【变式1】若$x^m=5$，$x^n=\frac{1}{4}$，则$5x^{m-n}=(\quad)$

A.20
B.40
C.25
D.100

D

【分析】
本题要求计算$5x^{m-n}$的值，首先观察到指数为$m-n$的形式，可联想到同底数幂除法法则的逆用：同底数幂相除，底数不变，指数相减，反过来$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a≠0$）。因此我们可以先将$x^{m-n}$转化为$x^m$除以$x^n$的形式，再代入已知的$x^m$和$x^n$的数值求出$x^{m-n}$，最后乘以5即可得到最终结果。
【解析】
解：根据同底数幂除法的逆运算公式可得：
$x^{m-n}=x^m÷ x^n$
将$x^m=5$，$x^n=\frac{1}{4}$代入上式：
$x^{m-n}=5÷\frac{1}{4}=5×4=20$
因此$5x^{m-n}=5×20=100$。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算逆用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂除法法则的灵活应用，熟练掌握各类幂的运算法则，学会正向、反向运用法则是解决这类幂运算相关求值题的关键。
【难度系数】
0.8

【变式2】已知$3^a=4$，$3^b=10$，$3^c=25$，求$3^{c - b + a}$的值.

解:$3^{c - b + a}=3^c ÷ 3^b · 3^a=25 ÷ 10 × 4=10$.

【分析】
首先观察所求式子$3^{c - b + a}$的指数是$c-b+a$，由同底数幂的乘除运算法则可知，指数的加减运算可对应同底数幂的乘除运算，因此我们可以逆用同底数幂的乘除法则，将待求式拆分为已知的$3^a$、$3^b$、$3^c$的乘除形式，再代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘除法的逆运算法则：
$3^{c - b + a}=3^c ÷ 3^b · 3^a$
将$3^a=4$，$3^b=10$，$3^c=25$代入上式：
原式$=25 ÷ 10 × 4 = 10$
【答案】
$10$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的运算逆用
【点评】
本题考查同底数幂乘除运算法则的逆应用，解题关键是能够根据指数的运算特征，将待求幂正确转化为已知幂的乘除运算形式，属于基础运算类题目，熟练掌握幂的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

1. 计算$(-a)^{12} ÷ (-a)^3$的结果为 （）

A.$a^4$
B.$-a^4$
C.$a^9$
D.$-a^9$

D

【分析】
解题时先观察式子特征，两个幂的底数均为$(-a)$，属于同底数幂的除法运算，首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，先按法则计算得到$(-a)$的幂的形式，再根据负数的奇次幂为负、偶次幂为正的规律化简结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a ≠ 0$，$m$、$n$为正整数且$m＞n$），可得：
$(-a)^{12} ÷ (-a)^3 = (-a)^{12-3} = (-a)^9$
因为9是奇数，负数的奇次幂是负数，所以$(-a)^9 = -a^9$。
【答案】
D
【知识点】
1.同底数幂的除法法则
2.乘方的符号规律
【点评】
本题是同底数幂除法的基础运算题，易错点是运算时忽略底数的负号，直接计算得到$a^9$误选C，解题时要先确认底数统一，再按法则运算，最后注意判断结果的符号。
【难度系数】
0.7

2. 下列计算中，正确的是（）

A.$(-x)^8 ÷ (-x)^3 = x^5$
B.$(a+b)^5 ÷ (a+b) = a^4 + b^4$
C.$(x-1)^6 ÷ (x-1)^2 = (x-1)^3$
D.$-a^7 ÷ (-a)^5 = a^2$

D

【分析】
本题考查同底数幂除法法则的应用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0），底数既可以是单独的字母、数字，也可以是多项式整体；再结合幂的符号化简规则，逐个计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
我们根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$）逐个分析选项：
选项A：$(-x)^8÷ (-x)^3=(-x)^{8-3}=(-x)^5=-x^5≠ x^5$，故A错误；
选项B：$(a+b)^5÷ (a+b)=(a+b)^{5-1}=(a+b)^4≠ a^4+b^4$，故B错误；
选项C：$(x-1)^6÷ (x-1)^2=(x-1)^{6-2}=(x-1)^4≠ (x-1)^3$，故C错误；
选项D：$-a^7÷ (-a)^5=-a^7÷ (-a^5)=a^{7-5}=a^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法；幂的符号化简
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题，解题的关键是牢记同底数幂的除法法则，注意运算过程中符号的处理，同时不要随意拆分整体作为底数的多项式。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\frac{8a^3b^m}{8a^nb^2}=b^2$，那么$m,n$的值分别为（）

