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1. 计算$\sqrt{14} × \sqrt{7} - \sqrt{2}$的结果是（
A.7
B.$6\sqrt{2}$
C.$7\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{7}$
B
）A.7
B.$6\sqrt{2}$
C.$7\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{7}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步，根据二次根式的乘法法则计算乘法部分；第二步，将乘法得到的结果化简为最简二次根式；第三步，合并同类二次根式得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：按照二次根式混合运算顺序，先计算乘法，再计算减法：
1. 计算乘法：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14 × 7} = \sqrt{98}$
2. 化简$\sqrt{98}$：$\sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = \sqrt{49} × \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
3. 计算减法，合并同类二次根式：
$7\sqrt{2} - \sqrt{2} = (7-1)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，运算时需注意遵循运算顺序，正确化简二次根式、准确合并同类二次根式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步，根据二次根式的乘法法则计算乘法部分；第二步，将乘法得到的结果化简为最简二次根式；第三步，合并同类二次根式得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：按照二次根式混合运算顺序，先计算乘法，再计算减法：
1. 计算乘法：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14 × 7} = \sqrt{98}$
2. 化简$\sqrt{98}$：$\sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = \sqrt{49} × \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
3. 计算减法，合并同类二次根式：
$7\sqrt{2} - \sqrt{2} = (7-1)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，运算时需注意遵循运算顺序，正确化简二次根式、准确合并同类二次根式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 计算$(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})×\sqrt{\frac{1}{5}}-\sqrt{4}$的结果是
（
A.$\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2$
D.$-2$
（
A
）A.$\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2$
D.$-2$
答案
2. A
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路按照四则运算顺序开展即可：第一步先算乘法部分，可利用乘法分配律把括号内的两个二次根式分别与$\sqrt{\frac{1}{5}}$相乘，简化计算；第二步分别化简每一个二次根式的乘积项，再计算$\sqrt{4}$的结果；最后合并同类项得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
按照二次根式混合运算顺序计算：
1. 利用乘法分配律展开乘法项：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{5}} - \sqrt{4}\\\end{aligned}$
2. 分别化简每一项：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$：
第一项：$2\sqrt{5×\frac{1}{5}}=2\sqrt{1}=2$
第二项：$5\sqrt{2×\frac{1}{5}}=5\sqrt{\frac{2}{5}}=5×\frac{\sqrt{10}}{5}=\sqrt{10}$
第三项：$\sqrt{4}=2$
3. 合并计算：
$原式=2+\sqrt{10}-2=\sqrt{10}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式化简；二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查运算顺序和二次根式的化简能力，计算时合理使用乘法分配律可以降低运算出错概率，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路按照四则运算顺序开展即可：第一步先算乘法部分，可利用乘法分配律把括号内的两个二次根式分别与$\sqrt{\frac{1}{5}}$相乘，简化计算；第二步分别化简每一个二次根式的乘积项，再计算$\sqrt{4}$的结果；最后合并同类项得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
按照二次根式混合运算顺序计算：
1. 利用乘法分配律展开乘法项：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{5}} - \sqrt{4}\\\end{aligned}$
2. 分别化简每一项：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$：
第一项：$2\sqrt{5×\frac{1}{5}}=2\sqrt{1}=2$
第二项：$5\sqrt{2×\frac{1}{5}}=5\sqrt{\frac{2}{5}}=5×\frac{\sqrt{10}}{5}=\sqrt{10}$
第三项：$\sqrt{4}=2$
3. 合并计算：
$原式=2+\sqrt{10}-2=\sqrt{10}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式化简；二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查运算顺序和二次根式的化简能力，计算时合理使用乘法分配律可以降低运算出错概率，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 估计$(\sqrt{54}-\sqrt{3})÷\sqrt{3}$的运算结果应在哪两个连续自然数之间 （
A.2和3
B.3和4
C.4和5
D.5和6
B
）A.2和3
B.3和4
C.4和5
D.5和6
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先观察算式结构，这是带括号的二次根式混合运算，优先考虑用除法分配律拆分算式，能大幅简化计算，避免先算括号内减法的复杂运算。拆分后利用二次根式的除法法则化简得到最简结果，再通过找与无理数被开方数相邻的两个完全平方数，估算出无理数的取值范围，最后对范围做对应加减运算，就能判断结果落在哪个连续自然数区间。
