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【例1】计算:(1)$\sqrt{2} × \sqrt{3} - \sqrt{24} + |2 - \sqrt{6}|$；
(2)$(\sqrt{48} - \sqrt{27}) ÷ \sqrt{3} + \sqrt{6} × 2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3)$\sqrt{27} - (\sqrt{7} + \sqrt{3}) × (\sqrt{7} - \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{15} × \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$。
(2)$(\sqrt{48} - \sqrt{27}) ÷ \sqrt{3} + \sqrt{6} × 2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3)$\sqrt{27} - (\sqrt{7} + \sqrt{3}) × (\sqrt{7} - \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{15} × \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$。
答案
解:(1) 原式$=\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}-2=-2$.
(2) 原式$=(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}+2×\sqrt{6×\frac{1}{3}}=\sqrt{3}÷\sqrt{3}+2×\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}$.
(3) 原式$=3\sqrt{3}-(7-3)+\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=3\sqrt{3}-4+\sqrt{9}=3\sqrt{3}-1$.
(2) 原式$=(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}+2×\sqrt{6×\frac{1}{3}}=\sqrt{3}÷\sqrt{3}+2×\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}$.
(3) 原式$=3\sqrt{3}-(7-3)+\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=3\sqrt{3}-4+\sqrt{9}=3\sqrt{3}-1$.
解析
【分析】
这三道题都是二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，思路如下：①先算二次根式的乘除运算，利用$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算，同时把所有二次根式化简为最简二次根式；②处理绝对值：先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号（负数的绝对值是它的相反数）；③遇到符合乘法公式的运算（如第三题的平方差形式），优先用公式简化计算；④最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 分步计算各部分：
二次根式乘法：$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$
化简二次根式：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$
化简绝对值：
∵$\sqrt{6}＞2$，
∴$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$
代入原式合并：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\\&=-2\end{aligned}$
(2) 分步计算各部分：
化简括号内二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，故$\sqrt{48}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$
二次根式除法：$\sqrt{3}÷\sqrt{3}=1$
二次根式乘法：$\sqrt{6}×2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\sqrt{6×\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$
代入原式合并：
$原式=1+2\sqrt{2}$
(3) 分步计算各部分：
化简二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
用平方差公式计算：$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2=7-3=4$
二次根式乘除运算：$\frac{\sqrt{15}×\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{15×3}{5}}=\sqrt{9}=3$
代入原式合并：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}-4+3\\&=3\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
(1)$-2$；(2)$1+2\sqrt{2}$；(3)$3\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值化简，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考察运算顺序和运算法则的应用，解题时注意先化简再计算，灵活运用乘法公式可降低运算量，去绝对值时要先判断符号避免出错。
【难度系数】
0.75
这三道题都是二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，思路如下：①先算二次根式的乘除运算，利用$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算，同时把所有二次根式化简为最简二次根式；②处理绝对值：先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号（负数的绝对值是它的相反数）；③遇到符合乘法公式的运算（如第三题的平方差形式），优先用公式简化计算；④最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 分步计算各部分：
二次根式乘法：$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$
化简二次根式：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$
化简绝对值：
∵$\sqrt{6}＞2$，
∴$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$
代入原式合并：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\\&=-2\end{aligned}$
(2) 分步计算各部分：
化简括号内二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，故$\sqrt{48}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$
二次根式除法：$\sqrt{3}÷\sqrt{3}=1$
二次根式乘法：$\sqrt{6}×2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\sqrt{6×\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$
代入原式合并：
$原式=1+2\sqrt{2}$
(3) 分步计算各部分：
化简二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
用平方差公式计算：$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2=7-3=4$
二次根式乘除运算：$\frac{\sqrt{15}×\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{15×3}{5}}=\sqrt{9}=3$
代入原式合并：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}-4+3\\&=3\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
(1)$-2$；(2)$1+2\sqrt{2}$；(3)$3\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值化简，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考察运算顺序和运算法则的应用，解题时注意先化简再计算，灵活运用乘法公式可降低运算量，去绝对值时要先判断符号避免出错。
【难度系数】
0.75
规律总结 先乘方，再乘除，最后加减。
【变式1】(枣庄模拟)计算：$\sqrt{50} × \sqrt{8} - \frac{\sqrt{6} × \sqrt{3}}{\sqrt{2}} =$
