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7. 给出以下式子：$( \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} - \dfrac{1}{x - 2} ) ÷ \dfrac{x + 1}{x + 2}$，先化简，然后从$-1,2,4 + 2\sqrt{3}$这三个数中，选一个合适的数代入求值。
答案
解:原式=$[\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{x-2}]·\dfrac{x+2}{x+1}$
$=(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1}{x-2})·\dfrac{x+2}{x+1}$
$=\dfrac{x+1}{x-2}·\dfrac{x+2}{x+1}$
$=\dfrac{x+2}{x-2}.$
根据题意,得 $x-2≠0,x+2≠0,x+1≠0$,
则 $x≠2,x≠-2,x≠-1$,
所以 $x=4+2\sqrt{3}$,
所以原式=$\dfrac{4+2\sqrt{3}+2}{4+2\sqrt{3}-2}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+1}$
$=\dfrac{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}.$
$=(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1}{x-2})·\dfrac{x+2}{x+1}$
$=\dfrac{x+1}{x-2}·\dfrac{x+2}{x+1}$
$=\dfrac{x+2}{x-2}.$
根据题意,得 $x-2≠0,x+2≠0,x+1≠0$,
则 $x≠2,x≠-2,x≠-1$,
所以 $x=4+2\sqrt{3}$,
所以原式=$\dfrac{4+2\sqrt{3}+2}{4+2\sqrt{3}-2}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+1}$
$=\dfrac{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：①先按分式运算规则化简原式：有括号先算括号内的，先对括号内第一个分式的分子分母因式分解、约分后，再做同分母分式减法，再将除法运算转化为乘法运算，约分化为最简分式；②确定x的可取范围：要保证原式中所有分式的分母不为0，且除式不为0，排除不符合要求的数值，选出合适的x；③将选出的x代入最简式计算，遇到二次根式时通过分母有理化得到最终结果。
【解析】
原式=$[\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{x-2}]·\dfrac{x+2}{x+1}$
先对第一个分式约分，得：
$=(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1}{x-2})·\dfrac{x+2}{x+1}$
括号内做同分母分式减法，分子相加减，分母不变：
$=\dfrac{x+2-1}{x-2}·\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{x+1}{x-2}·\dfrac{x+2}{x+1}$
约去公因式$x+1$，化简得：
$=\dfrac{x+2}{x-2}$
要使原式有意义，则各分母和除式均不为0，即：
$x-2≠0，x+2≠0，x+1≠0$，解得$x≠2，x≠-2，x≠-1$
因此给出的三个数中只能选$x=4+2\sqrt{3}$代入，得：
原式=$\dfrac{4+2\sqrt{3}+2}{4+2\sqrt{3}-2}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}$
先对分子分母同除以2化简，得：
$=\dfrac{3+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$
再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}-1$：
$=\dfrac{(3+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3\sqrt{3}-3+3-\sqrt{3}}{3-1}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x+2}{x-2}$，代入合适的数后求值结果为$\sqrt{3}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，二次根式的运算
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查了分式运算的基本法则，也设置了分式有意义的取值限制这一易错点，最后代入二次根式计算时需要掌握分母有理化的方法，能较好地考查学生的运算能力和细节把控能力。
【难度系数】
0.6
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：①先按分式运算规则化简原式：有括号先算括号内的，先对括号内第一个分式的分子分母因式分解、约分后，再做同分母分式减法，再将除法运算转化为乘法运算，约分化为最简分式；②确定x的可取范围：要保证原式中所有分式的分母不为0，且除式不为0，排除不符合要求的数值，选出合适的x；③将选出的x代入最简式计算，遇到二次根式时通过分母有理化得到最终结果。
【解析】
原式=$[\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{x-2}]·\dfrac{x+2}{x+1}$
先对第一个分式约分，得：
$=(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1}{x-2})·\dfrac{x+2}{x+1}$
括号内做同分母分式减法，分子相加减，分母不变：
$=\dfrac{x+2-1}{x-2}·\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{x+1}{x-2}·\dfrac{x+2}{x+1}$
约去公因式$x+1$，化简得：
$=\dfrac{x+2}{x-2}$
要使原式有意义，则各分母和除式均不为0，即：
$x-2≠0，x+2≠0，x+1≠0$，解得$x≠2，x≠-2，x≠-1$
因此给出的三个数中只能选$x=4+2\sqrt{3}$代入，得：
原式=$\dfrac{4+2\sqrt{3}+2}{4+2\sqrt{3}-2}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}$
先对分子分母同除以2化简，得：
$=\dfrac{3+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$
再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}-1$：
$=\dfrac{(3+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3\sqrt{3}-3+3-\sqrt{3}}{3-1}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x+2}{x-2}$，代入合适的数后求值结果为$\sqrt{3}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，二次根式的运算
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查了分式运算的基本法则，也设置了分式有意义的取值限制这一易错点，最后代入二次根式计算时需要掌握分母有理化的方法，能较好地考查学生的运算能力和细节把控能力。
【难度系数】
0.6
8. 小明遇到下列问题:已知 $a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, 求 $2a^2 -8a +1$ 的值.
