1. 同底数幂的除法
同底数幂相除(被除式的指数大于除式的指数),底数,指数. 即$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n).$

1. 不变 相减

【分析】
这是一道考察同底数幂除法法则识记的基础题。解题时首先回忆同底数幂运算的核心规律：同底数幂进行乘除运算时，底数保持不变，仅对指数做对应运算；除法是乘法的逆运算，结合之前学过的同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规律，可推导得出同底数幂相除时指数做减法运算，再对照标准法则内容即可完成填空。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减，用公式表示为$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n)$，因此两个空依次填入“不变”“相减”。
【答案】
不变 相减
【知识点】
同底数幂的除法法则
【点评】
本题属于基础概念类题型，是整式除法运算的核心基础知识点，只有熟练掌握该法则，才能正确完成后续更复杂的整式运算类题目。
【难度系数】
0.9

【例1】计算:(1)$\frac{a^5}{a^3}$；(2)$\frac{(-b)^8}{-b}$；(3)$\frac{(ab)^4}{(ab)^2}$；(4)$\frac{(x-2y)^4}{(2y-x)^2}$。
易错提醒 同底数幂相除，指数相减，不要误认为指数相除。

解:(1)原式=$a^{5-3}=a^2$.
(2)原式=$(-b)^{8-1}=(-b)^7=-b^7$.
(3)原式=$(ab)^{4-2}=(ab)^2=a^2b^2$.
(4)原式=$\frac{(x-2y)^4}{(x-2y)^2}=(x-2y)^2$.

【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路如下：①先观察每个式子的底数是否相同，若底数互为相反数，可根据幂的符号性质先统一底数；②再套用同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算；③最后对结果进行化简，注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正，积的乘方可展开计算。
【解析】
(1) 两个幂的底数都是$a$，直接运用同底数幂的除法法则：
原式=$a^{5-3}=a^2$
(2) 可将分母$-b$看作$(-b)^1$，底数统一为$(-b)$后运用法则：
原式=$(-b)^{8-1}=(-b)^7=-b^7$
(3) 两个幂的底数都是$ab$，先用法则计算，再展开积的乘方：
原式=$(ab)^{4-2}=(ab)^2=a^2b^2$
(4) 因为偶次幂的结果与底数符号无关，所以$(2y-x)^2=(x-2y)^2$，统一底数后计算：
原式=$\frac{(x-2y)^4}{(x-2y)^2}=(x-2y)^{4-2}=(x-2y)^2$
【答案】
(1)$a^2$；(2)$-b^7$；(3)$a^2b^2$；(4)$(x-2y)^2$
【知识点】
同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的符号法则
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题型，解题核心是先保证底数一致再进行指数运算，需特别注意底数互为相反数时的幂的转化规则，避免出现符号错误，同时不要混淆运算规则，误将指数相减记为指数相除。
【难度系数】
0.75

【变式1】(邢台模拟)若$\frac{x^6}{x^2}=x^?$，则“?”表示的数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

D

【分析】
这道题考查同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先观察算式结构，可判断属于同底数幂相除的题型，对应回忆同底数幂的除法运算法则；再按照法则计算指数的差值，即可得到“?”代表的数值。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，公式为$a^m÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数，且$m＞n$）。
代入题中算式计算：$\frac{x^6}{x^2}=x^{6-2}=x^4$，因此“?”表示的数是4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对同底数幂除法法则的识记与直接应用，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【变式2】计算：
(1)$\dfrac{-a^3b^5}{ab^4}$；
(2)$\dfrac{(x-y)^5}{(y-x)^2}$；
(3)$\dfrac{a^{2m+4}}{a^{m-2}}$；
(4)$(-x)^7 ÷ x^2 ÷ (-x)^3$。

解:(1)原式=$-a^2b$.
(2)原式=$(x-y)^3$.
(3)原式=$a^{(2m+4)-(m-2)}=a^{m+6}$.
(4)原式=$-x^7 ÷ x^2 ÷ (-x^3)=x^7 ÷ x^2 ÷ x^3=x^{7-2-3}=x^2$.

【分析】
这4道题均围绕同底数幂的除法展开考查，解题思路如下：首先牢记同底数幂的除法核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，若存在系数，系数单独运算；其次遇到底数不同的情况，要先利用幂的性质统一底数，注意互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数；若指数含有字母，指数相减时要遵循去括号规则；多个幂连续相除时，先确定每一项的符号，再统一底数按法则计算即可。
【解析】
(1) 分别计算系数、a的幂、b的幂的运算结果：
原式$= - (a^3 ÷ a) × (b^5 ÷ b^4) = -a^{3-1}b^{5-4} = -a^2b$
(2) 先将底数统一为$(x-y)$，再应用同底数幂除法法则：
$\because (y-x)^2=(x-y)^2$
$\therefore$ 原式$= (x-y)^5 ÷ (x-y)^2 = (x-y)^{5-2} = (x-y)^3$
(3) 直接应用同底数幂除法法则，指数相减时注意去括号变号：
原式$= a^{(2m+4)-(m-2)} = a^{2m+4 - m + 2} = a^{m+6}$
(4) 先化简带负号的幂确定运算符号，再按同底数幂除法计算：
原式$= -x^7 ÷ x^2 ÷ (-x^3) = x^7 ÷ x^2 ÷ x^3 = x^{7-2-3} = x^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a^2b}$；(2) $\boldsymbol{(x-y)^3}$；(3) $\boldsymbol{a^{m+6}}$；(4) $\boldsymbol{x^2}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的符号规律；含字母指数的幂运算
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题型，解题的关键是先统一底数、先确定运算符号再计算指数，涉及字母指数相减时要注意括号前的负号，避免因符号或指数计算失误丢分。
【难度系数】
0.75

【例2】已知$a^x=12,a^y=-6$,求$a^{x-y}$的值.
方法归纳 在逆用幂的运算性质时,遇到指数的加法通常要考虑用同底数幂的乘法,遇到指数的减法通常要考虑用同底数幂的除法.

解:因为$a^x=12,a^y=-6$,
所以$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}=\frac{12}{-6}=-2$.

【分析】
解题时先观察所求代数式的指数特征，所求的是指数为差的幂运算，根据幂的运算规律，指数为减法时可逆用同底数幂的除法法则，将$a^{x-y}$转化为$a^x$除以$a^y$的形式，再将已知的$a^x$、$a^y$的数值代入计算即可得到结果。
【解析】
解：因为$a^x=12,a^y=-6$，
根据同底数幂除法的逆运算可得：
$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}=\frac{12}{-6}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
同底数幂的除法法则；幂的运算的逆用
【点评】
本题主要考查同底数幂除法的逆运算，解题核心是掌握“指数相减对应同底数幂相除”的运算规律，直接代入数值计算即可，解题时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.8