【变式1】(枣庄模拟)计算：$\sqrt{50} × \sqrt{8} - \frac{\sqrt{6} × \sqrt{3}}{\sqrt{2}} =$
17
.答案
17
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘除，后加减”的运算顺序。第一步先分别计算式子中的二次根式乘法部分$\sqrt{50}×\sqrt{8}$和二次根式乘除混合部分$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，计算时运用二次根式乘除运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），算出两部分的结果后再做减法即可得到最终答案。
【解析】
解：根据二次根式混合运算顺序，先计算乘除部分：
1. 计算$\sqrt{50}×\sqrt{8}$：
根据二次根式乘法法则可得：$\sqrt{50}×\sqrt{8}=\sqrt{50×8}=\sqrt{400}=20$；
2. 计算$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$：
先计算分子的乘法：$\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{6×3}=\sqrt{18}$，
再计算二次根式除法：$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$；
3. 最后计算减法：$20 - 3 = 17$。
【答案】
17
【知识点】
1. 二次根式乘除运算法则
2. 二次根式化简
3. 二次根式混合运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式的乘除运算法则和混合运算的顺序，计算时也可以先将各二次根式化为最简二次根式再进行运算，能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘除，后加减”的运算顺序。第一步先分别计算式子中的二次根式乘法部分$\sqrt{50}×\sqrt{8}$和二次根式乘除混合部分$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，计算时运用二次根式乘除运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），算出两部分的结果后再做减法即可得到最终答案。
【解析】
解：根据二次根式混合运算顺序，先计算乘除部分：
1. 计算$\sqrt{50}×\sqrt{8}$：
根据二次根式乘法法则可得：$\sqrt{50}×\sqrt{8}=\sqrt{50×8}=\sqrt{400}=20$；
2. 计算$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$：
先计算分子的乘法：$\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{6×3}=\sqrt{18}$，
再计算二次根式除法：$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$；
3. 最后计算减法：$20 - 3 = 17$。
【答案】
17
【知识点】
1. 二次根式乘除运算法则
2. 二次根式化简
3. 二次根式混合运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式的乘除运算法则和混合运算的顺序，计算时也可以先将各二次根式化为最简二次根式再进行运算，能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
【变式2】计算：
(1)$(\sqrt{3}-1)^2 - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$；
(2)$\frac{1}{7+\sqrt{5}} + \frac{1}{7-\sqrt{5}}$。
(1)$(\sqrt{3}-1)^2 - (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$；
(2)$\frac{1}{7+\sqrt{5}} + \frac{1}{7-\sqrt{5}}$。
答案
解:(1)原式$=3-2\sqrt{3}+1-(4-3)=3-2\sqrt{3}+1-1=3-2\sqrt{3}$.
(2) 原式$=\frac{7-\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}+\frac{7+\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}=\frac{7-\sqrt{5}+7+\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}=\frac{14}{44}=\frac{7}{22}$.
(2) 原式$=\frac{7-\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}+\frac{7+\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}=\frac{7-\sqrt{5}+7+\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}=\frac{14}{44}=\frac{7}{22}$.
解析
【分析】
(1) 观察式子结构，$(\sqrt{3}-1)^2$符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，先分别利用两个乘法公式展开计算，再去括号合并同类项即可。
(2) 两个分式的分母都含有二次根式，需要先进行分母有理化，$7+\sqrt{5}$和$7-\sqrt{5}$互为有理化因式，因此先以两个分母的乘积作为公分母通分，再利用平方差公式计算分母，分子相加后化简约分即可得到结果。
【解析】
(1) 利用完全平方公式和平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2-[2^2-(\sqrt{3})^2]\\&=3-2\sqrt{3}+1-(4-3)\\&=4-2\sqrt{3}-1\\&=3-2\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先通分再化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7-\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}+\frac{7+\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}\\&=\frac{7-\sqrt{5}+7+\sqrt{5}}{7^2-(\sqrt{5})^2}\\&=\frac{14}{49-5}\\&=\frac{14}{44}\\&=\frac{7}{22}\end{aligned}$
【答案】
(1)$3-2\sqrt{3}$；(2)$\frac{7}{22}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，解题核心是灵活运用完全平方公式、平方差公式简化计算，掌握分母有理化的方法，计算过程中要注意符号运算和结果的化简，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子结构，$(\sqrt{3}-1)^2$符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，先分别利用两个乘法公式展开计算，再去括号合并同类项即可。
(2) 两个分式的分母都含有二次根式，需要先进行分母有理化，$7+\sqrt{5}$和$7-\sqrt{5}$互为有理化因式，因此先以两个分母的乘积作为公分母通分，再利用平方差公式计算分母，分子相加后化简约分即可得到结果。
【解析】
(1) 利用完全平方公式和平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2-[2^2-(\sqrt{3})^2]\\&=3-2\sqrt{3}+1-(4-3)\\&=4-2\sqrt{3}-1\\&=3-2\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先通分再化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7-\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}+\frac{7+\sqrt{5}}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})}\\&=\frac{7-\sqrt{5}+7+\sqrt{5}}{7^2-(\sqrt{5})^2}\\&=\frac{14}{49-5}\\&=\frac{14}{44}\\&=\frac{7}{22}\end{aligned}$
【答案】
(1)$3-2\sqrt{3}$；(2)$\frac{7}{22}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，解题核心是灵活运用完全平方公式、平方差公式简化计算，掌握分母有理化的方法，计算过程中要注意符号运算和结果的化简，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.8
【例2】先化简，再求值：$(x+2)(x-2)+3(1-x)$，其中$x=\sqrt{2}$。
答案
解:原式$=x^2-4+3-3x=x^2-3x-1$,
当$x=\sqrt{2}$时,原式$=(\sqrt{2})^2-3\sqrt{2}-1=2-3\sqrt{2}-1=1-3\sqrt{2}$.