他是这样解答的:
因为 $a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$,
所以 $a-2=-\sqrt{3}$,
所以 $(a-2)^2=3$, 即 $a^2 -4a +4=3$,
所以 $a^2 -4a=-1$,
所以 $2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1$.
请你根据小明的解答过程,解决如下问题:
若 $a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$, 求 $4a^2 -8a -3$ 的值.
他是这样解答的:
因为 $a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$,
所以 $a-2=-\sqrt{3}$,
所以 $(a-2)^2=3$, 即 $a^2 -4a +4=3$,
所以 $a^2 -4a=-1$,
所以 $2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1$.
请你根据小明的解答过程,解决如下问题:
若 $a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$, 求 $4a^2 -8a -3$ 的值.
答案
8. 解:因为 $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$,
所以 $a-1=\sqrt{2}$,
所以 $(a-1)^2=2$,
即 $a^2-2a+1=2$,
所以 $a^2-2a=1.$
所以 $4a^2-8a-3=4(a^2-2a)-3=4×1-3=1.$
所以 $a-1=\sqrt{2}$,
所以 $(a-1)^2=2$,
即 $a^2-2a+1=2$,
所以 $a^2-2a=1.$
所以 $4a^2-8a-3=4(a^2-2a)-3=4×1-3=1.$
解析
【分析】
首先观察a的表达式为分母含二次根式的分式，第一步先对a进行分母有理化得到化简结果；参考题中给出的解题思路，无需直接将a代入所求二次式计算（避免计算量过大出错），只需对化简后的a移项后平方，即可得到$a^2 - 2a$的整体值，再将要求的代数式提取公因式，变形为含$a^2 - 2a$的形式，最后整体代入计算即可得出结果。
【解析】
解：因为 $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$，
所以 $a-1=\sqrt{2}$，
所以 $(a-1)^2=2$，
即 $a^2-2a+1=2$，
所以 $a^2-2a=1$，
所以 $4a^2 -8a -3=4(a^2 -2a)-3=4×1 -3=1$。
【答案】
1
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的典型题型，通过模仿给出的解题方法，利用分母有理化技巧和整体代入思想可以大幅简化计算过程，能较好地考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察a的表达式为分母含二次根式的分式，第一步先对a进行分母有理化得到化简结果；参考题中给出的解题思路，无需直接将a代入所求二次式计算（避免计算量过大出错），只需对化简后的a移项后平方，即可得到$a^2 - 2a$的整体值，再将要求的代数式提取公因式，变形为含$a^2 - 2a$的形式，最后整体代入计算即可得出结果。
【解析】
解：因为 $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$，
所以 $a-1=\sqrt{2}$，
所以 $(a-1)^2=2$，
即 $a^2-2a+1=2$，
所以 $a^2-2a=1$，
所以 $4a^2 -8a -3=4(a^2 -2a)-3=4×1 -3=1$。
【答案】
1
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的典型题型，通过模仿给出的解题方法，利用分母有理化技巧和整体代入思想可以大幅简化计算过程，能较好地考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
