一、利用乘法公式运算
1. 已知$x=\sqrt{3}+1$，则代数式$(4-2\sqrt{3})x^2+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}$的值是。

1. 6+√3

【分析】
拿到这道题如果直接将x代入计算x²，运算过程会很繁琐且容易出错。我们可以先观察二次项的系数$4-2\sqrt{3}$，发现它刚好可以写成完全平方的形式$(\sqrt{3}-1)^2$，此时二次项可转化为$[(\sqrt{3}-1)x]^2$，再结合$x=\sqrt{3}+1$的特点，利用平方差公式就能快速算出二次项和一次项的值，最后合并即可得到结果。
【解析】
解：首先对二次项系数进行变形：
$\because 4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=(\sqrt{3}-1)^2$
$\therefore$ 原式可改写为：
$(\sqrt{3}-1)^2x^2+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}=[(\sqrt{3}-1)x]^2+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}$
将$x=\sqrt{3}+1$代入，先计算$(\sqrt{3}-1)x$的值：
$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$
将计算结果代入改写后的代数式：
原式$=2^2+2+\sqrt{3}=4+2+\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题主要考查乘法公式在二次根式化简求值中的应用，解题的核心是观察代数式系数和已知条件的特征，巧用乘法公式简化运算，避免直接代入计算带来的繁琐步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.6

2. 计算：
(1)$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})$；
(2)$(2\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$。

解:(1)原式=$4^2-(\sqrt{7})^2=9$.
(2)原式=$(2\sqrt{5})^2-2×2\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$
$=20-4 \sqrt{10}+2$
$=22-4 \sqrt{10}.$

【分析】
这两道题都是二次根式的乘法运算，可借助整式乘法公式简化计算：
(1) 观察式子形式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=4$，$b=\sqrt{7}$，直接代入公式计算即可，无需逐项展开；
(2) 式子是两个数差的平方形式，符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，其中$a=2\sqrt{5}$，$b=\sqrt{2}$，代入公式展开后再合并同类项即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
原式$=4^2-(\sqrt{7})^2$
$=16-7$
$=9$
(2) 利用完全平方差公式计算：
原式$=(2\sqrt{5})^2-2×2\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$
$=20-4\sqrt{10}+2$
$=22-4\sqrt{10}$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{22-4\sqrt{10}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，熟练掌握乘法公式可有效降低计算量、减少计算错误，计算时需注意二次根式乘方的系数运算规则，避免出现系数漏乘的问题。
【难度系数】
0.8

3. 计算:
(1)$(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}-1)^2$；
(2)$(7-4\sqrt{3})^{2026} × (7+4\sqrt{3})^{2027}$。

3. 解:(1)原式=$[(\sqrt{5})^2+2\sqrt{5}+1]+[(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1]$
$=6+2\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}$
$=12.$
(2)原式=$[(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})]^{2026}×(7+4\sqrt{3})$
$=(49-48)^{2026}×(7+4\sqrt{3})$
$=7+4\sqrt{3}.$

【分析】
(1) 观察式子是两个二次根式的和、差的平方相加，符合完全平方公式的结构，我们可以直接套用完全平方公式展开计算，展开后一次项会相互抵消，能简化运算过程。
(2) 两个幂的底数互为有理化因式，指数仅相差1，我们可以逆用积的乘方运算法则，先把指数相同的部分组合，再用平方差公式计算底数的乘积，最后计算剩余部分即可得到结果。
【解析】
(1) 利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开：
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{5})^2+2\sqrt{5}×1+1^2]+[(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}×1+1^2]\\&=(5+2\sqrt{5}+1)+(5-2\sqrt{5}+1)\\&=6+2\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}\\&=12\end{aligned}$
(2) 逆用积的乘方法则$a^n· b^n=(ab)^n$，拆分后计算：
$\begin{aligned}原式&=(7-4\sqrt{3})^{2026}×(7+4\sqrt{3})^{2026}×(7+4\sqrt{3})\\&=[(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})]^{2026}×(7+4\sqrt{3})\\&=(49-48)^{2026}×(7+4\sqrt{3})\\&=1^{2026}×(7+4\sqrt{3})\\&=7+4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{7+4\sqrt{3}}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，幂的运算性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查乘法公式和幂的运算法则的灵活运用，合理选用公式能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8

二、利用整体思想运算
4. 已知 $a=\sqrt{5}-\sqrt{3},b=\sqrt{5}+\sqrt{3}$,求下列各式的值:
(1) $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$;
(2) $a^2b+ab^2$.

