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3. 下列计算中，错误的是 （
A.$( \dfrac{3y}{-x^2} )^3 = \dfrac{-9y^3}{x^6}$
B.$( \dfrac{4b^3}{-3c^2} )^2 = \dfrac{16b^6}{9c^4}$
C.$( \dfrac{5x^3y^2}{-2z} )^2 = \dfrac{25x^6y^4}{4z^2}$
D.$( \dfrac{b^2}{-a^3} )^2 = \dfrac{b^4}{a^6}$
A
）A.$( \dfrac{3y}{-x^2} )^3 = \dfrac{-9y^3}{x^6}$
B.$( \dfrac{4b^3}{-3c^2} )^2 = \dfrac{16b^6}{9c^4}$
C.$( \dfrac{5x^3y^2}{-2z} )^2 = \dfrac{25x^6y^4}{4z^2}$
D.$( \dfrac{b^2}{-a^3} )^2 = \dfrac{b^4}{a^6}$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查分式乘方的运算，解题思路是依据分式乘方法则：分式乘方，将分子、分母分别乘方，结合积的乘方、幂的乘方法则，以及负数乘方的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正），逐一计算每个选项的结果，对比后找出错误的选项。
【解析】
根据分式乘方的运算规则逐个验证选项：
1. 验证选项A：
$(\dfrac{3y}{-x^2})^3 = \dfrac{(3y)^3}{(-x^2)^3} = \dfrac{3^3 · y^3}{(-1)^3 · (x^2)^3} = \dfrac{27y^3}{-x^6} = -\dfrac{27y^3}{x^6}$，和选项给出的$\dfrac{-9y^3}{x^6}$不符，故A错误。
2. 验证选项B：
$(\dfrac{4b^3}{-3c^2})^2 = \dfrac{(4b^3)^2}{(-3c^2)^2} = \dfrac{4^2 · (b^3)^2}{(-3)^2 · (c^2)^2} = \dfrac{16b^6}{9c^4}$，和选项一致，故B正确。
3. 验证选项C：
$(\dfrac{5x^3y^2}{-2z})^2 = \dfrac{(5x^3y^2)^2}{(-2z)^2} = \dfrac{5^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2}{(-2)^2 · z^2} = \dfrac{25x^6y^4}{4z^2}$，和选项一致，故C正确。
4. 验证选项D：
$(\dfrac{b^2}{-a^3})^2 = \dfrac{(b^2)^2}{(-a^3)^2} = \dfrac{b^4}{(-1)^2 · (a^3)^2} = \dfrac{b^4}{a^6}$，和选项一致，故D正确。
【答案】
A
【知识点】
分式乘方运算、幂的乘方法则、积的乘方法则
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，易错点是容易遗漏系数的乘方，或者忽略负数乘方的符号规律，运算时要注意分子分母的每一项（包括系数、字母）都要分别乘方，再根据乘方的奇偶性判断结果符号。
【难度系数】
0.8
本题考查分式乘方的运算，解题思路是依据分式乘方法则：分式乘方，将分子、分母分别乘方，结合积的乘方、幂的乘方法则，以及负数乘方的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正），逐一计算每个选项的结果，对比后找出错误的选项。
【解析】
根据分式乘方的运算规则逐个验证选项：
1. 验证选项A：
$(\dfrac{3y}{-x^2})^3 = \dfrac{(3y)^3}{(-x^2)^3} = \dfrac{3^3 · y^3}{(-1)^3 · (x^2)^3} = \dfrac{27y^3}{-x^6} = -\dfrac{27y^3}{x^6}$，和选项给出的$\dfrac{-9y^3}{x^6}$不符，故A错误。
2. 验证选项B：
$(\dfrac{4b^3}{-3c^2})^2 = \dfrac{(4b^3)^2}{(-3c^2)^2} = \dfrac{4^2 · (b^3)^2}{(-3)^2 · (c^2)^2} = \dfrac{16b^6}{9c^4}$，和选项一致，故B正确。
3. 验证选项C：
$(\dfrac{5x^3y^2}{-2z})^2 = \dfrac{(5x^3y^2)^2}{(-2z)^2} = \dfrac{5^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2}{(-2)^2 · z^2} = \dfrac{25x^6y^4}{4z^2}$，和选项一致，故C正确。
4. 验证选项D：
$(\dfrac{b^2}{-a^3})^2 = \dfrac{(b^2)^2}{(-a^3)^2} = \dfrac{b^4}{(-1)^2 · (a^3)^2} = \dfrac{b^4}{a^6}$，和选项一致，故D正确。
【答案】
A
【知识点】
分式乘方运算、幂的乘方法则、积的乘方法则
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，易错点是容易遗漏系数的乘方，或者忽略负数乘方的符号规律，运算时要注意分子分母的每一项（包括系数、字母）都要分别乘方，再根据乘方的奇偶性判断结果符号。
【难度系数】
0.8
4.计算：$( \dfrac{ab^2}{c^2} )^3 = \_\_\_\_\_\_$ .
