登录
三、先化简，再整体代入求值
6. 先化简，再求值：$\frac{a}{a-b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$，其中$a,b$满足$b - 2a = 0$。
6. 先化简，再求值：$\frac{a}{a-b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$，其中$a,b$满足$b - 2a = 0$。
答案
6. 解: 原式$=\frac{a}{a-b} · \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{b}{a+b}$。
因为 $b-2a=0$，
所以 $b=2a$，
所以 原式$=\frac{2a}{a+2a}=\frac{2}{3}$。
因为 $b-2a=0$，
所以 $b=2a$，
所以 原式$=\frac{2a}{a+2a}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题分两步进行：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先将除法运算转化为乘法运算，再对分子、分母中的多项式因式分解，约分后计算分式减法，得到最简结果；第二步利用已知条件$b-2a=0$得出$b$与$a$的数量关系，整体代入最简式消去参数$a$，计算出最终结果。运算时要注意因式分解的正确性，遵守分式约分、加减的运算规则。
【解析】
解：先化简原式：
$\frac{a}{a-b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$
$=\frac{a}{a-b} · \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{a-b}{a+b}$（将除法转化为乘法，同时因式分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）
$=\frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a+b}$（约分得到同分母分式）
$=\frac{a - (a - b)}{a+b}$（同分母分式相减，分母不变，分子相减）
$=\frac{b}{a+b}$
已知$b-2a=0$，即$b=2a$，结合分式有意义的条件可知$a≠0$，将$b=2a$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2a}{a + 2a} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
分式的运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式运算法则、因式分解的常用方法，以及整体代入的代数思想，计算时要注意区分平方差公式和完全平方公式，避免因式分解错误，同分母分式加减时注意分子去括号的符号问题。
【难度系数】
0.75
这是分式化简求值类题目，解题分两步进行：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先将除法运算转化为乘法运算，再对分子、分母中的多项式因式分解，约分后计算分式减法，得到最简结果；第二步利用已知条件$b-2a=0$得出$b$与$a$的数量关系，整体代入最简式消去参数$a$，计算出最终结果。运算时要注意因式分解的正确性，遵守分式约分、加减的运算规则。
【解析】
解：先化简原式：
$\frac{a}{a-b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$
$=\frac{a}{a-b} · \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{a-b}{a+b}$（将除法转化为乘法，同时因式分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）
$=\frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a+b}$（约分得到同分母分式）
$=\frac{a - (a - b)}{a+b}$（同分母分式相减，分母不变，分子相减）
$=\frac{b}{a+b}$
已知$b-2a=0$，即$b=2a$，结合分式有意义的条件可知$a≠0$，将$b=2a$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2a}{a + 2a} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
分式的运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式运算法则、因式分解的常用方法，以及整体代入的代数思想，计算时要注意区分平方差公式和完全平方公式，避免因式分解错误，同分母分式加减时注意分子去括号的符号问题。
【难度系数】
0.75