【解析】
第一步：化简原式
根据除法分配律和二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$，可得：
$\begin{aligned}(\sqrt{54}-\sqrt{3})÷\sqrt{3}&=\sqrt{54}÷\sqrt{3}-\sqrt{3}÷\sqrt{3}\\&=\sqrt{\frac{54}{3}}-1\\&=\sqrt{18}-1\end{aligned}$
第二步：估算$\sqrt{18}$的范围
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜18＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{18}＜5$。
第三步：推导原式的取值范围
对不等式$4＜\sqrt{18}＜5$三边同时减1，得：
$4-1＜\sqrt{18}-1＜5-1$，即$3＜\sqrt{18}-1＜4$
因此运算结果在3和4两个连续自然数之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算；无理数的估算
【点评】
本题是二次根式运算与无理数估算结合的基础题，解题核心是先化简再估算，熟练掌握二次根式的运算法则、会用完全平方数估算无理数范围就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察算式结构，这是带括号的二次根式混合运算，优先考虑用除法分配律拆分算式，能大幅简化计算，避免先算括号内减法的复杂运算。拆分后利用二次根式的除法法则化简得到最简结果，再通过找与无理数被开方数相邻的两个完全平方数，估算出无理数的取值范围，最后对范围做对应加减运算，就能判断结果落在哪个连续自然数区间。
【解析】
第一步：化简原式
根据除法分配律和二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$，可得：
$\begin{aligned}(\sqrt{54}-\sqrt{3})÷\sqrt{3}&=\sqrt{54}÷\sqrt{3}-\sqrt{3}÷\sqrt{3}\\&=\sqrt{\frac{54}{3}}-1\\&=\sqrt{18}-1\end{aligned}$
第二步：估算$\sqrt{18}$的范围
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜18＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{18}＜5$。
第三步：推导原式的取值范围
对不等式$4＜\sqrt{18}＜5$三边同时减1，得：
$4-1＜\sqrt{18}-1＜5-1$，即$3＜\sqrt{18}-1＜4$
因此运算结果在3和4两个连续自然数之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算；无理数的估算
【点评】
本题是二次根式运算与无理数估算结合的基础题，解题核心是先化简再估算，熟练掌握二次根式的运算法则、会用完全平方数估算无理数范围就能快速解题。
【难度系数】
0.7
4. (汕头模拟)已知$a=\sqrt{2}+1,b=\sqrt{2}-1$，则$\sqrt{ab+3}$的值为（
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.3
B
）A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.3
答案
4. B
解析
【分析】
要计算$\sqrt{ab+3}$的值，首先观察已知$a$、$b$的结构，发现二者刚好符合平方差公式的特征，先计算$ab$的值会比直接代入$a$、$b$数值计算更简便。算出$ab$后代入式子求出$ab+3$的值，最后计算算术平方根即可得到结果。
【解析】
第一步：根据平方差公式计算$ab$的值：
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
第二步：将$ab=1$代入$\sqrt{ab+3}$计算：
$\sqrt{ab+3}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；算术平方根化简
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题时优先观察已知条件的结构特征，利用平方差公式简化$ab$的计算，是二次根式混合运算中常用的简便技巧，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
要计算$\sqrt{ab+3}$的值，首先观察已知$a$、$b$的结构，发现二者刚好符合平方差公式的特征，先计算$ab$的值会比直接代入$a$、$b$数值计算更简便。算出$ab$后代入式子求出$ab+3$的值，最后计算算术平方根即可得到结果。
【解析】
第一步：根据平方差公式计算$ab$的值：
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
第二步：将$ab=1$代入$\sqrt{ab+3}$计算：
$\sqrt{ab+3}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；算术平方根化简
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题时优先观察已知条件的结构特征，利用平方差公式简化$ab$的计算，是二次根式混合运算中常用的简便技巧，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
5. (晋城模拟)计算：$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{40} =$
7
.答案
5. 7
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路如下：首先利用完全平方公式展开$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$，再将$\sqrt{40}$化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。解题时需注意完全平方公式的展开形式，避免漏项，同时要正确化简二次根式。
【解析】
解：第一步，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开：
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}$
第二步，化简$\sqrt{40}$：
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
第三步，代入原式计算：
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2-\sqrt{40}=7+2\sqrt{10}-2\sqrt{10}=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察完全平方公式的应用和二次根式化简、合并同类二次根式的能力，计算时需注意完全平方展开不要遗漏交叉项，化简二次根式要保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路如下：首先利用完全平方公式展开$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$，再将$\sqrt{40}$化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。解题时需注意完全平方公式的展开形式，避免漏项，同时要正确化简二次根式。
