1.【例】先填表,然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象:
| $x$ | $···$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=(x+1)^2$ | $···$ | | | | | | $···$ |
| $y=(x+1)^2 -2$ | $···$ | | | | | | $···$ |

观察图象填空:
| 函数 | $y=(x+1)^2$ | $y=(x+1)^2 -2$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | | |
| 顶点坐标 | | |
| 对称轴 | | |
思考:(1)抛物线 $y=(x+1)^2$ 向 ______ 平移 ______ 个单位长度,得到抛物线 $y=(x+1)^2 -2$.
抛物线 $y=x^2$ 先向左平移 ______ 个单位长度,再向下平移 ______ 个单位长度,得到抛物线 $y=(x+1)^2 -2$.
(2)对于 $y=(x+1)^2 -2$,当 $x=\_\_\_\_\_\_$ 时, $y$ 有最 ______ 值 ______;
当 $x \_\_\_\_\_\_$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大;
当 $x \_\_\_\_\_\_$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.

1. 填表数值依次为4 1 0 1 4 2 -1 -2 -1 2 开口方向：向上 向上 顶点坐标：(-1,0) (-1,-2) 对称轴：x=-1 x=-1
(1) 下 2 1 2
(2) -1 小 -2 ＞ -1 ＜ -1

【分析】
解题思路如下：1. 填表部分：将表格中给出的x值分别代入两个二次函数解析式，计算对应的y值即可完成填表。2. 函数性质判断：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，①a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；②顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，据此可判断两个函数的开口、顶点和对称轴。3. 平移问题：遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律，对比两个函数解析式的差异即可得到平移方向和距离。4. 最值与增减性：开口向上的抛物线有最小值，在顶点处取得；对称轴右侧y随x增大而增大，对称轴左侧y随x增大而减小，结合对称轴即可作答。
【解析】
第一步：计算函数值完成填表：
① 对于$y=(x+1)^2$：
当$x=-3$时，$y=(-3+1)^2=4$；
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2=1$；
当$x=-1$时，$y=(-1+1)^2=0$；
当$x=0$时，$y=(0+1)^2=1$；
当$x=1$时，$y=(1+1)^2=4$。
② 对于$y=(x+1)^2-2$：
当$x=-3$时，$y=(-3+1)^2-2=2$；
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-2=-1$；
当$x=-1$时，$y=(-1+1)^2-2=-2$；
当$x=0$时，$y=(0+1)^2-2=-1$；
当$x=1$时，$y=(1+1)^2-2=2$。
第二步：判断函数性质：
两个函数的二次项系数均为$1＞0$，因此开口方向都向上；
$y=(x+1)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$；
$y=(x+1)^2-2$的顶点坐标为$(-1,-2)$，对称轴为直线$x=-1$。
第三步：解答思考问题：
(1) 对比$y=(x+1)^2$和$y=(x+1)^2-2$，常数项减2，根据平移规律，是向下平移2个单位得到；
对比$y=x^2$和$y=(x+1)^2-2$，自变量加1（左加），常数项减2（下减），因此是先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到。
(2) $y=(x+1)^2-2$开口向上，因此有最小值，在顶点处取得：当$x=-1$时，$y$有最小值$-2$；
对称轴为$x=-1$，开口向上，因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
填表数值依次为4 1 0 1 4 2 -1 -2 -1 2 开口方向：向上 向上 顶点坐标：(-1,0) (-1,-2) 对称轴：x=-1 x=-1
(1) 下 2 1 2
(2) -1 小 -2 ＞ -1 ＜ -1
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图像平移，二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础题，核心考查顶点式的相关性质和图像平移规律，掌握相关基础结论就能快速解题，有助于巩固二次函数的基础认知。
【难度系数】
0.8

2.【变式】先填表,然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象:


观察图象填空:

思考:(1)抛物线$y=-x^2 +1$向平移个单位长度,得到抛物线$y=-(x-1)^2 +1$.
抛物线$y=-x^2$先向上平移个单位长度,再向右平移个单位长度,得到抛物线$y=-(x-1)^2 +1$.
(2)对于$y=-(x-1)^2 +1$,当$x=$时,$y$有最值;
当$x$时,$y$随$x$的增大而增大;
当$x$时,$y$随$x$的增大而减小.
＞小结 1. 二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象和性质

注意:由二次函数$y=a(x-h)^2 +k$可知其图象的顶点坐标为$(h,k)$,我们称$y=a(x-h)^2 +k$为二次函数的顶点式.
2. 抛物线$y=ax^2 \xrightarrow[\mathrm{向右(左)平移}|h|\mathrm{个单位长度}]{\mathrm{向上(下)平移}|k|\mathrm{个单位长度}}$抛物线$y=a(x-h)^2 +k$

平移规律:左加右减自变量,上加下减常数项

2. 填表数值依次为-3 0 1 0 -3 -8 -8 -3 0 1 0 -3 开口方向：向下 向下 顶点坐标：(0,1) (1,1) 对称轴：x=0 x=1
(1) 右 1 1 1
(2) 1 大 1 ＜1 ＞1
小结 1. 上 h 小 k 增大 减小 下 h 大 k 减小 增大

【分析】
解决本题需结合二次函数顶点式的性质和平移规律思考：①抛物线平移时形状、开口不变，只需对比顶点的平移变化即可，平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的口诀；②对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴是直线$x=h$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点处取最大值，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小。解题时先找对应抛物线的顶点坐标，对比顶点变化得平移情况，再结合$a$的正负和对称轴分析最值与增减性即可。
【解析】
填表与基础图象信息
计算两个函数对应点的数值，依次为-3、0、1、0、-3、-8、-8、-3、0、1、0、-3，画出图象；两个抛物线$a=-1＜0$，开口方向均向下，$y=-x^2+1$顶点坐标为$(0,1)$，对称轴为$x=0$；$y=-(x-1)^2+1$顶点坐标为$(1,1)$，对称轴为$x=1$。
(1) 平移问题
抛物线$y=-x^2+1$顶点为$(0,1)$，$y=-(x-1)^2+1$顶点为$(1,1)$，顶点横坐标从0变为1、纵坐标不变，因此向右平移1个单位长度得到目标抛物线。
抛物线$y=-x^2$顶点为$(0,0)$，要得到顶点$(1,1)$，需先向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度。
(2) 函数性质问题
对于$y=-(x-1)^2+1$，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，顶点为$(1,1)$：
顶点处为最高点，因此$x=1$时，$y$有最大值1；
对称轴为直线$x=1$，开口向下的抛物线对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，即$x＜1$时$y$随$x$增大而增大；对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，即$x＞1$时$y$随$x$增大而减小。
小结内容
对应二次函数顶点式性质，依次填：上、h、小、k、增大、减小、下、h、大、k、减小、增大。
【答案】
填表数值依次为-3 0 1 0 -3 -8 -8 -3 0 1 0 -3 开口方向：向下 向下 顶点坐标：(0,1) (1,1) 对称轴：x=0 x=1
(1) 右 1 1 1
(2) 1 大 1 ＜1 ＞1
小结 1. 上 h 小 k 增大 减小 下 h 大 k 减小 增大
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式性质，二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础知识点，结合顶点坐标分析平移过程更直观简便，牢记平移口诀和顶点式各参数对应的图象特征是解题核心，能够帮助学生夯实二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.8