1. 抛物线$y=-2x^2$先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为。

1. $y=-2(x+1)^2 +3$

【分析】
解决这道题需用到二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是针对自变量x的变化，向左平移时给x加平移单位，向右平移时给x减平移单位；“上加下减”是针对整个函数值的变化，向上平移时给整体加平移单位，向下平移时给整体减平移单位。解题时先处理左右平移，再处理上下平移，且平移过程中二次项系数保持不变。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-2x^2$：
1. 先向左平移1个单位长度，根据“左加右减”原则，将自变量$x$替换为$x+1$，可得平移后的解析式为$y=-2(x+1)^2$；
2. 再向上平移3个单位长度，根据“上加下减”原则，在函数表达式末尾加3，最终得到的抛物线解析式为$y=-2(x+1)^2 + 3$。
【答案】
$y=-2(x+1)^2 +3$
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心考查平移规律的应用，解题的易错点是容易混淆左右平移时对自变量的加减操作，牢记规律针对的对象即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.（2025甘孜州）对于抛物线$y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线$x=-1$
D.当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而增大

2. B

【分析】
题目给出的是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，解题时先提取式中参数$a、h、k$的值，再结合顶点式的性质逐一判断四个选项：先由$a$的正负判断开口方向，再由$h、k$确定顶点坐标和对称轴，最后结合开口方向和对称轴判断函数的增减性即可。
【解析】
抛物线$y=2(x-1)^2+3$为二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=2$，$h=1$，$k=3$：
1. 开口方向判断：$a=2＞0$，抛物线开口向上，故A选项错误；
2. 顶点坐标判断：顶点坐标为$(h,k)$，即$(1,3)$，故B选项正确；
3. 对称轴判断：对称轴为直线$x=h$，即直线$x=1$，故C选项错误；
4. 增减性判断：抛物线开口向上，仅在对称轴右侧（$x＞1$时）$y$随$x$的增大而增大，故D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题关键是牢记顶点式中各参数对应的图象特征，避免混淆顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.8

3. 已知二次函数的图象如图所示，则
(1)顶点坐标为;
(2)对称轴为;
(3)当x=时,y有最大值;
(4)当x时,y随x的增大而增大;
(5)当x=时,y=0.

3. (1) (-3,2) (2) x = -3 (3) -3 2 (4) ＜ -3 (5) -1 或 -5

【分析】
解决这道题需要结合二次函数图像特征与对应性质逐步分析：首先从图像标注中找到抛物线的最高点（顶点），得到顶点坐标；再根据顶点坐标确定二次函数的对称轴；结合抛物线开口方向判断函数的最值和增减性；最后通过抛物线与x轴的交点，得到y=0时对应的x值。
【解析】
(1) 由图中虚线标注可知，抛物线的最高点（顶点）横坐标为-3，纵坐标为2，因此顶点坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$；
(2) 二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，因此对称轴为直线$\boldsymbol{x=-3}$；
(3) 该抛物线开口向下，顶点是函数的最高点，函数在顶点处取得最大值，因此当$\boldsymbol{x=-3}$时，y有最大值$\boldsymbol{2}$；
(4) 开口向下的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，因此当$\boldsymbol{x＜-3}$时，y随x的增大而增大；
(5) 抛物线与x轴交点的横坐标就是y=0时x的取值，由图可知抛物线与x轴交于$(-5,0)$和$(-1,0)$两点，因此当$\boldsymbol{x=-5}$或$\boldsymbol{x=-1}$时，y=0。
【答案】
(1) $(-3,2)$ (2) $x = -3$ (3) $-3$，$2$ (4) $＜ -3$ (5) $-1$或$-5$
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数顶点与对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数图像与性质的基础考查题，解题核心是能准确从图像中提取顶点、与坐标轴交点等关键信息，结合二次函数基本性质即可快速推导结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 把二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得到二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3 $ 的图象.
(1) $ a = $ , $ h = $ , $ k = $ ;
(2)指出二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)当 $ 1 ≤ x ≤ 5 $ 时，求函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的取值范围.

4. 解:(1) $\frac{1}{2}$ 2 -1
(2)二次函数$y=a(x-h)^2 +k$,即$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$的图象开口向上,对称轴为$x=2$,顶点坐标为$(2,-1)$.
(3)
∵ 函数图象开口向上,对称轴为$x=2$,顶点坐标为$(2,-1)$,
∴ 当$1≤x≤2$时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,
当$2≤x≤5$时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
∴ 当 $x=2$ 时,$y$ 有最小值 -1.
∵ 当 $x=1$ 时,$y=\frac{1}{2}×(1-2)^2 -1=-\frac{1}{2}$,
当 $x=5$ 时,$y=\frac{1}{2}×(5-2)^2 -1=\frac{7}{2}$,
∴ 当 $1≤x≤5$ 时,函数 $y$ 的取值范围为 $-1≤y≤\frac{7}{2}$.

【分析】
(1) 二次函数平移过程中二次项系数a保持不变，可直接确定a的值；要得到原函数的h、k，可利用平移的可逆性，将最终的函数图象先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，即可得到原二次函数的顶点式，对照表达式就能求出h、k。
(2) 已知二次函数的顶点式，可直接根据a的正负判断开口方向，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,k)，代入数值作答即可。
(3) 结合函数的开口方向与对称轴，先判断函数在1≤x≤5区间内的增减性，确定最小值对应的x值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可得出y的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数平移不改变二次项系数，因此$a=\frac{1}{2}$；
将$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3$的图象先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，即可得到原函数：
$y=\frac{1}{2}(x+1-3)^2 +3 -4=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$，对照$y = a(x - h)^2 + k$，得$h=2$，$k=-1$。
(2) 由(1)得原二次函数为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$，
∵$a=\frac{1}{2}＞0$，
∴图象开口向上；
对称轴为直线$x=2$；顶点坐标为$(2,-1)$。
(3)
∵函数图象开口向上，对称轴为$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$，
∴当$1≤x≤2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$2≤x≤5$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=2$时，$y$取得最小值$-1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=1$时，$y=\frac{1}{2}×(1-2)^2 -1=-\frac{1}{2}$；
当$x=5$时，$y=\frac{1}{2}×(5-2)^2 -1=\frac{7}{2}$。
∵$\frac{7}{2}＞-\frac{1}{2}$，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值$\frac{7}{2}$，
因此当$1≤x≤5$时，函数$y$的取值范围是$-1≤y≤\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；$2$；$-1$
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$
(3) $-1≤y≤\frac{7}{2}$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，核心考查平移规律、顶点式的相关性质以及区间内取值范围的求解，解题的关键是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，学会结合对称轴和开口方向分析函数增减性来确定最值。
【难度系数】
0.7