当$x=\sqrt{2}$时,原式$=(\sqrt{2})^2-3\sqrt{2}-1=2-3\sqrt{2}-1=1-3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是整式化简结合二次根式代入求值的题型，解题思路分为两步：第一步先对整式进行化简，首先利用平方差公式展开$(x+2)(x-2)$，再根据去括号法则计算$3(1-x)$，随后合并同类项得到最简整式；第二步将$x=\sqrt{2}$代入化简后的式子，按照二次根式的运算规则计算出最终结果即可，先化简再代入可以有效减少计算量，避免出错。
【解析】
解：先利用平方差公式展开、去括号：
原式$=x^2-2^2+3×1-3x$
$=x^2-4+3-3x$
合并同类项化简得：
原式$=x^2-3x-1$
将$x=\sqrt{2}$代入化简后的式子求值：
当$x=\sqrt{2}$时，
原式$=(\sqrt{2})^2-3\sqrt{2}-1$
$=2-3\sqrt{2}-1$
$=1-3\sqrt{2}$
【答案】
$1-3\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式，整式化简，二次根式运算
【点评】
本题是基础类化简求值题型，重点考察整式运算的熟练度和二次根式的计算能力，先化简后代入的思路是这类题型的通用解法，能有效降低计算错误率，属于常规考点。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简结合二次根式代入求值的题型，解题思路分为两步：第一步先对整式进行化简，首先利用平方差公式展开$(x+2)(x-2)$，再根据去括号法则计算$3(1-x)$，随后合并同类项得到最简整式；第二步将$x=\sqrt{2}$代入化简后的式子，按照二次根式的运算规则计算出最终结果即可，先化简再代入可以有效减少计算量，避免出错。
【解析】
解：先利用平方差公式展开、去括号：
原式$=x^2-2^2+3×1-3x$
$=x^2-4+3-3x$
合并同类项化简得：
原式$=x^2-3x-1$
将$x=\sqrt{2}$代入化简后的式子求值：
当$x=\sqrt{2}$时，
原式$=(\sqrt{2})^2-3\sqrt{2}-1$
$=2-3\sqrt{2}-1$
$=1-3\sqrt{2}$
【答案】
$1-3\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式，整式化简，二次根式运算
【点评】
本题是基础类化简求值题型，重点考察整式运算的熟练度和二次根式的计算能力，先化简后代入的思路是这类题型的通用解法，能有效降低计算错误率，属于常规考点。
【难度系数】
0.8
【变式1】(天水模拟)已知$m=\sqrt{2}-1$，$n=\sqrt{2}+1$，则$m^2 - n^2 =$
$-4\sqrt{2}$
。答案
$-4\sqrt{2}$
解析
【分析】
拿到题目首先观察所求代数式的结构，$m^2 - n^2$符合平方差公式的形式，若直接代入$m$、$n$计算各自的平方再相减，计算量较大容易出错，因此优先考虑用平方差公式因式分解，将原式转化为$(m+n)(m-n)$，再分别计算$m+n$和$m-n$的值，最后将两个结果相乘即可得到答案，能大幅简化计算过程。
【解析】
解：根据平方差公式对原式因式分解：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
分别计算两个因式的值：
$m + n = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2}$
$m - n = (\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1 = -2$
将两个结果相乘：
$(m + n)(m - n) = 2\sqrt{2} × (-2) = -4\sqrt{2}$
【答案】
$-4\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式，二次根式的混合运算
【点评】
本题考查利用因式分解简化二次根式运算的能力，熟练掌握乘法公式的结构特征，选择合适的方法解题，可有效减少计算量，提升运算效率与准确率。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察所求代数式的结构，$m^2 - n^2$符合平方差公式的形式，若直接代入$m$、$n$计算各自的平方再相减，计算量较大容易出错，因此优先考虑用平方差公式因式分解，将原式转化为$(m+n)(m-n)$，再分别计算$m+n$和$m-n$的值，最后将两个结果相乘即可得到答案，能大幅简化计算过程。
【解析】
解：根据平方差公式对原式因式分解：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
分别计算两个因式的值：
$m + n = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2}$
$m - n = (\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1 = -2$
将两个结果相乘：
$(m + n)(m - n) = 2\sqrt{2} × (-2) = -4\sqrt{2}$
【答案】
$-4\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式，二次根式的混合运算
【点评】
本题考查利用因式分解简化二次根式运算的能力，熟练掌握乘法公式的结构特征，选择合适的方法解题，可有效减少计算量，提升运算效率与准确率。
【难度系数】
0.7
【变式2】先化简,再求值:$\dfrac{a^2+a}{a^2-2a+1}÷(1+\dfrac{2}{a-1})$,其中$a=1+\sqrt{3}$.