7.先化简，再求值：$( \frac{a-1}{a} - \frac{a-2}{a+1} ) ÷ \frac{2a^2 - a}{a^2 + 2a + 1}$，其中$a^2 - a -1 = 0.$
答案
解: 原式$=\frac{(a+1)(a-1)-a(a-2)}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(2a-1)}=\frac{2a-1}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(2a-1)}=\frac{a+1}{a^2}$。
因为 $a^2-a-1=0$，
所以 $a^2=a+1$，
所以 原式$=\frac{a+1}{a+1}=1$。
因为 $a^2-a-1=0$，
所以 $a^2=a+1$，
所以 原式$=\frac{a+1}{a+1}=1$。
解析
【分析】
拿到这道分式化简求值题，我们按照“先化简、再求值”的思路解题：第一步先处理括号内的异分母分式减法，找到最简公分母通分后计算分子；第二步将分式除法转化为乘法，同时对各分子分母因式分解，再约分化简得到最简结果；最后结合已知条件$a^2 -a -1=0$变形得到$a^2=a+1$，整体代入最简式即可求出数值，无需单独求解a的值，能大幅简化计算。
【解析】
先计算括号内的异分母分式减法，通分后运算：
原式$=\frac{(a+1)(a-1)-a(a-2)}{a(a+1)} ÷ \frac{a(2a-1)}{(a+1)^2}$
将除法转化为乘法，乘以除式的倒数：
$=\frac{(a+1)(a-1)-a(a-2)}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(2a-1)}$
计算分子部分：$(a+1)(a-1)-a(a-2)=a^2-1 -a^2 +2a=2a-1$，代入得：
$=\frac{2a-1}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(2a-1)}$
约分，约掉公因式$2a-1$、$a+1$，得最简式：
$=\frac{a+1}{a^2}$
根据已知条件$a^2 -a -1=0$，移项可得$a^2 = a+1$，将其代入最简式：
原式$=\frac{a+1}{a+1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是先准确化简分式，再利用已知等式变形进行整体代入，既简化了计算，也避免了求解a的过程中可能出现的错误，运算过程中要注意通分、约分的规则，确保因式分解正确。
【难度系数】
0.6
拿到这道分式化简求值题，我们按照“先化简、再求值”的思路解题：第一步先处理括号内的异分母分式减法，找到最简公分母通分后计算分子；第二步将分式除法转化为乘法，同时对各分子分母因式分解，再约分化简得到最简结果；最后结合已知条件$a^2 -a -1=0$变形得到$a^2=a+1$，整体代入最简式即可求出数值，无需单独求解a的值，能大幅简化计算。
【解析】
先计算括号内的异分母分式减法，通分后运算：
原式$=\frac{(a+1)(a-1)-a(a-2)}{a(a+1)} ÷ \frac{a(2a-1)}{(a+1)^2}$
将除法转化为乘法，乘以除式的倒数：
$=\frac{(a+1)(a-1)-a(a-2)}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(2a-1)}$
计算分子部分：$(a+1)(a-1)-a(a-2)=a^2-1 -a^2 +2a=2a-1$，代入得：
$=\frac{2a-1}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(2a-1)}$
约分，约掉公因式$2a-1$、$a+1$，得最简式：
$=\frac{a+1}{a^2}$
根据已知条件$a^2 -a -1=0$，移项可得$a^2 = a+1$，将其代入最简式：
原式$=\frac{a+1}{a+1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是先准确化简分式，再利用已知等式变形进行整体代入，既简化了计算，也避免了求解a的过程中可能出现的错误，运算过程中要注意通分、约分的规则，确保因式分解正确。
【难度系数】
0.6
8. (2025 日照模拟)先化简,再求值: $( \dfrac{x+3}{x^2 - x} - \dfrac{x}{x^2 - 2x + 1} ) ÷ \dfrac{2x - 3}{x}$, 其中 $x$ 满足 $x^2 - 2x -1 =0.$
答案
解: 原式$=[\frac{x+3}{x(x-1)}-\frac{x}{(x-1)^2}] · \frac{x}{2x-3}=[\frac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2}-\frac{x^2}{x(x-1)^2}] · \frac{x}{2x-3}=\frac{x^2+2x-3-x^2}{x(x-1)^2} · \frac{x}{2x-3}=\frac{1}{x^2-2x+1}$。
因为 $x^2-2x-1=0$，