【解析】
解：第一步，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开：
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}$
第二步，化简$\sqrt{40}$：
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
第三步，代入原式计算：
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2-\sqrt{40}=7+2\sqrt{10}-2\sqrt{10}=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察完全平方公式的应用和二次根式化简、合并同类二次根式的能力，计算时需注意完全平方展开不要遗漏交叉项，化简二次根式要保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
(1)$\sqrt{8}-\sqrt{27}-3×\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2)$(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})÷\sqrt{3}+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|$。
(1)$\sqrt{8}-\sqrt{27}-3×\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2)$(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})÷\sqrt{3}+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|$。
答案
6. 解:(1)$\sqrt{8}-\sqrt{27}-3×\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}-4\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})÷\sqrt{3}+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|$
$=(12-15)÷\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}-4\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})÷\sqrt{3}+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|$
$=(12-15)÷\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
（1）解答第(1)问时，思路为：先将题中所有二次根式化为最简二次根式，再计算乘法运算，最后合并同类二次根式即可。具体思考路径：先分别化简$\sqrt{8}$、$\sqrt{27}$、$\sqrt{\frac{1}{3}}$，再计算$3×\sqrt{\frac{1}{3}}$的结果，最后合并所有含$\sqrt{3}$的同类二次根式。
（2）解答第(2)问时，思路为：首先观察到$(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})$符合平方差公式的结构，优先用平方差公式简化计算，再计算二次根式的除法；随后判断绝对值内$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的正负性（因为$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，所以$\sqrt{3}-\sqrt{5}＜0$，去绝对值后变为它的相反数$\sqrt{5}-\sqrt{3}$），最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) $\sqrt{8}-\sqrt{27}-3×\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}-4\sqrt{3}$
(2) $(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})÷\sqrt{3}+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|$
$=(12-15)÷\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-3÷\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}+\sqrt{5}$
【答案】
(1)$2\sqrt{2}-4\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{5}-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，考查二次根式的基本运算规则和简便计算方法。解题时需注意先化简二次根式再进行后续运算，灵活运用乘法公式可减少计算量，去绝对值前一定要先判断代数式的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
（1）解答第(1)问时，思路为：先将题中所有二次根式化为最简二次根式，再计算乘法运算，最后合并同类二次根式即可。具体思考路径：先分别化简$\sqrt{8}$、$\sqrt{27}$、$\sqrt{\frac{1}{3}}$，再计算$3×\sqrt{\frac{1}{3}}$的结果，最后合并所有含$\sqrt{3}$的同类二次根式。
（2）解答第(2)问时，思路为：首先观察到$(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})$符合平方差公式的结构，优先用平方差公式简化计算，再计算二次根式的除法；随后判断绝对值内$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的正负性（因为$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，所以$\sqrt{3}-\sqrt{5}＜0$，去绝对值后变为它的相反数$\sqrt{5}-\sqrt{3}$），最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) $\sqrt{8}-\sqrt{27}-3×\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}-4\sqrt{3}$
(2) $(\sqrt{12}-\sqrt{15})(\sqrt{12}+\sqrt{15})÷\sqrt{3}+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|$
$=(12-15)÷\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-3÷\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}+\sqrt{5}$
【答案】
(1)$2\sqrt{2}-4\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{5}-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，考查二次根式的基本运算规则和简便计算方法。解题时需注意先化简二次根式再进行后续运算，灵活运用乘法公式可减少计算量，去绝对值前一定要先判断代数式的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
