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一、分式的化简
1. 计算：
(1)$\frac{3x}{x-4y}+\frac{x+y}{4y-x}-\frac{7y}{x-4y}$；
(2)$\frac{x^2}{x-1}-x-1$；
(3)$\frac{3}{x^2-2x}-\frac{x-2}{x^2-4x+4}$。
1. 计算：
(1)$\frac{3x}{x-4y}+\frac{x+y}{4y-x}-\frac{7y}{x-4y}$；
(2)$\frac{x^2}{x-1}-x-1$；
(3)$\frac{3}{x^2-2x}-\frac{x-2}{x^2-4x+4}$。
答案
1. 解:(1) 原式$=\frac{3x}{x-4y}-\frac{x+y}{x-4y}-\frac{7y}{x-4y}=\frac{3x-x-y-7y}{x-4y}=\frac{2(x-4y)}{x-4y}=2$。
(2) 原式$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\frac{x^2-x^2+1}{x-1}=\frac{1}{x-1}$。
(3) 原式$=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x}{x(x-2)}=\frac{3-x}{x(x-2)}$。
(2) 原式$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\frac{x^2-x^2+1}{x-1}=\frac{1}{x-1}$。
(3) 原式$=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x}{x(x-2)}=\frac{3-x}{x(x-2)}$。
解析
【分析】
本题考查分式的加减运算，解题思路遵循分式加减的核心规则：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，最终结果要化为最简分式或整式。
(1)观察三个分式的分母，发现$4y-x=-(x-4y)$，先将第二个分式的分母转化为$x-4y$，同时分子变号，得到三个同分母分式，再将分子合并化简，最后约分化简即可。
(2)算式是分式减整式，可将整式$x+1$看作分母为1的分式，通分后分母为$x-1$，分子利用平方差公式展开，再合并化简。
(3)先对两个分式的分母因式分解：$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，先对第二个分式约分，再找最简公分母$x(x-2)$通分，最后合并分子化简即可。
【解析】
(1) 统一分母为$x-4y$：
原式$=\frac{3x}{x-4y}-\frac{x+y}{x-4y}-\frac{7y}{x-4y}$
同分母分式加减，分母不变，分子相加减：
$=\frac{3x-x-y-7y}{x-4y}=\frac{2x-8y}{x-4y}$
约分化简：
$=\frac{2(x-4y)}{x-4y}=2$
(2) 将整式通分转化为同分母分式：
原式$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$
分子展开后相减：
$=\frac{x^2-(x^2-1)}{x-1}=\frac{x^2-x^2+1}{x-1}=\frac{1}{x-1}$
(3) 先因式分解分母：
原式$=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x-2}{(x-2)^2}$
约分第二个分式后通分：
$=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x}{x(x-2)}$
分子相减得：
$=\frac{3-x}{x(x-2)}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{x-1}}$；(3) $\boxed{\dfrac{3-x}{x(x-2)}}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式的通分与约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考察分式加减的运算法则，运算过程中需要注意分母互为相反数时的符号变化、整式通分的处理方法，以及因式分解在找公分母、约分中的应用，最终运算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的加减运算，解题思路遵循分式加减的核心规则：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，最终结果要化为最简分式或整式。
(1)观察三个分式的分母，发现$4y-x=-(x-4y)$，先将第二个分式的分母转化为$x-4y$，同时分子变号，得到三个同分母分式，再将分子合并化简，最后约分化简即可。
(2)算式是分式减整式，可将整式$x+1$看作分母为1的分式，通分后分母为$x-1$，分子利用平方差公式展开，再合并化简。
(3)先对两个分式的分母因式分解：$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，先对第二个分式约分，再找最简公分母$x(x-2)$通分，最后合并分子化简即可。
【解析】
(1) 统一分母为$x-4y$：
原式$=\frac{3x}{x-4y}-\frac{x+y}{x-4y}-\frac{7y}{x-4y}$
同分母分式加减，分母不变，分子相加减：
$=\frac{3x-x-y-7y}{x-4y}=\frac{2x-8y}{x-4y}$
约分化简：
$=\frac{2(x-4y)}{x-4y}=2$
(2) 将整式通分转化为同分母分式：
原式$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$
分子展开后相减：
$=\frac{x^2-(x^2-1)}{x-1}=\frac{x^2-x^2+1}{x-1}=\frac{1}{x-1}$
(3) 先因式分解分母：
原式$=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x-2}{(x-2)^2}$
约分第二个分式后通分：
$=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x(x-2)}-\frac{x}{x(x-2)}$
分子相减得：
$=\frac{3-x}{x(x-2)}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{x-1}}$；(3) $\boxed{\dfrac{3-x}{x(x-2)}}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式的通分与约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考察分式加减的运算法则，运算过程中需要注意分母互为相反数时的符号变化、整式通分的处理方法，以及因式分解在找公分母、约分中的应用，最终运算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$\dfrac{2}{a^2 -1} ÷ ( \dfrac{1}{a-1} - \dfrac{1}{a+1} ).$