所以 $x^2-2x=1$，
所以 原式$=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。
因为 $x^2-2x-1=0$，
所以 $x^2-2x=1$，
所以 原式$=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解决这道题要遵循分式混合运算的规则思考：第一步先对所有分式的分母因式分解，方便后续找公分母通分和约分；接着将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；然后对括号内的两个分式通分，计算减法得到一个分式，再和括号外的分式相乘，约分得到最简形式；最后观察已知条件$x^2-2x-1=0$，不需要直接求解$x$，将$x^2-2x$看作整体代入最简式即可算出结果，能大幅简化计算。
【解析】
解：先对原式的分母因式分解，同时将除法转为乘法：
原式$=[\dfrac{x+3}{x(x-1)}-\dfrac{x}{(x-1)^2}] · \dfrac{x}{2x-3}$
对括号内的分式通分，最简公分母为$x(x-1)^2$：
$=[\dfrac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2}-\dfrac{x^2}{x(x-1)^2}] · \dfrac{x}{2x-3}$
计算括号内的分子减法：
$=\dfrac{x^2+2x-3-x^2}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
化简分子得：
$=\dfrac{2x-3}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
约分（约掉公因式$x$和$2x-3$，隐含$x≠0,1,\dfrac{3}{2}$，符合题意）：
$=\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{x^2-2x+1}$
根据已知条件$x^2-2x-1=0$，可得$x^2-2x=1$，将其代入上式：
原式$=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型考题，既考查了分式通分、约分的基本运算能力，也渗透了整体代入的数学思想，解题时无需直接求解$x$的值，利用已知条件整体代入可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.6
解决这道题要遵循分式混合运算的规则思考：第一步先对所有分式的分母因式分解，方便后续找公分母通分和约分；接着将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；然后对括号内的两个分式通分，计算减法得到一个分式，再和括号外的分式相乘，约分得到最简形式；最后观察已知条件$x^2-2x-1=0$，不需要直接求解$x$，将$x^2-2x$看作整体代入最简式即可算出结果，能大幅简化计算。
【解析】
解：先对原式的分母因式分解，同时将除法转为乘法：
原式$=[\dfrac{x+3}{x(x-1)}-\dfrac{x}{(x-1)^2}] · \dfrac{x}{2x-3}$
对括号内的分式通分，最简公分母为$x(x-1)^2$：
$=[\dfrac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2}-\dfrac{x^2}{x(x-1)^2}] · \dfrac{x}{2x-3}$
计算括号内的分子减法：
$=\dfrac{x^2+2x-3-x^2}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
化简分子得：
$=\dfrac{2x-3}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
约分（约掉公因式$x$和$2x-3$，隐含$x≠0,1,\dfrac{3}{2}$，符合题意）：
$=\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{x^2-2x+1}$
根据已知条件$x^2-2x-1=0$，可得$x^2-2x=1$，将其代入上式：
原式$=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型考题，既考查了分式通分、约分的基本运算能力，也渗透了整体代入的数学思想，解题时无需直接求解$x$的值，利用已知条件整体代入可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.6
四、先化简，再开放代入求值
9. (2025 牡丹江模拟)先化简,再求值:$\frac{2x-6}{x} ÷ (x - \frac{6x-9}{x})$,并从$-1,0,1,2,3$中选一个合适的数代入求值.
9. (2025 牡丹江模拟)先化简,再求值:$\frac{2x-6}{x} ÷ (x - \frac{6x-9}{x})$,并从$-1,0,1,2,3$中选一个合适的数代入求值.