答案
解:$\frac{a^2+a}{a^2-2a+1}÷(1+\frac{2}{a-1})=\frac{a(a+1)}{(a-1)^2}÷\frac{a+1}{a-1}=\frac{a(a+1)}{(a-1)^2}·\frac{a-1}{a+1}=\frac{a}{a-1}$.
当$a=1+\sqrt{3}$时,原式$=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$.
当$a=1+\sqrt{3}$时,原式$=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$.
解析
【分析】
这是分式化简结合二次根式求值的题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的加法，将1通分后与$\frac{2}{a-1}$合并，再把除法转化为乘法运算，对分式的分子分母分别因式分解后约分，得到最简分式；第二步将$a$的取值代入最简分式，通过分母有理化计算最终结果，遵循先化简再代值的原则能避免直接代入带来的复杂计算。
【解析】
解：先化简原式：
$\dfrac{a^2+a}{a^2-2a+1}÷(1+\dfrac{2}{a-1})$
对分子分母因式分解，同时计算括号内的加法：
$=\dfrac{a(a+1)}{(a-1)^2}÷(\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{2}{a-1})$
$=\dfrac{a(a+1)}{(a-1)^2}÷\dfrac{a+1}{a-1}$
将除法转化为乘以除数的倒数：
$=\dfrac{a(a+1)}{(a-1)^2}·\dfrac{a-1}{a+1}$
约去公因式$a+1$和$a-1$得：
$=\dfrac{a}{a-1}$
将$a=1+\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}-1}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$：
$=\dfrac{(1+\sqrt{3})×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}+3}{3}=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$（或$\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}$）
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题是分式与二次根式的综合基础题，重点考查分式运算规则和二次根式的有理化技巧，解题时遵循“先化简再求值”的原则能大幅降低计算量，需注意约分和分母有理化的步骤不要出错。
【难度系数】
0.65
这是分式化简结合二次根式求值的题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的加法，将1通分后与$\frac{2}{a-1}$合并，再把除法转化为乘法运算，对分式的分子分母分别因式分解后约分，得到最简分式；第二步将$a$的取值代入最简分式，通过分母有理化计算最终结果，遵循先化简再代值的原则能避免直接代入带来的复杂计算。
【解析】
解：先化简原式：
$\dfrac{a^2+a}{a^2-2a+1}÷(1+\dfrac{2}{a-1})$
对分子分母因式分解，同时计算括号内的加法：
$=\dfrac{a(a+1)}{(a-1)^2}÷(\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{2}{a-1})$
$=\dfrac{a(a+1)}{(a-1)^2}÷\dfrac{a+1}{a-1}$
将除法转化为乘以除数的倒数：
$=\dfrac{a(a+1)}{(a-1)^2}·\dfrac{a-1}{a+1}$
约去公因式$a+1$和$a-1$得：
$=\dfrac{a}{a-1}$
将$a=1+\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}-1}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$：
$=\dfrac{(1+\sqrt{3})×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}+3}{3}=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$（或$\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}$）
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题是分式与二次根式的综合基础题，重点考查分式运算规则和二次根式的有理化技巧，解题时遵循“先化简再求值”的原则能大幅降低计算量，需注意约分和分母有理化的步骤不要出错。
【难度系数】
0.65