答案
$\dfrac{a^3b^6}{c^6}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘方运算，解题时可依据分式乘方的运算法则思考：第一步，分式乘方需将分子、分母分别乘方；第二步，对分子的积的乘方运算，需将每个因式分别乘方；第三步，对幂的乘方运算，遵循底数不变、指数相乘的规则，逐步计算即可得到结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：分式乘方，把分子、分母各自乘方，可得：
$( \dfrac{ab^2}{c^2} )^3 = \dfrac{(ab^2)^3}{(c^2)^3}$
再根据积的乘方运算法则，对分子展开：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3$
根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，计算得：
$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6，(c^2)^3 = c^{2×3}=c^6$
将上述结果代入，可得：
$\dfrac{(ab^2)^3}{(c^2)^3} = \dfrac{a^3b^6}{c^6}$
【答案】
$\dfrac{a^3b^6}{c^6}$
【知识点】
分式的乘方、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是考查各类乘方运算法则的应用，计算时注意拆分运算步骤，避免指数计算错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘方运算，解题时可依据分式乘方的运算法则思考：第一步，分式乘方需将分子、分母分别乘方；第二步，对分子的积的乘方运算，需将每个因式分别乘方；第三步，对幂的乘方运算，遵循底数不变、指数相乘的规则，逐步计算即可得到结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：分式乘方，把分子、分母各自乘方，可得：
$( \dfrac{ab^2}{c^2} )^3 = \dfrac{(ab^2)^3}{(c^2)^3}$
再根据积的乘方运算法则，对分子展开：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3$
根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，计算得：
$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6，(c^2)^3 = c^{2×3}=c^6$
将上述结果代入，可得：
$\dfrac{(ab^2)^3}{(c^2)^3} = \dfrac{a^3b^6}{c^6}$
【答案】
$\dfrac{a^3b^6}{c^6}$
【知识点】
分式的乘方、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是考查各类乘方运算法则的应用，计算时注意拆分运算步骤，避免指数计算错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$(\dfrac{-a}{b})^2 ÷ (\dfrac{2a^2}{5b})^2 · \dfrac{a}{5b} =$
$\dfrac{5}{4ab}$
。答案
5. $\dfrac{5}{4ab}$
解析
【分析】
本题是分式的乘方、乘除混合运算题，解题思路如下：首先按照运算顺序，先计算分式的乘方，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，注意负数的偶次幂为正；再将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；最后将所有分子相乘作分子、分母相乘作分母，通过约分化为最简分式即可。
【解析】
解：先计算乘方：
$(\dfrac{-a}{b})^2 = \dfrac{(-a)^2}{b^2} = \dfrac{a^2}{b^2}$
$(\dfrac{2a^2}{5b})^2 = \dfrac{(2a^2)^2}{(5b)^2} = \dfrac{4a^4}{25b^2}$
将除法转化为乘法，原式变为：
$\dfrac{a^2}{b^2} × \dfrac{25b^2}{4a^4} × \dfrac{a}{5b}$
分别计算系数和字母部分：
系数部分：$\dfrac{25}{4 × 5} = \dfrac{5}{4}$
字母$a$部分：$\dfrac{a^2 · a}{a^4} = \dfrac{a^3}{a^4} = \dfrac{1}{a}$
字母$b$部分：$\dfrac{b^2}{b^2 · b} = \dfrac{1}{b}$
将各部分相乘得：$\dfrac{5}{4} × \dfrac{1}{a} × \dfrac{1}{b} = \dfrac{5}{4ab}$
【答案】
$\dfrac{5}{4ab}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时需严格遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序，注意乘方运算中系数、字母的指数变化以及符号的处理，约分要彻底，避免因运算顺序错误或约分疏漏失分。
【难度系数】
0.7
本题是分式的乘方、乘除混合运算题，解题思路如下：首先按照运算顺序，先计算分式的乘方，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，注意负数的偶次幂为正；再将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；最后将所有分子相乘作分子、分母相乘作分母，通过约分化为最简分式即可。
【解析】
解：先计算乘方：