答案
9. 解: 原式$=\frac{2x-6}{x} ÷ (\frac{x^2}{x}-\frac{6x-9}{x})=\frac{2x-6}{x} ÷ \frac{x^2-6x+9}{x}=\frac{2(x-3)}{x} · \frac{x}{(x-3)^2}=\frac{2}{x-3}$。
因为要使原式有意义, 所以 $x≠0$ 且 $x≠3$，
所以 $x=-1$ 或 $x=1$ 或 $x=2$。
当 $x=-1$ 时, 原式$=-\frac{1}{2}$；
当 $x=1$ 时, 原式$=-1$；
当 $x=2$ 时, 原式$=-2$。
因为要使原式有意义, 所以 $x≠0$ 且 $x≠3$，
所以 $x=-1$ 或 $x=1$ 或 $x=2$。
当 $x=-1$ 时, 原式$=-\frac{1}{2}$；
当 $x=1$ 时, 原式$=-1$；
当 $x=2$ 时, 原式$=-2$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题型，解题思路可分为三步：第一步先算括号内的运算，括号内为整式减分式，需先将整式通分转化为同分母分式，再按同分母分式减法法则计算，分子可利用完全平方公式因式分解；第二步将分式除法转化为乘法运算，对分子、分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）确定x的可取值范围，排除不符合要求的数后，从剩余可选数中任选一个代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：原式$=\frac{2x-6}{x} ÷ (\frac{x^2}{x}-\frac{6x-9}{x})$
$=\frac{2x-6}{x} ÷ \frac{x^2-6x+9}{x}$
$=\frac{2(x-3)}{x} · \frac{x}{(x-3)^2}$
$=\frac{2}{x-3}$
要使原式有意义，需满足分母和除数不为0，即$x≠0$且$x-3≠0$，因此$x≠0$且$x≠3$，可选择的数为-1、1、2。
当$x=-1$时，原式$=\frac{2}{-1-3}=-\frac{1}{2}$；
当$x=1$时，原式$=\frac{2}{1-3}=-1$；
当$x=2$时，原式$=\frac{2}{2-3}=-2$。（任选一种代入结果即可）
【答案】
化简结果为$\frac{2}{x-3}$，示例：当x=1时，值为$-1$（或x=-1时值为$-\frac{1}{2}$，x=2时值为$-2$，任选其一即可）
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规考查题型，既覆盖了分式通分、约分、四则运算法则的应用，也要求学生掌握分式有意义的限制条件，易错点为忽略x的取值范围，误选0或3代入导致错误，计算时准确进行因式分解可有效提升解题正确率。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题型，解题思路可分为三步：第一步先算括号内的运算，括号内为整式减分式，需先将整式通分转化为同分母分式，再按同分母分式减法法则计算，分子可利用完全平方公式因式分解；第二步将分式除法转化为乘法运算，对分子、分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）确定x的可取值范围，排除不符合要求的数后，从剩余可选数中任选一个代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：原式$=\frac{2x-6}{x} ÷ (\frac{x^2}{x}-\frac{6x-9}{x})$
$=\frac{2x-6}{x} ÷ \frac{x^2-6x+9}{x}$
$=\frac{2(x-3)}{x} · \frac{x}{(x-3)^2}$
$=\frac{2}{x-3}$
要使原式有意义，需满足分母和除数不为0，即$x≠0$且$x-3≠0$，因此$x≠0$且$x≠3$，可选择的数为-1、1、2。
当$x=-1$时，原式$=\frac{2}{-1-3}=-\frac{1}{2}$；
当$x=1$时，原式$=\frac{2}{1-3}=-1$；
当$x=2$时，原式$=\frac{2}{2-3}=-2$。（任选一种代入结果即可）
【答案】
化简结果为$\frac{2}{x-3}$，示例：当x=1时，值为$-1$（或x=-1时值为$-\frac{1}{2}$，x=2时值为$-2$，任选其一即可）
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规考查题型，既覆盖了分式通分、约分、四则运算法则的应用，也要求学生掌握分式有意义的限制条件，易错点为忽略x的取值范围，误选0或3代入导致错误，计算时准确进行因式分解可有效提升解题正确率。
【难度系数】
0.7
10. 先化简$( \dfrac{a^2}{a+1} - a + 1 ) ÷ \dfrac{a^2 -1}{a^2 + 2a +1}$，再从不等式$-2 ＜ a ＜ 3$中选择一个适当的整数，代入求值。
答案
解: 原式$=\frac{a^2-a^2+1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{1}{a-1}$。
因为 $-2＜a＜3$,$a$ 为整数且 $a≠±1$，
所以 $a=0$ 或 $a=2$。
当 $a=0$ 时, 原式$=\frac{1}{0-1}=-1$。
