1. 抛物线$y=x^2 -4$的顶点坐标是 （）

A.(2,0)
B.(-2,0)
C.(1,-3)
D.(0,-4)

1. D

【分析】
求抛物线顶点坐标有两种常用思路：一是观察解析式形式，本题抛物线$y=x^2-4$属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊形式，这类抛物线对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点在对称轴上，代入$x=0$即可求出顶点纵坐标；二是用一般式的顶点坐标公式直接计算，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法1：观察解析式$y=x^2-4$，不含一次项，因此对称轴为直线$x=0$。
将$x=0$代入解析式，得$y=0^2-4=-4$，即顶点坐标为$(0,-4)$。
方法2：对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），本题中$a=1$，$b=0$，$c=-4$。
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-4)-0^2}{4×1}=-4$
因此顶点坐标为$(0,-4)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标求法、二次函数的基本性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的计算，熟练掌握不同形式下二次函数顶点坐标的求解方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 二次函数$y=-3x^2 -2$的图象的对称轴是（）

A.y轴
B.$x=1$
C.$x=2$
D.x轴

2. A

【分析】
解决这道题的思路很清晰：首先回忆二次函数对称轴的求解方法，我们学过二次函数一般式的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，也知道没有一次项的二次函数图象关于y轴对称。接下来对应题干给出的函数，先确定各项系数，代入公式计算就能得到对称轴，再对应选项选择即可。
【解析】
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴的计算公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
2. 对照题干给出的二次函数$y=-3x^2-2$，可得各项系数：$a=-3$，$b=0$，$c=-2$。
3. 将系数代入对称轴公式计算：$x=-\frac{0}{2×(-3)}=0$，$x=0$对应的就是y轴。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数图象性质
【点评】
本题是基础考点的考查，只要熟练掌握二次函数对称轴公式，或者记住无一次项的二次函数的图象特点，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

3. (2025 上海)将函数$y=3x^2$的图象向下平移2个单位长度后,得到的新函数的解析式为 .

3. $y=3x^2 -2$

【分析】
要解决这道二次函数图像平移求解析式的问题，首先回忆函数图像平移的基本规律：对于函数图像的上下平移，属于沿y轴方向的平移，遵循“上加下减”的规则，即向上平移n个单位就在原函数解析式整体后加n，向下平移n个单位就在原函数解析式整体后减n。本题是将原函数向下平移2个单位，直接套用该规则即可得到新函数解析式。
【解析】
函数图像上下平移遵循“上加下减常数项”的规律：
已知原函数解析式为$y=3x^2$，将其图像向下平移2个单位长度，只需在原解析式的基础上减去平移的单位长度2，
因此新函数的解析式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2 -2$
【知识点】
二次函数图像平移；函数平移规律
【点评】
本题是基础类题型，核心考查函数图像平移的基本运算规则，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速准确作答，是函数平移模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9

4. 已知抛物线$y=-x^2 -5$。
(1) 抛物线的开口向；
(2) 当x时，y随x的增大而增大；
(3) 当x时，y随x的增大而减小；
(4) 当x时，y有最大值。

4. (1) 下
4. (2) ＜0
4. (3) ＞0
4. (4) =0 -5

【分析】
本题考查形如$y=ax^2+k$的二次函数的基本性质，解题思路如下：第一步先确定解析式中$a$和常数项的值，$a$的符号决定抛物线开口方向；第二步确定该抛物线的对称轴，由于该解析式没有一次项，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；第三步结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向下的抛物线，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；第四步开口向下的抛物线顶点为最高点，顶点处y取最大值，代入对称轴的x值即可求出最大y值。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2-5$，属于$y=ax^2+k$型二次函数，其中$a=-1$，$k=-5$，对称轴为直线$x=0$。
(1) 因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下；
(2) 抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，即当$x＜0$时，y随x的增大而增大；
(3) 抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即当$x＞0$时，y随x的增大而减小；
(4) 抛物线开口向下，顶点处y取得最大值，顶点横坐标为对称轴对应的$x=0$，将$x=0$代入解析式得$y=-0^2-5=-5$，即当$x=0$时，y有最大值$-5$。
【答案】
(1) 下；(2) ＜0；(3) ＞0；(4) =0，-5
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、增减性、最值与系数$a$、对称轴的对应规律，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

5.（开放性题目）已知关于$x$的二次函数$y=-x^2 + c$的图象不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数$c$的值为。

5. 0(答案不唯一)

【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：本题中二次函数$y=-x^2+c$的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，顶点坐标为$(0,c)$，函数的最大值为顶点的纵坐标$c$。若函数图象不经过第一、二象限，说明函数值的最大值不能大于0，否则顶点在y轴正半轴时，抛物线会有部分落在第一、二象限。因此只需满足$c≤0$，任选一个符合该范围的常数即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 + c$：
1. 由二次项系数$-1＜0$，可知抛物线开口向下；
2. 其顶点坐标为$(0,c)$，函数的最大值为$c$；
3. 要求图象不经过第一、二象限，即函数所有点的纵坐标都不大于0，因此最大值$c≤0$；
4. 取$c=0$即可满足条件，取任意小于等于0的数均正确。
【答案】
0（答案不唯一，$c≤0$即可）
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数的最值，函数象限判定
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数的基本图象特征，需要结合开口方向、顶点位置判断函数图象的分布，解题关键是明确“不经过第一、二象限”等价于函数最大值不大于0，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