$(\dfrac{-a}{b})^2 = \dfrac{(-a)^2}{b^2} = \dfrac{a^2}{b^2}$
$(\dfrac{2a^2}{5b})^2 = \dfrac{(2a^2)^2}{(5b)^2} = \dfrac{4a^4}{25b^2}$
将除法转化为乘法，原式变为：
$\dfrac{a^2}{b^2} × \dfrac{25b^2}{4a^4} × \dfrac{a}{5b}$
分别计算系数和字母部分：
系数部分：$\dfrac{25}{4 × 5} = \dfrac{5}{4}$
字母$a$部分：$\dfrac{a^2 · a}{a^4} = \dfrac{a^3}{a^4} = \dfrac{1}{a}$
字母$b$部分：$\dfrac{b^2}{b^2 · b} = \dfrac{1}{b}$
将各部分相乘得：$\dfrac{5}{4} × \dfrac{1}{a} × \dfrac{1}{b} = \dfrac{5}{4ab}$
【答案】
$\dfrac{5}{4ab}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时需严格遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序，注意乘方运算中系数、字母的指数变化以及符号的处理，约分要彻底，避免因运算顺序错误或约分疏漏失分。
【难度系数】
0.7
6. 计算：
(1) $(-\dfrac{a^2 b}{c})^2 · (-c^2)^2 ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(2) $6a^2 b ÷ (-\dfrac{a}{2b})^2 · \dfrac{a}{4b^2}$；
(3) $(\dfrac{b}{2a})^2 ÷ (-\dfrac{b}{a}) · (\dfrac{3b}{4a})^3 · (\dfrac{4a}{3b})^2$。
(1) $(-\dfrac{a^2 b}{c})^2 · (-c^2)^2 ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(2) $6a^2 b ÷ (-\dfrac{a}{2b})^2 · \dfrac{a}{4b^2}$；
(3) $(\dfrac{b}{2a})^2 ÷ (-\dfrac{b}{a}) · (\dfrac{3b}{4a})^3 · (\dfrac{4a}{3b})^2$。
答案
(1) 原式$=\dfrac{a^4b^2}{c^2} · c^4 ÷ (\dfrac{b^4c^4}{a^4}) =\dfrac{a^4b^2}{c^2} · c^4 · \dfrac{a^4}{b^4c^4} =\dfrac{a^8}{b^2c^2}$。
(2) 原式$=6a^2b · \dfrac{4b^2}{a^2} · \dfrac{a}{4b^2}=6ab$。
(3) 原式$=\dfrac{b^2}{4a^2} · (-\dfrac{a}{b}) · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2} = -\dfrac{b}{4a} · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2} = -\dfrac{3b^2}{16a^2}$。
(2) 原式$=6a^2b · \dfrac{4b^2}{a^2} · \dfrac{a}{4b^2}=6ab$。
(3) 原式$=\dfrac{b^2}{4a^2} · (-\dfrac{a}{b}) · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2} = -\dfrac{b}{4a} · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2} = -\dfrac{3b^2}{16a^2}$。
解析
【分析】
这三道题属于分式的乘方与乘除混合运算，解题遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序：①先根据分式乘方法则（分子、分母分别乘方）和幂的运算规则计算所有乘方项，注意负数乘方的符号规律：偶次幂为正，奇次幂为负；②再将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；③最后对分子、分母的公因式进行约分，将结果化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方项：
$(-\dfrac{a^2 b}{c})^2=\dfrac{a^4b^2}{c^2}$，$(-c^2)^2=c^4$，$(\dfrac{bc}{a})^4=\dfrac{b^4c^4}{a^4}$
原式转化为乘法运算：
$\dfrac{a^4b^2}{c^2} · c^4 ÷ \dfrac{b^4c^4}{a^4} =\dfrac{a^4b^2}{c^2} · c^4 · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
约分后计算得：$\dfrac{a^8}{b^2c^2}$
(2) 先计算乘方项：$(-\dfrac{a}{2b})^2=\dfrac{a^2}{4b^2}$
原式转化为乘法运算：
$6a^2 b ÷ \dfrac{a^2}{4b^2} · \dfrac{a}{4b^2}=6a^2b · \dfrac{4b^2}{a^2} · \dfrac{a}{4b^2}$
约分后计算得：$6ab$
(3) 先计算乘方项：
$(\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{4a^2}$，$(\dfrac{3b}{4a})^3=\dfrac{27b^3}{64a^3}$，$(\dfrac{4a}{3b})^2=\dfrac{16a^2}{9b^2}$
原式转化为乘法运算：