A.4,3
B.4,1
C.1,3
D.2,3

A

【分析】
解题时先根据单项式除以单项式的运算法则化简等式左边的式子，再根据等式两边相同底数的幂的指数对应相等的规律求解：如果等式中不含某个底数，说明该底数的指数为0（非零数的0次幂等于1，不影响计算结果），由此分别列关于m、n的方程，解方程即可得到m、n的取值。
【解析】
首先化简等式左侧的整式除法算式：
1. 系数相除：$\frac{8}{8}=1$
2. 同底数幂分别相除，遵循底数不变、指数相减的规则：
$a^3÷ a^n=a^{3-n}$，$b^m÷ b^2=b^{m-2}$
因此等式左侧化简结果为$a^{3-n}b^{m-2}$。
已知等式右侧为$b^2$，可改写为$a^0b^2$，根据等式两边同底数幂的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}3-n=0\\m-2=2\end{cases}$
解第一个方程得$n=3$，解第二个方程得$m=4$，即$m=4,n=3$。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；单项式除以单项式；零指数幂的性质
【点评】
本题是整式除法的基础应用题型，解题核心是掌握单项式除法的运算规则，以及利用等式两边同底数幂的指数对应相等建立方程求解的思路，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.（泰州模拟）$3^{12} ÷ 3^{10} =$ .

9

【分析】
这道题属于同底数幂的除法运算，解题时首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。第一步先根据法则计算两个指数的差，第二步再计算底数的乘方结果，就能得到最终答案。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$均为正整数且$m＞n$），计算如下：
$3^{12}÷3^{10}=3^{12-10}=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
同底数幂的除法；乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对同底数幂除法法则的掌握，只要牢记运算法则就能正确求解，属于幂的运算中的基础题型。
【难度系数】
0.9

5. 已知$x^m=6,x^n=2$,则$x^{m-n}=$.

3

【分析】
本题考查同底数幂除法法则的逆应用，解题思路如下：第一步先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a≠0$，m、n为正整数，且m＞n）；第二步观察所求式子$x^{m-n}$，符合法则逆用的形式，直接将已知的$x^m=6$、$x^n=2$代入逆运算公式计算即可。
【解析】
根据同底数幂除法的逆运算公式可得：
$x^{m-n}=x^m÷ x^n$
将$x^m=6$，$x^n=2$代入上式：
原式$=6÷2=3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算法则逆用
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对同底数幂除法法则的灵活运用，熟练掌握各类幂的运算规则及其逆用法则，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9

6. 计算:(1)$(x+y)^{10} ÷ (x+y)^5$；
(2)$3x^2 - x^6 ÷ x^4$；
(3)$(a-b)^9 ÷ (b-a)^7$。

解:(1)原式=$(x+y)^5$.
(2)原式=$3x^2 - x^2=2x^2$.
(3)原式=$(a-b)^9 ÷ [-(a-b)^7]=-(a-b)^2=-a^2+2ab-b^2$.

【分析】
这三道题均围绕同底数幂除法的知识点设计，解题思路清晰：
1. 第(1)题将$(x+y)$看作一个整体，直接套用同底数幂除法法则计算即可；
2. 第(2)题遵循整式混合运算“先乘除后加减”的顺序，先计算除法得到结果后，再合并同类项；
3. 第(3)题首先要统一底数，由于$(b-a)$与$(a-b)$互为相反数，奇数次幂的符号不变，因此$(b-a)^7=-(a-b)^7$，再将$(a-b)$看作整体用同底数幂除法计算，最后化简即可，需格外注意符号变化。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，将$x+y$看作整体计算：
原式$=(x+y)^{10-5}=(x+y)^5$；
(2) 先计算除法运算，再合并同类项：
先算$x^6÷ x^4=x^{6-4}=x^2$，再做减法：
原式$=3x^2 - x^2=2x^2$；
(3) 先统一底数，再套用同底数幂除法法则计算，最后展开化简：
因为$(b-a)^7=[-(a-b)]^7=-(a-b)^7$，代入得：
原式$=(a-b)^9÷[-(a-b)^7]=-(a-b)^{9-7}=-(a-b)^2=-a^2+2ab-b^2$。
【答案】
(1) $(x+y)^5$；
(2) $2x^2$；
(3) $-a^2+2ab-b^2$
【知识点】
同底数幂的除法、整式混合运算、完全平方公式
【点评】
本题侧重考察同底数幂除法法则的灵活运用，解题时要注意整体思想的应用，底数互为相反数时先统一底数，同时牢记整式运算顺序，避免符号出错是得分关键。
【难度系数】
0.7

7. 计算$4^{2m} ÷ 2^{2n} ÷ 2$的结果是（）

A.$2^{m-n-1}$
B.$2^{2m-n-2}$
C.$2^{3m-2n-1}$
D.$2^{4m-2n-1}$

D

【分析】
解题时首先观察算式中幂的底数有4和2，要应用同底数幂的除法法则，需先统一底数为2：第一步利用幂的乘方法则把$4^{2m}$转化为以2为底的幂，第二步把单独的$2$改写为$2^1$的形式，最后根据同底数幂相除“底数不变，指数相减”的性质计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：①统一底数：
$\because 4=2^2$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$4^{2m}=(2^2)^{2m}=2^{2×2m}=2^{4m}$，且$2=2^1$
②改写原式为同底数幂的除法：
原式$=2^{4m}÷2^{2n}÷2^1$
③根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$）计算：
原式$=2^{4m-2n-1}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的除法；幂的底数转化
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题的关键是先统一幂的底数，再按运算法则计算，做题时要注意指数运算的准确性，避免指数计算失误。
【难度系数】
0.8