6. 已知抛物线$y=2x^2 -3$，若点$(-4,y_1),(-1,y_2)$在抛物线$y=2x^2 -3$上，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（）

A.$y_1 ＞ y_2$
B.$y_1 = y_2$
C.$y_1 ＜ y_2$
D.无法确定

6. A

【分析】
这道题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，有两种解题思路：思路1：直接将两个点的横坐标代入抛物线解析式，分别计算出$y_1$、$y_2$的值，再比较大小即可；思路2：先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性，结合两个点横坐标的大小关系判断y值的大小。
【解析】
方法1：代入求值法
将$x=-4$代入$y=2x^2-3$，得：
$y_1=2×(-4)^2 - 3 = 2×16 - 3 = 29$
将$x=-1$代入$y=2x^2-3$，得：
$y_2=2×(-1)^2 - 3 = 2×1 - 3 = -1$
$\because29 ＞ -1$
$\therefore y_1 ＞ y_2$
方法2：性质判断法
抛物线$y=2x^2-3$中，$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
在对称轴左侧（$x＜0$时），y随x的增大而减小。
$\because-4 ＜ -1 ＜ 0$，两个点都在对称轴左侧
$\therefore y_1 ＞ y_2$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础应用题，两种解题方法都适用，直接代入计算思路直接，利用增减性判断解题速度更快，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

7. 关于二次函数$y=-2x^2 +3$，下列说法正确的是（）

A.它的图象的开口方向是向上的
B.当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而增大
C.抛物线$y=-2x^2 +3$是由抛物线$y=-2x^2$向下平移3个单位长度得到的
D.当$x=0$时，$y$有最小值3

7. B

【分析】
要解决这道题，我们需要结合二次函数$y=ax^2+k$的相关性质，逐个判断选项是否正确：首先先明确给定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，再对应分析增减性、平移规律、最值三类核心考点，依次排除错误选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+3$：
参数$a=-2＜0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,3)$。
选项A：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，A错误；
选项B：抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大，$x＜-1$属于$x＜0$的范围，因此当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，B正确；
选项C：根据二次函数平移规律“上加下减常数项”，抛物线$y=-2x^2+3$是由$y=-2x^2$向上平移3个单位得到的，C错误；
选项D：抛物线开口向下，顶点为最高点，因此当$x=0$时，$y$有最大值3，不是最小值，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数平移规律，二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础性质的常规考题，核心是熟练掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、增减性、平移规则和最值的判断方法，采用排除法可以快速解题。
【难度系数】
0.8

8. (数形结合)若二次函数$y=ax^2 + c$的图象如图所示,则$a,c$的取值范围为 ()

A.$a＞0,c＞0$
B.$a＞0,c＜0$
C.$a＜0,c＞0$
D.$a＜0,c＜0$

8. C

【分析】
解决本题需结合二次函数图象特征和系数的对应关系分析：首先明确a决定二次函数的开口方向，c是二次函数与y轴交点的纵坐标。先观察图象开口方向判断a的正负，再观察图象与y轴的交点位置判断c的正负，即可得出结论。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+c$：
1. 观察图象可得，抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 当$x=0$时，代入解析式得$y=c$，即抛物线与y轴的交点为$(0,c)$，由图可知交点在y轴正半轴，因此$c＞0$。
综上可得$a＜0,c＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数系数符号判断
【点评】
本题是数形结合思想在二次函数中的基础应用，主要考查二次函数开口方向、与y轴交点位置和系数的对应关系，熟练掌握对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85

9.（数学模型）如图为函数$y=\frac{1}{2}x^2 +1$和$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，则图中阴影部分的面积为。

9. 4

【分析】
首先观察两个二次函数的解析式，二者二次项系数相同，说明抛物线形状完全一致，$y=\frac{1}{2}x^2+1$是$y=\frac{1}{2}x^2$向上平移1个单位得到的，因此任意相同x对应的两个函数值的差恒为1。再看阴影部分的横坐标范围是从-2到2，水平跨度为4。因为两条抛物线形状相同，可通过平移割补将不规则的阴影部分转化为规则的长方形，直接用长方形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 两个二次函数的二次项系数均为$\frac{1}{2}$，
∴ 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+1$是由抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向上平移1个单位得到的，即对任意x，两个函数的差值为：
$(\frac{1}{2}x^2+1)-\frac{1}{2}x^2=1$。
由图可得阴影部分的横坐标取值范围是$-2≤ x≤2$，水平方向的长度为$2-(-2)=4$。
由于两条抛物线形状完全相同，阴影部分可拼接为长为4、宽为1的长方形，
因此阴影部分的面积$S=4×1=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数图象平移，割补法求面积
【点评】
本题巧妙利用二次函数的平移性质，将不规则阴影图形转化为规则的矩形计算面积，体现了转化的数学思想，解题的核心是抓住两个抛物线形状相同、固定差值为1的特点，简化计算过程。
【难度系数】
0.7