$\dfrac{b^2}{4a^2} · (-\dfrac{a}{b}) · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2}$
逐步约分计算：
先算前两项得$-\dfrac{b}{4a}$，再乘后两项：$-\dfrac{b}{4a} · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2}=-\dfrac{3b^2}{16a^2}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^8}{b^2c^2}$；(2) $6ab$；(3) $-\dfrac{3b^2}{16a^2}$
【知识点】
分式的乘方；分式的乘除运算；幂的运算性质
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，核心是牢记运算顺序，运算时要注意负数乘方的符号判断，约分过程要找准分子分母的公因式，避免出现指数、系数计算错误。
【难度系数】
0.7
这三道题属于分式的乘方与乘除混合运算，解题遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序：①先根据分式乘方法则（分子、分母分别乘方）和幂的运算规则计算所有乘方项，注意负数乘方的符号规律：偶次幂为正，奇次幂为负；②再将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；③最后对分子、分母的公因式进行约分，将结果化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方项：
$(-\dfrac{a^2 b}{c})^2=\dfrac{a^4b^2}{c^2}$，$(-c^2)^2=c^4$，$(\dfrac{bc}{a})^4=\dfrac{b^4c^4}{a^4}$
原式转化为乘法运算：
$\dfrac{a^4b^2}{c^2} · c^4 ÷ \dfrac{b^4c^4}{a^4} =\dfrac{a^4b^2}{c^2} · c^4 · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
约分后计算得：$\dfrac{a^8}{b^2c^2}$
(2) 先计算乘方项：$(-\dfrac{a}{2b})^2=\dfrac{a^2}{4b^2}$
原式转化为乘法运算：
$6a^2 b ÷ \dfrac{a^2}{4b^2} · \dfrac{a}{4b^2}=6a^2b · \dfrac{4b^2}{a^2} · \dfrac{a}{4b^2}$
约分后计算得：$6ab$
(3) 先计算乘方项：
$(\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{4a^2}$，$(\dfrac{3b}{4a})^3=\dfrac{27b^3}{64a^3}$，$(\dfrac{4a}{3b})^2=\dfrac{16a^2}{9b^2}$
原式转化为乘法运算：
$\dfrac{b^2}{4a^2} · (-\dfrac{a}{b}) · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2}$
逐步约分计算：
先算前两项得$-\dfrac{b}{4a}$，再乘后两项：$-\dfrac{b}{4a} · \dfrac{27b^3}{64a^3} · \dfrac{16a^2}{9b^2}=-\dfrac{3b^2}{16a^2}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^8}{b^2c^2}$；(2) $6ab$；(3) $-\dfrac{3b^2}{16a^2}$
【知识点】
分式的乘方；分式的乘除运算；幂的运算性质
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，核心是牢记运算顺序，运算时要注意负数乘方的符号判断，约分过程要找准分子分母的公因式，避免出现指数、系数计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 现有A、B两个圆，A圆的半径为$\frac{a^2}{2b}(a＞6)$，B圆的半径为$\frac{3a}{b}$，则A圆的面积是B圆面积的（
A.$\frac{a}{6}$倍
B.$\frac{a^2}{36}$倍
C.$\frac{6}{a}$倍
D.$\frac{36}{a^2}$倍
B
）A.$\frac{a}{6}$倍
B.$\frac{a^2}{36}$倍
C.$\frac{6}{a}$倍
D.$\frac{36}{a^2}$倍
答案
7. B
解析
【分析】
要计算A圆面积是B圆面积的几倍，本质是求两个圆的面积比值。首先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$，我们可以先分别表示出A、B两圆的面积，再将两圆面积作商。计算过程中需依次运用分式的乘方法则（分子、分母分别乘方）、分式的除法法则（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），最后约分化简即可得到结果，题中给出的$a＞6$是保证分式有意义的条件，计算时无需用到。
【解析】
解：根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
A圆的面积$S_A=π · (\frac{a^2}{2b})^2$
B圆的面积$S_B=π · (\frac{3a}{b})^2$
两圆面积的比值为：
$\frac{S_A}{S_B}=\frac{π · (\frac{a^2}{2b})^2}{π · (\frac{3a}{b})^2}$
约去分子分母的公因式$π$，再根据分式乘方法则计算：
$=\frac{\frac{a^4}{4b^2}}{\frac{9a^2}{b^2}}$
将分式除法转化为乘法运算：