答案
解: 原式$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} ÷ \frac{a+1-a+1}{(a+1)(a-1)}=\frac{2}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a+1)(a-1)}{2}=1$。
解析
【分析】
本题是分式混合运算题，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的除法：首先对括号内的异分母分式通分，最简公分母为$(a+1)(a-1)$，计算出括号内的结果；再将括号外分式的分母利用平方差公式因式分解，把除法转化为乘法后约分，即可得到最终结果。
【解析】
解：先对各分式分母因式分解，再计算括号内的异分母分式减法：
原式$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} ÷ \frac{a+1-(a-1)}{(a+1)(a-1)}$
化简括号内的分子：
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} ÷ \frac{a+1-a+1}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} ÷ \frac{2}{(a+1)(a-1)}$
将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再约分：
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a+1)(a-1)}{2}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式混合运算、异分母分式通分、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考察分式的运算顺序和运算法则，运算前先对分母因式分解，能更快捷地找到公分母、完成约分，计算括号内的部分时要注意去括号的符号问题，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
本题是分式混合运算题，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的除法：首先对括号内的异分母分式通分，最简公分母为$(a+1)(a-1)$，计算出括号内的结果；再将括号外分式的分母利用平方差公式因式分解，把除法转化为乘法后约分，即可得到最终结果。
【解析】
解：先对各分式分母因式分解，再计算括号内的异分母分式减法：
原式$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} ÷ \frac{a+1-(a-1)}{(a+1)(a-1)}$
化简括号内的分子：
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} ÷ \frac{a+1-a+1}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} ÷ \frac{2}{(a+1)(a-1)}$
将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再约分：
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a+1)(a-1)}{2}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式混合运算、异分母分式通分、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考察分式的运算顺序和运算法则，运算前先对分母因式分解，能更快捷地找到公分母、完成约分，计算括号内的部分时要注意去括号的符号问题，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
3. (2025 陕西模拟) 计算：$(1 - \dfrac{1}{x+2}) ÷ \dfrac{x+1}{x^2 + 4x + 4}$
答案
解: 原式$=\frac{x+2-1}{x+2} · \frac{(x+2)^2}{x+1}=\frac{x+1}{x+2} · \frac{(x+2)^2}{x+1}=x+2$。
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题思路如下：第一步先处理括号内的分式减法，将1通分为分母为$x+2$的分式，再和$\dfrac{1}{x+2}$相减；第二步将分式除法转化为乘法运算，同时利用完全平方公式对多项式$x^2+4x+4$进行因式分解；第三步找出分子分母的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\dfrac{x+2-1}{x+2} · \dfrac{(x+2)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x+1}{x+2} · \dfrac{(x+2)^2}{x+1}$
约去分子分母的公因式$x+1$和$x+2$，可得：
原式$=x+2$
【答案】
$x+2$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题的核心是遵循分式运算顺序，正确运用通分、因式分解、约分的相关方法，计算时注意符号和公因式的判断，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
本题是分式的混合运算题，解题思路如下：第一步先处理括号内的分式减法，将1通分为分母为$x+2$的分式，再和$\dfrac{1}{x+2}$相减；第二步将分式除法转化为乘法运算，同时利用完全平方公式对多项式$x^2+4x+4$进行因式分解；第三步找出分子分母的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\dfrac{x+2-1}{x+2} · \dfrac{(x+2)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x+1}{x+2} · \dfrac{(x+2)^2}{x+1}$
约去分子分母的公因式$x+1$和$x+2$，可得：
原式$=x+2$
【答案】
$x+2$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题的核心是遵循分式运算顺序，正确运用通分、因式分解、约分的相关方法，计算时注意符号和公因式的判断，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
二、先化简,再直接代入求值
4. (2025 苏州模拟) 先化简, 再求值:
$(\dfrac{2}{x-1}+1)·\dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$,其中 $x=-2$.
4. (2025 苏州模拟) 先化简, 再求值:
$(\dfrac{2}{x-1}+1)·\dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$,其中 $x=-2$.