7.已知$a,b$均为有理数，且$a+b\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$，则$a,b$的值分别为（
A.$4,3$
B.$7,-4$
C.$4,4$
D.$7,4$
B
）A.$4,3$
B.$7,-4$
C.$4,4$
D.$7,4$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先需要化简等式右侧的完全平方式，利用完全平方公式展开后合并同类项，再结合a、b均为有理数的条件：等式左右两侧的有理数部分、含$\sqrt{3}$的无理数部分的系数分别对应相等，即可求出a和b的取值。
【解析】
首先利用完全平方公式计算$(2-\sqrt{3})^2$：
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得：
$\begin{aligned}(2-\sqrt{3})^2&=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\&=4 - 4\sqrt{3} + 3\\&=7 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
已知$a+b\sqrt{3}=7 - 4\sqrt{3}$，且a、b均为有理数，由于有理数和无理数不能合并，因此等式两边有理数部分、含$\sqrt{3}$的项的系数分别对应相等，可推出：$a=7$，$b=-4$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的混合运算 2.完全平方公式 3.有理数与无理数的性质
【点评】
本题考查二次根式的运算与系数对应思想，解题核心是正确展开完全平方并利用有理数、无理数的特性匹配对应系数，属于基础题型，掌握基础运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要化简等式右侧的完全平方式，利用完全平方公式展开后合并同类项，再结合a、b均为有理数的条件：等式左右两侧的有理数部分、含$\sqrt{3}$的无理数部分的系数分别对应相等，即可求出a和b的取值。
【解析】
首先利用完全平方公式计算$(2-\sqrt{3})^2$：
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得：
$\begin{aligned}(2-\sqrt{3})^2&=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\&=4 - 4\sqrt{3} + 3\\&=7 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
已知$a+b\sqrt{3}=7 - 4\sqrt{3}$，且a、b均为有理数，由于有理数和无理数不能合并，因此等式两边有理数部分、含$\sqrt{3}$的项的系数分别对应相等，可推出：$a=7$，$b=-4$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的混合运算 2.完全平方公式 3.有理数与无理数的性质
【点评】
本题考查二次根式的运算与系数对应思想，解题核心是正确展开完全平方并利用有理数、无理数的特性匹配对应系数，属于基础题型，掌握基础运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 若$\sqrt{2} + m · \sqrt{2} = \sqrt{18}$，则$m=$
2
。答案
8. 2
解析
【分析】
拿到这道题首先观察等式两边的结构，两边都含有二次根式，解题思路分为三步：第一步先将等式右侧非最简的二次根式$\sqrt{18}$化简为最简二次根式；第二步合并等式左侧的同类二次根式；第三步根据等式两边同类二次根式的系数相等，列出关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
1. 化简等式右侧的二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
2. 合并等式左侧的同类二次根式：
$\sqrt{2} + m·\sqrt{2}=(1+m)\sqrt{2}$
3. 将化简后的结果代入原式得：
$(1+m)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
因为$\sqrt{2}≠0$，等式两边同时除以$\sqrt{2}$，可得：
$1+m=3$
解得$m=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 同类二次根式的合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考察二次根式化简和同类二次根式合并的基本技能，熟练掌握最简二次根式的化简规则是解题的关键，计算时注意不要遗漏左侧$\sqrt{2}$的系数1。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察等式两边的结构，两边都含有二次根式，解题思路分为三步：第一步先将等式右侧非最简的二次根式$\sqrt{18}$化简为最简二次根式；第二步合并等式左侧的同类二次根式；第三步根据等式两边同类二次根式的系数相等，列出关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
1. 化简等式右侧的二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
2. 合并等式左侧的同类二次根式：
$\sqrt{2} + m·\sqrt{2}=(1+m)\sqrt{2}$
3. 将化简后的结果代入原式得：
$(1+m)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
因为$\sqrt{2}≠0$，等式两边同时除以$\sqrt{2}$，可得：
$1+m=3$
解得$m=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 同类二次根式的合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考察二次根式化简和同类二次根式合并的基本技能，熟练掌握最简二次根式的化简规则是解题的关键，计算时注意不要遗漏左侧$\sqrt{2}$的系数1。
【难度系数】
0.8
9. 已知 $x=\sqrt{7}+\sqrt{5}, y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，求下列各式的值：
(1) $x^2 - xy + y^2$；
(2) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$。
(1) $x^2 - xy + y^2$；
(2) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$。
答案
9. 解:因为$x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，
所以$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$，
$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$，
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=7-5=2$.