$=\frac{a^4}{4b^2} × \frac{b^2}{9a^2}$
约去公因式$a^2$和$b^2$后化简得：
$\frac{S_A}{S_B}=\frac{a^2}{36}$
即A圆的面积是B圆面积的$\frac{a^2}{36}$倍。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的乘方运算 2.分式的乘除运算 3.圆的面积公式
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题，解题的核心是熟练掌握分式的运算法则，计算时要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，约分时要找准公因式，避免因运算顺序错误或约分失误丢分。
【难度系数】
0.7
要计算A圆面积是B圆面积的几倍，本质是求两个圆的面积比值。首先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$，我们可以先分别表示出A、B两圆的面积，再将两圆面积作商。计算过程中需依次运用分式的乘方法则（分子、分母分别乘方）、分式的除法法则（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），最后约分化简即可得到结果，题中给出的$a＞6$是保证分式有意义的条件，计算时无需用到。
【解析】
解：根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
A圆的面积$S_A=π · (\frac{a^2}{2b})^2$
B圆的面积$S_B=π · (\frac{3a}{b})^2$
两圆面积的比值为：
$\frac{S_A}{S_B}=\frac{π · (\frac{a^2}{2b})^2}{π · (\frac{3a}{b})^2}$
约去分子分母的公因式$π$，再根据分式乘方法则计算：
$=\frac{\frac{a^4}{4b^2}}{\frac{9a^2}{b^2}}$
将分式除法转化为乘法运算：
$=\frac{a^4}{4b^2} × \frac{b^2}{9a^2}$
约去公因式$a^2$和$b^2$后化简得：
$\frac{S_A}{S_B}=\frac{a^2}{36}$
即A圆的面积是B圆面积的$\frac{a^2}{36}$倍。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的乘方运算 2.分式的乘除运算 3.圆的面积公式
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题，解题的核心是熟练掌握分式的运算法则，计算时要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，约分时要找准公因式，避免因运算顺序错误或约分失误丢分。
【难度系数】
0.7
8.已知$|x-4|+(y-9)^2=0$，试求式子$(\frac{y-x}{y+x})^2 · \frac{x+y}{x^2 -4xy +4y^2} ÷ (\frac{x-y}{x-2y})^2$的值。
答案
解:原式$=\dfrac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \dfrac{x+y}{(x-2y)^2} · \dfrac{(x-2y)^2}{(x-y)^2} =\dfrac{1}{x+y}$。
因为$|x-4|≥0,(y-9)^2≥0$，
且$|x-4|+(y-9)^2=0$，
所以$x-4=0,y-9=0$，
所以$x=4,y=9$，
所以原式$=\dfrac{1}{4+9}=\dfrac{1}{13}$。
因为$|x-4|≥0,(y-9)^2≥0$，
且$|x-4|+(y-9)^2=0$，
所以$x-4=0,y-9=0$，
所以$x=4,y=9$，
所以原式$=\dfrac{1}{4+9}=\dfrac{1}{13}$。
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步处理已知条件，绝对值和平方数均为非负数，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，由此可求出x、y的取值；第二步处理分式运算，分式的乘除乘方混合运算遵循先算乘方、再算乘除的运算顺序，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，把原式化到最简后再代入x、y的值计算，可简化计算过程、减少出错。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} ÷ \frac{(x-y)^2}{(x-2y)^2}\\&=\frac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} · \frac{(x-2y)^2}{(x-y)^2}\\&=\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} · \frac{(x-2y)^2}{(x-y)^2}\\&=\frac{1}{x+y}\end{aligned}$
再根据非负数的性质求x、y的值：
∵ $|x-4|≥0$，$(y-9)^2≥0$，且$|x-4|+(y-9)^2=0$
∴ $x-4=0$，$y-9=0$，解得$x=4$，$y=9$
将$x=4$，$y=9$代入化简后的式子得：
原式$=\frac{1}{4+9}=\frac{1}{13}$
【答案】
$\dfrac{1}{13}$
【知识点】
非负数的性质；分式的乘方运算；分式的乘除运算
【点评】