4. 解:因为 $a=\sqrt{5}-\sqrt{3},b=\sqrt{5}+\sqrt{3}$,
所以 $a+b=(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2\sqrt{5}$,
$ab=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2.$
(1) 原式=$\frac{a^2+b^2}{ab} =\frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{ab} =\frac{(a+b)^2-2ab}{ab} =$
$\frac{(2\sqrt{5})^2-2×2}{2}=8.$
(2) 原式=$ab(a+b)=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}.$

【分析】
本题若直接将a、b的值代入所求式子计算，运算过程繁琐且容易出错，因此考虑用整体代入思想简化运算。首先先计算出a+b与ab的整体值，再将所求的两个代数式分别进行变形，转化为含a+b和ab的形式，最后将整体值代入计算即可。
【解析】
解：已知$a=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，$b=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，先计算a+b和ab的值：
$a+b=(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2\sqrt{5}$，
$ab=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$。
(1) 对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分变形：
原式$=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$，
将$a+b=2\sqrt{5}$，$ab=2$代入得：
$\frac{(2\sqrt{5})^2-2×2}{2}=\frac{20-4}{2}=8$。
(2) 对$a^2b+ab^2$提公因式因式分解：
原式$=ab(a+b)$，
将$ab=2$，$a+b=2\sqrt{5}$代入得：
$2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{4\sqrt{5}}$
【知识点】
二次根式运算，因式分解，整体代入
【点评】
本题是二次根式求值的典型题型，核心是运用整体思想简化运算，通过提前计算a+b、ab的整体值，再对所求代数式合理变形，有效降低了运算量，是二次根式运算中需要熟练掌握的技巧。
【难度系数】
0.7

5.已知 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，求下列各式的值：
(1)$a^2 -ab +b^2$；
(2)$\sqrt{a^2 +b^2 -6ab}$。

5. 解:因为 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,
所以 $a+b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$,
$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1.$
(1) 原式=$a^2+2ab+b^2-3ab$
$=(a+b)^2-3ab$
$=(2\sqrt{3})^2-3×1$
$=9.$
(2) 原式=$\sqrt{a^2+2ab+b^2-8ab}$
$=\sqrt{(a+b)^2-8ab}$
$=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-8×1}$
$=\sqrt{4}$
$=2.$

【分析】
观察已知的a和b是共轭二次根式，若直接将a、b代入待求式计算会非常繁琐。因此解题时可先计算出a+b与ab的值，再利用完全平方公式将待求代数式变形为只含有a+b和ab的形式，最后整体代入数值计算，能大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
解：因为$a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
所以$a+b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$，
$ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$。
(1) 原式$=a^2+2ab+b^2-3ab=(a+b)^2-3ab$
代入数值可得：$(2\sqrt{3})^2 - 3×1=12 - 3=9$。
(2) 原式$=\sqrt{a^2+2ab+b^2-8ab}=\sqrt{(a+b)^2-8ab}$
代入数值可得：$\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 8×1}=\sqrt{12 - 8}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心考查整体代入的运算思想，通过先求共轭二次根式的和与积再变形待求式的方法，能避免直接代入复杂根式带来的繁琐计算，有效提升计算的准确率。
【难度系数】
0.7

三、利用分母有理化化简
6. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1;$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2};$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3};$
…
解答下列各题：
(1)$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}=$;
(2)$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=$;
(3)利用这一规律计算：
$( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}} ) × (\sqrt{2025}+1).$

6. 解:(1) $\sqrt{10}-3$
(2)$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
(3)原式=$(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+ \sqrt{2025}-$
$\sqrt{2024})×(\sqrt{2025}+1)=(\sqrt{2025}-1)(\sqrt{2025}+1)=$
$2025-1=2024.$

【分析】
这是一道结合分母有理化的规律探究与计算类题目，解题思路可分为三步：①首先观察给出的解题示例，发现当分母为两个二次根式相加时，给分子、分母同乘这两个二次根式的差（分母的有理化因式），可借助平方差公式消去分母的根号，完成分母有理化；②第(1)问直接模仿示例的方法计算即可，第(2)问将具体数值替换为字母n，沿用有理化方法推导通用规律；③第(3)问先利用第(2)问得出的规律化简每一项，可发现中间的二次根式项两两抵消（裂项相消），仅剩首尾两项，再结合平方差公式即可快速算出结果。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{10}-\sqrt{9}$：
$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{9}}{(\sqrt{10}+\sqrt{9})(\sqrt{10}-\sqrt{9})}=\frac{\sqrt{10}-3}{10-9}=\sqrt{10}-3$
(2) 对$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-(n-1)}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
(3) 先利用(2)的规律化简括号内的项：
原式$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2025}-\sqrt{2024})×(\sqrt{2025}+1)$
括号内中间项两两抵消后可得：
$=(\sqrt{2025}-1)×(\sqrt{2025}+1)$
由平方差公式计算：
$=(\sqrt{2025})^2-1^2=2025-1=2024$
【答案】
(1) $\sqrt{10}-3$；(2) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$；(3) $2024$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型规律题，解题核心是掌握分母有理化的基本方法，能通过已知示例归纳通用化简规律，再利用裂项相消简化复杂运算，很好地考察了学生的规律归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7