答案
4. 解: 原式$=\frac{2+x-1}{x-1} · \frac{x(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{x+1}{x-1} · \frac{x(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{x}{x+1}$；
当 $x=-2$ 时, 原式$=\frac{-2}{-2+1}=2$。
当 $x=-2$ 时, 原式$=\frac{-2}{-2+1}=2$。
解析
【分析】
这是分式化简求值的常规题型，解题思路分为两步：第一步先化简原式，首先处理括号内的分式加法，将整数1转化为分母为$x-1$的分式，通分后完成加法运算；再对相乘的两个分式的分子、分母分别因式分解，通过约分化为最简分式；第二步代入$x=-2$计算结果，代入前可确认$x=-2$可使原式所有分母不为0，可直接代入计算。
【解析】
解：先计算括号内的加法，通分得：
原式$=\frac{2+(x-1)}{x-1} · \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$
对分子、分母分别因式分解：
$=\frac{x+1}{x-1} · \frac{x(x-1)}{(x+1)^2}$
约去公因式$x-1$和$x+1$（$x≠1$且$x≠-1$），化简得：
$=\frac{x}{x+1}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
当$x=-2$时，原式$=\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察分式通分、约分以及因式分解的运用，计算时需注意运算顺序和符号，代入求值前要确认所给$x$的值使原分式有意义。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值的常规题型，解题思路分为两步：第一步先化简原式，首先处理括号内的分式加法，将整数1转化为分母为$x-1$的分式，通分后完成加法运算；再对相乘的两个分式的分子、分母分别因式分解，通过约分化为最简分式；第二步代入$x=-2$计算结果，代入前可确认$x=-2$可使原式所有分母不为0，可直接代入计算。
【解析】
解：先计算括号内的加法，通分得：
原式$=\frac{2+(x-1)}{x-1} · \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$
对分子、分母分别因式分解：
$=\frac{x+1}{x-1} · \frac{x(x-1)}{(x+1)^2}$
约去公因式$x-1$和$x+1$（$x≠1$且$x≠-1$），化简得：
$=\frac{x}{x+1}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
当$x=-2$时，原式$=\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察分式通分、约分以及因式分解的运用，计算时需注意运算顺序和符号，代入求值前要确认所给$x$的值使原分式有意义。
【难度系数】
0.8
5. (2025 内蒙古模拟)先化简,再求值: $(\dfrac{4}{x+2} + x - 2) ÷ \dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4} + 3$,其中 $x = -\dfrac{7}{2}$.
答案
解: 原式$=(\frac{4}{x+2}+\frac{x^2-4}{x+2}) · \frac{x^2-4}{x^2-2x}+3=\frac{x^2}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}+3=x+3$。
当 $x=-\frac{7}{2}$ 时, 原式$=-\frac{7}{2}+3=-\frac{1}{2}$。
当 $x=-\frac{7}{2}$ 时, 原式$=-\frac{7}{2}+3=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题为分式化简求值类题目，遵循“先化简，后代入求值”的思路解题：①先处理括号内的运算，括号内包含分式和整式，需将整式x-2通分，转化为分母为x+2的分式，再按照同分母分式加法法则计算括号内的结果；②再处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，同时对分子、分母中可因式分解的多项式进行因式分解：x²-4用平方差公式分解，x²-2x提取公因式x；③对分式部分约分，将原式化简为最简整式；最后将给定的x值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{4}{x+2}+\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}) · \frac{x^2-4}{x^2-2x} + 3\\&=\frac{4 + x^2 - 4}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)} + 3\\&=\frac{x^2}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)} + 3\\&=x + 3\end{aligned}$
将$x=-\frac{7}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{7}{2} + 3 = -\frac{7}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规考题，重点考察分式运算法则的应用，解题关键是正确完成通分、因式分解、约分步骤，计算时要遵循运算顺序，代值时注意符号处理，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值类题目，遵循“先化简，后代入求值”的思路解题：①先处理括号内的运算，括号内包含分式和整式，需将整式x-2通分，转化为分母为x+2的分式，再按照同分母分式加法法则计算括号内的结果；②再处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，同时对分子、分母中可因式分解的多项式进行因式分解：x²-4用平方差公式分解，x²-2x提取公因式x；③对分式部分约分，将原式化简为最简整式；最后将给定的x值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{4}{x+2}+\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}) · \frac{x^2-4}{x^2-2x} + 3\\&=\frac{4 + x^2 - 4}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)} + 3\\&=\frac{x^2}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)} + 3\\&=x + 3\end{aligned}$
将$x=-\frac{7}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{7}{2} + 3 = -\frac{7}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规考题，重点考察分式运算法则的应用，解题关键是正确完成通分、因式分解、约分步骤，计算时要遵循运算顺序，代值时注意符号处理，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