本题是分式运算与非负数性质的综合基础题，解题核心是先对分式约分化简再代入求值，比直接代入数值计算更简便，也能降低运算出错概率，解题时要注意互为相反数的两个数的平方相等这一隐含结论的运用。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：第一步处理已知条件，绝对值和平方数均为非负数，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，由此可求出x、y的取值；第二步处理分式运算，分式的乘除乘方混合运算遵循先算乘方、再算乘除的运算顺序，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，把原式化到最简后再代入x、y的值计算，可简化计算过程、减少出错。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} ÷ \frac{(x-y)^2}{(x-2y)^2}\\&=\frac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} · \frac{(x-2y)^2}{(x-y)^2}\\&=\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} · \frac{(x-2y)^2}{(x-y)^2}\\&=\frac{1}{x+y}\end{aligned}$
再根据非负数的性质求x、y的值：
∵ $|x-4|≥0$，$(y-9)^2≥0$，且$|x-4|+(y-9)^2=0$
∴ $x-4=0$，$y-9=0$，解得$x=4$，$y=9$
将$x=4$，$y=9$代入化简后的式子得：
原式$=\frac{1}{4+9}=\frac{1}{13}$
【答案】
$\dfrac{1}{13}$
【知识点】
非负数的性质；分式的乘方运算；分式的乘除运算
【点评】
本题是分式运算与非负数性质的综合基础题，解题核心是先对分式约分化简再代入求值，比直接代入数值计算更简便，也能降低运算出错概率，解题时要注意互为相反数的两个数的平方相等这一隐含结论的运用。
【难度系数】
0.7
9. 已知非零实数$ a $满足$ a^2 + 1 = 3a $，求$ a^2 + \frac{1}{a^2} $的值。
答案
解:因为$a^2+1=3a,a≠0$，
所以在$a^2+1=3a$的两边同时除以$a$,得$a+\dfrac{1}{a}=3$，
两边平方,得$(a+\dfrac{1}{a})^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=9$，
所以$a^2+\dfrac{1}{a^2}=7$。
所以在$a^2+1=3a$的两边同时除以$a$,得$a+\dfrac{1}{a}=3$，
两边平方,得$(a+\dfrac{1}{a})^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=9$，
所以$a^2+\dfrac{1}{a^2}=7$。
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2+\frac{1}{a^2}$的结构，它符合完全平方公式展开中平方和的形式，且两项的底数互为倒数，因此可以联想到先求出$a+\frac{1}{a}$的值，再利用完全平方公式变形计算。已知给出的等式$a^2+1=3a$，且$a$是非零实数，因此可以在等式两边同时除以$a$，直接得到$a+\frac{1}{a}$的值，再代入完全平方公式的变形即可求出结果。
【解析】
解：已知$a$为非零实数，且$a^2 + 1 = 3a$，
将等式两边同时除以$a$，可得：$a + \frac{1}{a} = 3$，
将上式两边同时平方，得：$(a+\frac{1}{a})^2 = 3^2$，
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 9$，
化简得：$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 9$，
移项计算得：$a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7$。
【答案】
$7$
【知识点】
完全平方公式；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题是典型的代数式求值类题型，解题核心是灵活运用完全平方公式的变形，同时要注意题目中“非零实数$a$”的前提条件，只有当除数不为0时才能对等式两边同时除以$a$，这类题型在整式、分式的运算考察中十分常见，需要熟练掌握变形技巧。
【难度系数】
0.75
首先观察所求代数式$a^2+\frac{1}{a^2}$的结构，它符合完全平方公式展开中平方和的形式，且两项的底数互为倒数，因此可以联想到先求出$a+\frac{1}{a}$的值，再利用完全平方公式变形计算。已知给出的等式$a^2+1=3a$，且$a$是非零实数，因此可以在等式两边同时除以$a$，直接得到$a+\frac{1}{a}$的值，再代入完全平方公式的变形即可求出结果。
【解析】
解：已知$a$为非零实数，且$a^2 + 1 = 3a$，
将等式两边同时除以$a$，可得：$a + \frac{1}{a} = 3$，
将上式两边同时平方，得：$(a+\frac{1}{a})^2 = 3^2$，
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 9$，
化简得：$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 9$，
移项计算得：$a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7$。
【答案】
$7$
【知识点】
完全平方公式；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题是典型的代数式求值类题型，解题核心是灵活运用完全平方公式的变形，同时要注意题目中“非零实数$a$”的前提条件，只有当除数不为0时才能对等式两边同时除以$a$，这类题型在整式、分式的运算考察中十分常见，需要熟练掌握变形技巧。
【难度系数】
0.75
