=3的情况。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-a)^2$：
1. 二次项系数为$-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=a$；
3. 根据开口向下的二次函数的增减性：当$x＞a$时，$y$随$x$的增大而减小；
4. 题目要求当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＞3$的区间全部在对称轴右侧，因此对称轴$x=a$需满足$a≤3$。
【答案】
$a≤3$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数增减性的典型应用题型，解题核心是先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合增减区间和对称轴的位置关系求解参数范围，易错点是容易忽略a=3的边界情况。
【难度系数】
0.7