(1)$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=28-6=22$.
(2)$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}=\frac{2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{35}$.
所以$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$，
$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$，
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=7-5=2$.
(1)$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=28-6=22$.
(2)$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}=\frac{2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{35}$.
解析
【分析】
观察可知x和y是互为有理化因式的二次根式，若直接代入所求式子计算会比较繁琐。因此可以先计算出$x+y$、$x-y$、$xy$三个整体的值，再将所求代数式通过完全平方公式、因式分解等方式恒等变形，转化为含有这三个整体的表达式，最后代入数值计算即可，能大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
先根据已知条件计算三个整体的值：
因为$x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，
所以$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$，
$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$，
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$.
(1) 对$x^2 - xy + y^2$变形：由完全平方公式可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，因此
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2-3xy$，代入数值得：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - 3×2=28 - 6=22$.
(2) 对$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$通分、因式分解得：
$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2 - y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$，代入数值得：
原式$=\frac{2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{35}$.
【答案】
(1) $\boxed{22}$；(2) $\boxed{2\sqrt{35}}$
【知识点】
二次根式混合运算，代数式化简求值，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题核心是运用整体代入思想，先简化计算$x+y$、$x-y$、$xy$的值，再通过代数式恒等变形代入求解，能有效避免复杂的直接代入计算，需熟练掌握相关乘法公式和变形技巧。
【难度系数】
0.7
观察可知x和y是互为有理化因式的二次根式，若直接代入所求式子计算会比较繁琐。因此可以先计算出$x+y$、$x-y$、$xy$三个整体的值，再将所求代数式通过完全平方公式、因式分解等方式恒等变形，转化为含有这三个整体的表达式，最后代入数值计算即可，能大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
先根据已知条件计算三个整体的值：
因为$x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，
所以$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$，
$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$，
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$.
(1) 对$x^2 - xy + y^2$变形：由完全平方公式可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，因此
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2-3xy$，代入数值得：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - 3×2=28 - 6=22$.
(2) 对$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$通分、因式分解得：
$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2 - y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$，代入数值得：
原式$=\frac{2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{35}$.