8. 已知$10^a=20,10^{2b}=200$，则$2b - a - 3$的值是（）

A.10
B.3
C.-2
D.2

C

【分析】
首先观察已知条件和所求代数式的关联：所求式中包含$2b-a$，而已知给出了以10为底、指数分别为$a$和$2b$的幂的值，因此可以利用同底数幂的除法法则，将两个已知幂相除，得到指数为$2b-a$的幂，进而求出$2b-a$的数值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$10^a=20$，$10^{2b}=200$，
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$10^{2b}÷10^a = 10^{2b-a}$
将已知数值代入左边计算：$10^{2b}÷10^a=200÷20=10$
因此$10^{2b-a}=10=10^1$
因为底数10不等于0和1，所以同底数幂相等时指数相等，即$2b-a=1$
将$2b-a=1$代入$2b - a - 3$得：$1-3=-2$
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法；幂的相等性质；代数式求值
【点评】
本题侧重考查同底数幂除法法则的灵活运用，解题的突破口是通过已知幂的运算得到$2b-a$的数值，再代入目标式计算，熟练掌握幂的运算法则是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8

9. 如果 $ 3^{3x} ÷ 81 = 3^{11} $，那么 $ x = $ .

5

【分析】
解题时先观察等式的结构，发现等式两边的幂都可以统一为以3为底数的形式。首先把81转化为$3^4$，再利用同底数幂的除法法则化简等式左边的式子，最后根据“底数不为0和1的两个同底数幂相等时，指数相等”的性质列一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
解：首先将81变形为以3为底的幂：$81 = 3^4$，
原等式可化为：$3^{3x} ÷ 3^4 = 3^{11}$，
根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），
左边化简得：$3^{3x - 4} = 3^{11}$，
因为底数3≠0且3≠1，所以两个幂相等时指数相等，可得方程：
$3x - 4 = 11$，
移项得：$3x = 11 + 4 = 15$，
系数化为1得：$x = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1.同底数幂的除法法则
2.有理数的乘方
3.一元一次方程的解法
【点评】
本题是同底数幂运算的常规基础题，解题核心是先统一幂的底数，再结合同底数幂的运算性质转化为方程求解，掌握同底数幂的运算法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

10. 已知 $ x^m = 2, x^n = -3, y^m = \frac{1}{2}, y^n = 1 $，将 $ (-4x^{m+n}y^{3m-n}) ÷ (-2x^{2m}y^{2m-n}) $ 化简后，求所得代数式的值.

解:$(-4x^{m+n}y^{3m-n}) ÷ (-2x^{2m}y^{2m-n})=(-4)÷(-2)×[(x^{m+n})÷(x^{2m})]×[(y^{3m-n})÷(y^{2m-n})]=2x^{n-m}y^m$.
因为$2x^{n-m}y^m=2·\frac{x^n}{x^m}·y^m$,$x^m=2$,$x^n=-3$,$y^m=\frac{1}{2}$,
所以$2x^{n-m}y^m=2×\frac{-3}{2}×\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$.

【分析】
解题时首先观察原式属于单项式除以单项式的运算，解题思路分两步：第一步，依据单项式除以单项式的运算法则，分别对系数、相同字母的幂做除法运算，完成原式的化简；第二步，利用同底数幂除法的逆运算，将化简后代数式中指数为差的幂转化为已知幂的除法形式，再代入已知的幂的数值计算即可。计算时要注意同底数幂相除时指数是相减，不要和幂的乘法的指数相加规则混淆，同时注意系数的符号运算。
【解析】
先根据单项式除以单项式的法则化简原式：
$\begin{aligned}&(-4x^{m+n}y^{3m-n}) ÷ (-2x^{2m}y^{2m-n})\\=&(-4)÷(-2) · (x^{m+n}÷x^{2m}) · (y^{3m-n}÷y^{2m-n})\\=&2 · x^{(m+n)-2m} · y^{(3m-n)-(2m-n)}\\=&2x^{n-m}y^m\end{aligned}$
再根据同底数幂除法的逆运算$a^{p-q}=\frac{a^p}{a^q}$，可得$x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$，将$x^m = 2, x^n = -3, y^m = \frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}2x^{n-m}y^m&=2×\frac{x^n}{x^m}× y^m\\&=2×\frac{-3}{2}×\frac{1}{2}\\&=-\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 单项式除以单项式法则
2. 同底数幂的除法
3. 幂的运算逆用
【点评】
本题重点考查整式除法和幂的运算性质的应用，解题核心是先准确化简代数式，再通过幂的运算的逆变形将待求式转化为可直接代入已知条件的形式，计算时需注意指数运算规则和符号的准确性，避免因指数计算错误或者符号疏漏丢分。
【难度系数】
0.7