当 $a=2$ 时, 原式$=\frac{1}{2-1}=1$。
因为 $-2＜a＜3$,$a$ 为整数且 $a≠±1$，
所以 $a=0$ 或 $a=2$。
当 $a=0$ 时, 原式$=\frac{1}{0-1}=-1$。
当 $a=2$ 时, 原式$=\frac{1}{2-1}=1$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的部分，将括号内的整式转化为分母为1的式子，和前面的分式通分后合并分子；再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解后约分，得到最简结果。第二步确定a的可取值，要保证原式中所有分母都不为0，先排除使分母为0的a值，再从给定的不等式-2＜a＜3中选取符合条件的整数。第三步将选取的整数代入最简式计算结果即可。
【解析】
先化简原式：
括号内通分可得：
$\dfrac{a^2}{a+1} - a + 1 = \dfrac{a^2 - (a - 1)(a + 1)}{a + 1} = \dfrac{a^2 - a^2 + 1}{a + 1} = \dfrac{1}{a + 1}$
将除法转化为乘法，同时对除式的分子分母因式分解：
$\dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1} = \dfrac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)^2}$
因此原式可改写为：
$\dfrac{1}{a + 1} · \dfrac{(a + 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}$
约分后得最简结果：$\dfrac{1}{a - 1}$
再确定a的可取值：
要使分式有意义，则分母不为0，即$a + 1 ≠ 0$且$a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ \pm 1$
结合条件$-2 ＜ a ＜ 3$，且a为整数，因此a可取0或2
代入求值：
当$a = 0$时，原式$= \dfrac{1}{0 - 1} = -1$
当$a = 2$时，原式$= \dfrac{1}{2 - 1} = 1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{a-1}$；当$a=0$时值为$-1$，当$a=2$时值为$1$（任选其一即可）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；不等式的整数解
【点评】
本题属于分式运算的常规考查题型，核心在于化简过程中要熟练运用通分、约分、因式分解的方法，选取代入数值时切记要保证所有分式有意义，不能只看最终化简结果的分母限制，需考虑原式所有分母的取值要求。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的部分，将括号内的整式转化为分母为1的式子，和前面的分式通分后合并分子；再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解后约分，得到最简结果。第二步确定a的可取值，要保证原式中所有分母都不为0，先排除使分母为0的a值，再从给定的不等式-2＜a＜3中选取符合条件的整数。第三步将选取的整数代入最简式计算结果即可。
【解析】
先化简原式：
括号内通分可得：
$\dfrac{a^2}{a+1} - a + 1 = \dfrac{a^2 - (a - 1)(a + 1)}{a + 1} = \dfrac{a^2 - a^2 + 1}{a + 1} = \dfrac{1}{a + 1}$
将除法转化为乘法，同时对除式的分子分母因式分解：
$\dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1} = \dfrac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)^2}$
因此原式可改写为：
$\dfrac{1}{a + 1} · \dfrac{(a + 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}$
约分后得最简结果：$\dfrac{1}{a - 1}$
再确定a的可取值：
要使分式有意义，则分母不为0，即$a + 1 ≠ 0$且$a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ \pm 1$
结合条件$-2 ＜ a ＜ 3$，且a为整数，因此a可取0或2
代入求值：
当$a = 0$时，原式$= \dfrac{1}{0 - 1} = -1$
当$a = 2$时，原式$= \dfrac{1}{2 - 1} = 1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{a-1}$；当$a=0$时值为$-1$，当$a=2$时值为$1$（任选其一即可）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；不等式的整数解
【点评】
本题属于分式运算的常规考查题型，核心在于化简过程中要熟练运用通分、约分、因式分解的方法，选取代入数值时切记要保证所有分式有意义，不能只看最终化简结果的分母限制，需考虑原式所有分母的取值要求。
【难度系数】
0.7