【答案】
(1) $\boxed{22}$；(2) $\boxed{2\sqrt{35}}$
【知识点】
二次根式混合运算，代数式化简求值，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题核心是运用整体代入思想，先简化计算$x+y$、$x-y$、$xy$的值，再通过代数式恒等变形代入求解，能有效避免复杂的直接代入计算，需熟练掌握相关乘法公式和变形技巧。
【难度系数】
0.7
10. 观察下列等式：
① $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$；
② $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$；
③ $7 - 2\sqrt{12} = (\sqrt{4} - \sqrt{3})^2$；
…
请你根据以上规律，写出第5个等式：
① $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$；
② $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$；
③ $7 - 2\sqrt{12} = (\sqrt{4} - \sqrt{3})^2$；
…
请你根据以上规律，写出第5个等式：
$11-2\sqrt{30}=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
.答案
10. $11-2\sqrt{30}=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
解析
【分析】
解决这类规律探究题，我们可以先把等式拆分为左边、右边两部分，再对应序号n逐一找各部分的变化规律：
1. 先观察左边的结构：都是“整数 - 2√被开方数”的形式，分别找整数、被开方数和序号n的对应关系；
2. 再观察右边的结构：都是“(√a - √b)²”的形式，找a、b和序号n的对应关系；
3. 最后把n=5代入总结的通用规律，就能得到第5个等式，还可以展开右边验证是否和左边相等，确保规律正确。
【解析】
设第n个等式（n为正整数），我们逐一推导规律：
1. 左边的整数部分：第1个（n=1）是3=2×1+1，第2个（n=2）是5=2×2+1，第3个（n=3）是7=2×3+1，可得第n个的整数为$\boldsymbol{2n+1}$；
2. 左边根号内的被开方数：第1个是$2=1×2$，第2个是$6=2×3$，第3个是$12=3×4$，可得第n个的被开方数为$\boldsymbol{n(n+1)}$，因此左边整体为$2n+1 - 2\sqrt{n(n+1)}$；
3. 右边的平方项：第1个是$(\sqrt{2}-\sqrt{1})^2=(\sqrt{1+1}-\sqrt{1})^2$，第2个是$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2+1}-\sqrt{2})^2$，第3个是$(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3+1}-\sqrt{3})^2$，可得第n个右边为$\boldsymbol{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2}$。
要求第5个等式，即n=5，代入规律：
左边：$2×5+1 - 2\sqrt{5×6}=11 - 2\sqrt{30}$
右边：$(\sqrt{5+1}-\sqrt{5})^2=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
验证：展开右边$(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2=(\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2=6+5-2\sqrt{30}=11-2\sqrt{30}$，和左边相等，规律成立。
【答案】
$11-2\sqrt{30}=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
【知识点】
数字规律探究；完全平方公式；二次根式运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是将等式拆分后对应序号归纳通用规律，既考察学生的观察归纳能力，也检验了二次根式相关运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探究题，我们可以先把等式拆分为左边、右边两部分，再对应序号n逐一找各部分的变化规律：
1. 先观察左边的结构：都是“整数 - 2√被开方数”的形式，分别找整数、被开方数和序号n的对应关系；
2. 再观察右边的结构：都是“(√a - √b)²”的形式，找a、b和序号n的对应关系；
3. 最后把n=5代入总结的通用规律，就能得到第5个等式，还可以展开右边验证是否和左边相等，确保规律正确。
【解析】
设第n个等式（n为正整数），我们逐一推导规律：
1. 左边的整数部分：第1个（n=1）是3=2×1+1，第2个（n=2）是5=2×2+1，第3个（n=3）是7=2×3+1，可得第n个的整数为$\boldsymbol{2n+1}$；
2. 左边根号内的被开方数：第1个是$2=1×2$，第2个是$6=2×3$，第3个是$12=3×4$，可得第n个的被开方数为$\boldsymbol{n(n+1)}$，因此左边整体为$2n+1 - 2\sqrt{n(n+1)}$；
3. 右边的平方项：第1个是$(\sqrt{2}-\sqrt{1})^2=(\sqrt{1+1}-\sqrt{1})^2$，第2个是$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2+1}-\sqrt{2})^2$，第3个是$(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3+1}-\sqrt{3})^2$，可得第n个右边为$\boldsymbol{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2}$。
要求第5个等式，即n=5，代入规律：
左边：$2×5+1 - 2\sqrt{5×6}=11 - 2\sqrt{30}$
右边：$(\sqrt{5+1}-\sqrt{5})^2=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
验证：展开右边$(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2=(\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2=6+5-2\sqrt{30}=11-2\sqrt{30}$，和左边相等，规律成立。
【答案】
$11-2\sqrt{30}=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
【知识点】
数字规律探究；完全平方公式；二次根式运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是将等式拆分后对应序号归纳通用规律，既考察学生的观察归纳能力，也检验了二次根式相关运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
